Математичка економија

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Економија
GDP nominal per capita world map IMF 2007.PNG
Општи аспекти

Историја на економските теории
Микроекономија · Макроекономија

Методологија

Поведение · Информациона
Економетрија · Развојна
Опитна · Теорија на игрите
Математичка

Специјалности и субспецијалности

Развој · Раст · Историја
Меѓународна трговија · Трудова
Благосостојба · Финансиска
Монетарна теорија · Јавен сектор
Индустриска организација · Право
Еколошка · Економски системи
Природни ресурси · Аграрна
Животна средина · Регионална наука
Урбана · Култура · Здраство

Списоци

Журнали · Публикации
Категории · Теми · Економисти

Portal.svg Портал економија

Математичка економија — примената на математичките методи во економските теории и во анализата на проблемите презентирани во економијата. Овозможува формулирање и деривација на клучните врски во теоријата со неколку карактеристики како јасност, севкупност, едноставност и строга определба. Обично, применетите математички методи се однесуваат на оние посложените функции за разлика од едноставната геометрија, односно сложени методи како диференцијални и интегрални пресметки, диференцијална равенка, матрици, математичко програмирање[1][2] и други пресметковни методи.[3]

Математиката им овозможува на економистите да оформат значајни и предлози подложни на испробување за многу широко распространети и сложени теми кои не можат неформално соодветно да бидат изразени. Понатаму, математичкиот јазик им дава да оформат јасни, точни и позитивни тврдења за контроверзните или спорните теми, што инаку би било невозможно.[4] Голем дел од економската теорија е моментално претставена преку математичко-економски модели, збир на стилизирани и упростени математички врски кои ги појаснуваат претпоставките и следствата.[5]

Во широката примена на математиката спаѓаат и:

  • оптимизациони проблеми во постигнување на рамнотежа, без разлика дали се работи за домаќинство, претпријатие или политички творец;
  • статични (или рамнотежни) анализи во кои економската единици (како на пример домаќинството) или економскиот систем (како на пример пазарот или економијата) се моделирани како непроменливи;
  • компаративна статика како промена од една рамнотежна точка во друга предизвикана од промена на еден или повеќе фактори;
  • динамички анализи кои ги следат промните во економскиот систем, како на пример економскиот раст.[1][6][7]

Формалното економско моделирање започнало во XIX век со употребата на диференцијалните пресметки во претставувањето и објаснувањето на економското однесување, како на пример максимизација на корисноста — рана економска примена на математичката оптимизација. Економијата станала поматематичка дисциплина во првата половина од XX век, а претставувањето на новите и општи техники во периодот околу Втората светска војна, како на пример во теоријата на игрите, во голема мера ја прошириле употрбата на математички формули во економијата.[8][7]

Брзото систематизирање на економијата ги вознемирило критичарите на оваа наука, како и некои од економистите. Џон Мејнард Кејнс, Роберт Хејлбронер, Фридрих Хајек и други ја критикувале широката употреба на математички модели за човековото однесување, тврдејќи дека некои човечки избори се математички неизмерливи.

Содржина

Историја[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Историја на економските теории.

Употребата на математиката во служба на општествените и економските анализи датира од XVII век. Тогаш, главно во германските универзитети, се појавил вид на напатствија во кој имало детален опис на податоците кои биле поврзани со јавната администрација. Готфрид Акенвал спроведувал предавања на овој начин создавајќи го терминот статистика. Во истиот период, мала група на професори од Англија воспоставиле метод за „фигуративно размислување за работи поврзани со владата“.[9] Сер Вилијам Пети издал збир на проблеми кои подоцна ги загрижил економистите, односно проблеми како оданочување, брзина на циркулација и мерки за национален приход, но, иако неговите анализи биле нумерички, тој ја одбил апстрактната математичка метода. Употребата на Пети на деталните нумерчки податоци (заедно со Џон Гронт), подоцна, одреден период, влијаела врз статистичарите и економистите, иако неговите дела биле во најголема мера игнорирани од англиските школари.[10]

Математизацијата на економијата започната во раните години на XIX век. Повеќето економски анализи во тоа време биле истите подоцнежни теории на класичната економија. На темите било дискутирано и биле расчистени со помош на алгебрата, но не било користено пресметувањето. Поважно од тоа, сè до издавањето на книгата „Изолираната држава“ на Јохан Хенрих фон Тунен од 1826, економистите не развиле опширен и апстрактен модел за однесувањето со цел да ги применат алатките на математиката. Туненовиот модел на обработливо земјиште претставува прв пример на маргинална анализа.[11] Неговата работа била во најголема мера теоретска, но тој, исто така, употребувал емпиријални податоци со цел да се обиде да го подржи неговото воопштување. Во споредба со неговите современици, Тунен создал економски модел и алатки, наместо во новите проблеми да ги употребува и приспособува претходно направените алатки.[12]

Во меѓувреме, нова група на научници, добро обучени со математички методи на физиката, гравитирале во економијата, застапувајќи ги и имплементирајќи ги тие методи од нивното поле на истражување,[13] и ја опишале сегашноста како промена од геометрија во механика.[14] Тука е вклучен и Вилијам Стенли Џевонс кој го претставил делото за „општа математичка теорија на политичката економија“ од 1986, обезбедувајќи преглед за употребата на теоријата за маргинална корисност во политичката економија.[15] Во 1871 ја издал книгата „Принципите на политичката економија“ изјаснувајќи се дека предметот како наука „мора да биде математички, едноставно поради тоа што се занимава со квантитети“. Џeвонс очекувал единствениот збир на статистички податоци за цената и квантитетите да овозможи предметот да стане егзактна наука.[16] Други научници, пак, се обиделе да ги прошират математичките објаснувања за економско-математичките проблеми.

Маргиналисти и корените на неокласичната економија[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Маргинализам.
Рамнотежна количина како решение за две функции во Курноовиот дуопол. Секоја функција е изразена како линеарна равенка зависна од количината на побарувачката

Антоaн Огистен Курно и Леон Валрас ги создале алатките за одредување на корисноста, тврдејќи дека индивидуите целат кон максимизирање на нивната корисност преку нивниот избор на начин кој може да биде математички опишан.[17] Во тоа време се мислело дека корисноста била квантитативна во мерни единици познати како корисности.[18] Курно, Валрас и Франсис Еџворт се сметаат за главни основоположници на математичката економија.[19]

Огистен Курно[уреди | уреди извор]

Курно, професор по математика, во 1838 година развил математички третман за дуопол - пазарна ситуација дефинирана со конкуренција помеѓу двајца производители.[19] Овој третман на конкурентноста, првенствено издаден во „Истражувања на математичките принципи на богатството“,[20] е именуван како Курноов дуопол. Се претпоставуа дека двајцата производители имаат еднаков пристап до пазарот и дека можат да ги произведуваат нивните добра без трошоци. Исто така, се претпоставува дека двете добра се хомогени. Секој производител би го разменувал своето производство во зависност од производството на другиот и пазарната цена ќе биде одредена од вкупната понудена количина. Профитот за секоја фирма би бил одреден со множење на нивното производство со пазарната цената по единица производ. Диференцијацијата на профитната функција, со оглед на обезбедената количина производи од секоја фирма, оформила систем на линеарни равенки, симулационо решение од кое е создадена рамнотежната количина, цена и профит.[21] Курноовите придонеси во математизацијата на економијата неколку декади биле заборавени, но потајно влијаеле на многу од маргиналистите.[21][22] Курноовиот модел на дуопол и олигопол, исто така, претставува едно од првите формулирања на некооперативните игри. Денес, решението може да биде дадено со Нешовата рамнотежа, но делата на Курно преовладувале во теоријата на игрите повеќе од 100 години.[23]

Леон Валрас[уреди | уреди извор]

Додека Курно создавал решение за тоа што подоцна ќе биде наречено делумна рамнотежа, Леон Валрас се обидел да ја формализира расправата за економијата во целина низ теоријата на општа конкурентна рамнотежа. Предвид би се земале улогите на секој економист од двете страни, односно од страната на производителите и од страната на потрошувачите. Валрас претставил четири различни модели на замена, секој рекурзивно вклучен во следниот. Решението за секој систем на равенки (линеарни и нелинеарни) би било општата рамнотежа.[24] Во тој период, ниту едно општо решение не можело да биде изразено за систем од многу произволни равенки, но обидите на Валрас допринеле со два познати резултати во економијата. Првиот е валрасовиот закон, а вториот е принципот на валрасовата аукција. Методите на Валрас во тоа време се сметале за многу математички, поради што, Еџворт го критикувал за должината на неговите факти во книгата „Елементи на чиста економија“.[25]

Валрасовиот закон бил претставен како теоретски одговор на проблемот во одредувањето на решението во општата рамнотежа. Неговата нотација е различна од модерната, но може да биде конструирана со употреба на повеќе модерни збирни нотации. Валрас претпоставувал дека при рамнотежа сите пари би биле потрошени на сите добра, односно секое добро би било продадено по пазарната цена на истото и секој потрошувач би ги потрошил неговите последни пари за кошница од производи. Започнувајќи од оваа претпоставка, Валрас можел да покаже дека доколко постојат n пазари и n-1 исчистени пазари (достигната рамнотежна состојба) тогаш секој n-ти пазар би бил, исто така, испразнет. Ова е најлесно да се визуелизира со два пазари (во повеќето текстови сметано како пазар на добра и пазар на хартии од вредност). Доколку еден од двата пазари достигне рамнотежна состојба, ниту едно додатно добро (или во друг случај хартии од вредност) не смее да влезе или излезе од вториот пазар, па како и првиот и тој мора да постигне рамнотежа. Валрас ги користел овие аргументи за да му се доближи на доказот за постоење на решение за општа рамнотежа, но оваа равенка денес најчесто се користи да би се илустрирало пазарно чистење во пазарите на хартии од вредност во текот на додипломските студии.[26]

Аукцијата требало да послужи како практична изразитост на валрасовата општа рамнотежа. Валрас го замислил пазарот како аукција на добра каде аукционерите би можеле да довикуваат цени и учесниците во пазарот би чекале сè додека не би ги задоволиле личните ценовни резервации за побараната количина (овде е битно да се напомене дека ова е аукција на „сите“ добра, така што секој има одредено цена за неговата побарана кошничка од добра).[27]

Само кога сите купувачи ќе бидат задоволни со понудената пазарна цена ќе се спроведе трансакцијата. Пазарот ќе се „исчисти“ за таа цена, не би постоел ниту вишок ниту недостаток. Иако процесот изгледа динамичен, Валрас претставил само статичен модел, односно ниту една трансакција не би се извршила сè додека сите пазари не дојдат до рамнотежна состојба. Во практита, многу малку пазари работат на овој начин.[28]

Франсис Исидро Еџворт[уреди | уреди извор]

Еџворт опширно ги претставил математичките елемнти во економијата во книгата „Математичка физика: Есеј за примената на математиката во моралната наука“ од 1881.[29] Тој ја применил хедонистичката анализа на Џереми Бентам во економското однесување, дозволувајќи резултатот од секоја одлука да биде конвертиран во промена на корисноста.[30] Употребувајќи ја оваа претпоставка, Еџворт создал модел на замена заснован на три претпоставки: индивидуите се само заинтересирани, индивидуите целат кон максимизирање на корисноста и индивидуите се „слободни за повторен контакт со друг независно од... било која трета страна“.[31]

Со дадени две индивидуи, збирот на решенија бил и двете индивидуи да можат да ја максимизираат корисноста како што е опишано во „кривата на договорот“, она што е денес познато како Еџвортов дијаграм. Технички, конструкцијата на решението на еџвортовиот проблем за две особи не било претставено со графикон сè до 1924, кога тоа го направил Артур Лајон Боули.[32] Кривата на договор на Еџвортовиот дијаграм (или поошто кажано секој збир на решенија за Еџвортовиот проблем за повеќе улоги) се наведува како основа на економијата.[33]

Еџворт посветил значителни напори во инсистирањето дека математичките докази биле соодветни за сите економски школи. Во списанието „The Economic Journal“ тој објавил неколку статии во кои ги критикувал математичките методи на неговите ривали во ова истражувачко поле, меѓу кои и Едвин Роберт Андерсон Селигмен, познат скептик за математичката економија.[34] Колумните биле фокусирани кон даночната фреквенца и одговорите од производителите. Еџворт забележал дека монополското производство на добра кое е здружено при понудата, но не и при побарувачката (како во прва класа и економска класа во авионите, односно доколку авионот полета и двете класи летаат заедно со него) може да ја снижи цената проверена од потрошувачите за едно од двете добро доколку се вклучени и даноци. Здравиот разум и традиционалните нумерички анализи посочувале дека ова било бесмислено. Селигмен тврдел дека добиените резултати на Еџворт биле каприц на неговите математички формулации. Тој велел дека претпоставката за континуираната побарувачка функција и бескрајните промени во даноците резултираат со парадоксални предвидувања. Подоцна, Харолд Хотлинг потврдил дека Еџворт бил во право и дека истиот резултат („намалување на цената како резултат на оданочувањето“) може да се појави и со дисконтинуитетна функција на побарувачката и голема промена во стапката на оданочување.[35]

Современи математички економичари[уреди | уреди извор]

Од 1930-тите, група на нови математички алатки од диференцијалните равенки, конвексните множества и теоријата на графи биле приспособени за да се овозможи напредок во економската теорија на начин сличен на приспособувањето на математичките методи во физиката.[8][36] Процесот бил подоцна опишан како движење од механика кон аксиоматски систем.[37]

Диференцијални пресметки[уреди | уреди извор]

Вилфредо Парето ја анализирал микроекономијата третирајќи ги одлуките на актерите во економијата како обиди за распределба на добрата до останатите. Тогаш збирот на средства може да биде третиран како паретова ефикасност кога ниту една замена не би можела да се појави кај актерите која најмалку една индивидуа би направила подобро позиционирана без да направи друг поединец полошо позициониран. [38] Доказот на Парето најчесто се меша со валрасовата рамнотежа или неформално се припишува на хипотезата за невидлива рака од Адам Смит.[39] И покрај тоа, тврдењата на Парето биле првите формални искази кои подоцна станале познати како првите фундаментални теореми на економската благосостојба.[40] На овие модели им недостасувала нееднаквоста во следните генерации на математичката економија.

Во расправата „Основи на економската анализа“ (1947), Пол Семјуелсон идентификувал честа парадигма и математичка структура низ повеќе полиња на истражуваниот предмет, засновајќи се на претходната работа на Алфред Маршал. „Основите“ превземаат математички концепти од физиката и ги приспособуваат на економските проблеми. Овој широк поглед (на пример, споредбата помеѓу шателиеровиот принцип и валрасовата аукција) ја поместува фундаметалната спогодба на математичката економија: систем од економски улоги кој може да биде моделиран и нивното однесување да биде опишано приближно исто како и во другите системи. Семјуелсон пристапил кон проблемите на примена на максимизацијата на индивидуалната корист со компаративна статика, без да се насочува кон агрегирани групи, која споредува две различни рамнотежни состојби по егзогени промени во варијабилите. Овој и други методи од книгата ги означуваат основите на математичката економија во XX век.[7][41]

Линеарни модели[уреди | уреди извор]

Поврзано: Линеарна алгебра и Линеарно програмирање

Ограничените модели на општата рамнотежа биле формулирани од страна на Џон фон Нојман во 1937.[42] За разлика од претходните верзии, моделите на фон Нојман имале нееднакви ограничувања. За неговиот модел на економија која се шири, фон Нојман докажал постоење и единственост на рамнотежа со употреба на неговото воопштување на броуверовата теорема за неподвижна точка. Моделот на фон Нојман за економија која се шири се смета за матричен модел - A - λ B без негативни матрици - A и B; фон Нојман ги барал векторите на веројатноста - p и q и позитивен број - λ кој би ја решил комплементарната равенка

pT (A - λ B) q = 0,

заедно со два нееднакви системи кои ја изразуваат економската ефикасност. Во овој модел (транспониран), веројатноста на векторот p ја изразува цената на добрата, додека веројатноста на векторот q ја изразува „интензивноста“ по која процесот би се одвивал. Единственото решение λ ја претставува стапката на пораст во економијата која е еднакава на каматната стапка. Докажувањето на постоењето на позитивна стапка на пораст и дека стапката на пораст е еднаква на каматната стапка било извонредно достигнување, па дури и за Нојман.[43][44] Резултатите на Нојман биле забележани како специјален случај на линеарно програмирање каде неговиот модел употребува само ненегативни матрици.[45] Изучувањето на моделот на Ногјман за економија која се шири сè уште буди интерес кај математичките економисти насочени кон компјутерска економија.[46][47][48]

Економија на влезни и излезни единици[уреди | уреди извор]

Во 1936, рускиот економист Василиј Леонтиеф го создал неговиот модел на анализа на влезни и излезни единици според табелите за математичка рамнотежа конструирани од советските економисти кои, пак, се засновале на работата на физиократите. Со овој модел, кој опишува систем на процеси на понудата и побарувачката, Леонтиеф опишал како промените во побарувачката на еден економски сектор ќе влијаат на производството во друг.[49] Во практика, Леонтиеф ги проценил коефициентите на неговиот едноставен модел да би ги решил економските прашања. Во производната економија, „леонтиевата техника“ создавала излезни единици со употреба на константни пропорции на влезните единици, без разлика на цената на инпутите, намалувајќи ја вредноста на леонтиевиот модел за разбирање на економијата, но дозволувајќи параметрите да бидат проценети релативно лесно. Во контраст, моделот на фон Нојман за економија која се шири дозволува избор на техники, но коефициентите мора да бидат проценети за секоја технологија.[50][51]

Математичка оптимизација[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Математичка оптимизација.
Црвена точка во z насока како максимум за параболоидна функција на (x, y) влезни единици

Во математиката, математичка оптимизација (или оптимизација или математичко програмирање) се однесува на избор на најдобри елементи за некој збир од достапни алтернативи.[52] Во најпрост случај, оптимизациониот проблем вклучува максимизирање или минимизирање на реални функции преку избор на вредности за функцијата на влезните единици и пресметка на кореспондентната вредност на функцијата. Процесот на барање решение вклучува задоволување на општите потребни и доволни услови за оптималност. За оптимизациони проблеми, специјализираната нотација може да биде употребена како во функцијата и нејзините инпути. Начелмно гледано, оптимизацијата вклучува пронаоѓање на најдобар достапен елемент на некоја функција со дадено дефинирано подрачје и можност да употребува голем број на различни компјутерски оптимизациони техники.[53]

Економијата е доста тесно поврзана со оптимизацијата преку посредници во економијата што една влијателна дефиниција го поврзува опишувањето на економската наука како „изучување на човечкото однесување како врска помеѓу краевите и недостигот на значење“ со алтернативни употреби.[54] Оптимизационите проблеми се шират низ модерната економија особено преку експлицитната економија или техничките ограничувња. Во микроекономијата, проблемот со максимизирањето на корисноста и неговата двојност, проблемот со минимизирањето на трошоците за даден степен на корисност претставуваат економски оптимизациони проблеми.[55] Теоријата претпоставува дека потрошувачите ја максимизираат нивната корисност, поврзано со нивните буџетни ограничувања, и дека претпријатието го максимизира неговиот профит, поврзан со производствената функција, факторите од кои зависат производствените трошоци и побарувачката на пазарот.[56]

Економската рамнотежа се проучува во оптимизационата теорија како клучна состојка на економските теореми која во принцип може да биде тестирана во спротивност на емпиријалните податоци.[7][57] Понови напредоци се појавиле во динамичкото програмирање и моделирањето на оптимизацијата со ризик и несигурност, вклучувајќи и приспособувања на теоријата за портфолио, информационата економија и теоријата на пребарување.[56]

Оптималните својства за целиот пазарен систем можат да се искажат со математички изрази како формулација од двете фундаментални теореми на економска благосостојба [58] и во Ароу-Дебровиот модел на општа рамнотежа (исто така, дискутирано подолу).[59] Поконкретно, многу проблеми се подложни на аналитички решенија. Многу други можат да бидат доволно сложени да би имало потреба од решенија со нумерички методи, водени од стручен софтвер.[53] И други проблеми се сложени, но доволно приспособливи на компјутерските методи за решавање, особено моделот на пресметковна општа рамнотежа за целата економија.[60]

Линеарното и нелинеарното програмирање, за кои порано се мислело дека имаат еднакви ограничувања, имаат длабоко влијание во микроекономијата.[61] Многу од математичките економисти кои добиле нобелова награда за економија спровеле значајни истражувања употребувајќи линеарно програмирање: Леонид Канторович, Леонид Хурвиц, Тјалинг Купменс, Кенет Џ. Ароу и Роберт Доргмен, Пол Семјуелсон и Роберт Солоу.[62] И Канторович и Купменс признале дека Џорџ Б. Данциг заслужува да биде споделена со него нивната нобелова награда за линеарно програмирање. И економисти кои спровеле истражувања во нелинеарното програмирање, исто така, добиле нобелова награда меѓу кои најзабележителни се Рагнар Фриш, Купменс, Ароу, Канторович и Семјуелсон.

Линеарна оптимизација[уреди | уреди извор]

Линеарното програмирање било развиено за алоцирање на ресурси во фирми и индустрии во текот на 1930-тите во Русија и во текот на 1940-тите во соединетите држави. За време на берлинската блокада од 1948, линеарното програмирање било употребувано за планирање на поморската достава на залихи со цел да не гладува населението во Берлин по советската блокада.[63][64]

Нелинеарно програмирање[уреди | уреди извор]

Проширувањето до нелинеарна оптимизација со нееднакви ограничувања било постигнато во 1951 од страна на Алберт В. Такер и Харолд Кун кои како нелинерен оптимизационен проблем го сметале:

Минимизирањето () на предмет на i() ≤ 0 и j() = 0 каде:
(.) е функцијата која треба да биде минимизирана,
i(.) ( = 1, ..., ) се функциите на нееднаквото ограничување,
j(.) ( = 1, ..., ) се функциите на еднаквото ограничување.

При дозволено нееднакво ограничување, Кун-Такеровиот пристап воопштува класичен метод од лангражовиот метод на множење, кај кој (до тогаш) било дозволено само еднакво ограничување.[65] Кун-Такеровиот пристап овозможил понатамошни истражувања на лагранжовата двојност, вклучувајќи го и изучувањето на неедкавите ограничувања.[66][67] Двојната теорија за нелинеарно програмирање е всушност задоволително добра кога се приспособува на проблемите на конвексното минимизирање, каде ја ужива конвексно-аналитичката двојна теорија на Фенчел и Р. Тајрел Рокфелер. Лагранжовата двојност и конвексната анализа се употребуваат секојдневно во оперативни истражувања, во распоредувањето на електрани, планирањето на распоред на производството во фабриките и во одредувањето на курсот на авионите (курсови, летови, авиони и екипи).[67]

Разни анализи и оптимална контрола[уреди | уреди извор]

Економската динамика овозможува промени во економските варијабили, вклучувајќи го и системот на динамика. Проблемот во пронаоѓањето на оптимална функција за таквите промени се проучува во варијационите пресметки и во теоријата на оптимална контрола. За истата цел, пред втората светска војна, Френк Ремзи и Харолд Хотлинг ги користеле варијационите пресметки.

Следејќи ја работата на Ричард Белмен за динамичкото програмирање и преводот од 1962 на раните дела од Л. Понтријагин,[68] теоријата за оптимална контрола била најмногу употребувана во економијата за адресирање на динамичките проблеми, особено рамнотежата на економскиот раст и стабилноста на економскиот систем[69] Клучната разлика е помеѓу детерминистичките и стохастичните контролни модели.[70] Друга примена на теоријата за оптимална контрола се појавува и во финансиите, инвентарот и производството.[71]

Функционална анализа[уреди | уреди извор]

Во периодот кога се докажувало постоењето на оптималната рамнотежа, во неговиот модел за економски раст од 1937, Џон фон Нојман го претставил методот на функционална анализа во кој ја вклучил и топологијата на економската теорија, особено преку броуверовата теорија за фиксна точка. [8][42][72] Следејќи ја програмата на Нојман, Кенет Ароу и Жерард Дебрe формулирале апстрактен модел на економска рамнотежа со употреба на конвексено множество и теоријата на фиксна точка. Во претставувањето од 1954 на овој модел, тие го докажале постоењето (но, не и единственоста) на рамнотежа и, исто така, докажале дека секоја рамнотежа на Валрас е паретова ефикасност (начелно, рамнотежата нема потреба да биде единствена)[73] Во нивните модели, (основниот) векторскиот простор ја претставува количината, додека „двојниот“ векторски простор ги претставува цените.[74]

Во Русија, математичарот Леонид Канторович развил економски модели во делумно подредените векторски простори кои ја истакнале двојноста помеѓу квантитативноста и цените.[75] Угнетени од комунизмот, Канторович ги преименувал цените како објективно одредени вредности кои на руски се скратени како „o. o. o“, алудирајќи на потешкотиите во дискусијата за цените во советскиот сојуз.[74][76][77]

Дури и во одредени димензии, концептот на функционална анализа ја осветлил економската теорија, особено во разјаснувањето на улогата на цените како нормални вектори за подршка на конвексното множество, претставувајќи ги можностите на производителите и потрошувачите. Како и да е, проблемите во опишувањето на оптимизацијата бараат употреба на бесконечни димензионални функционални простори поради тоа што посредниците избираат помеѓу функциите или стохастичните процеси.[74][78][79][80]

Диференцијален пад и пораст[уреди | уреди извор]

Делата на Џон фон Нојман за функционалната анализа и топологијата отвориле ново истражувачко поле во математиката и економската теорија.[42][81] Тие, исто така, допринеле во напредокот на математичката економија со мали приспособувања на диференцијалните пресметки. Во основа, теоретичарите на општата рамнотежа ги употребувале општата топологија, конвексната геометрија и математичката оптимизација повеќе од диференцијалните пресметки поради тоа што пристапот до истите не успеал да го прикаже постоењето на рамнотежа.

Сепак, падот на диференцијалните пресметки не треба да биде претеран бидејќи диференцијалната пресметка била секогаш употребувана при обука и примена. И покрај тоа, диференцијалната пресметка се вратила на највисокото ниво во математичката економија, теоријата на општа рамнотежа. Во 1960-тите и 1970-тите, Жерард Дебро и Стивен Смели започнале оживување на употребата на диференцијалните пресмети во математичката економија. Во основа, тие можеле да го докажат постоењето на општа рамнотежа, во што нивните претходници не успеале. Помеѓу економистите кои се занимаваат со диференцијална анализа се и Еџберт Диркер, Андре Мас Колел и Ајвис Баласко.[82][83] Овие напредоци ја промениле традиционалната насока во историјата на математичката економија, следејќи го Нојман, славејќи го напуштањето на диференцијалните пресметки.

Теорија на игрите[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Теорија на игрите.
Поврзано: Џон фон Нојман

Џон фон Нојман, во соработка со Оскар Моргенстерн, работејќи на теоријата на игри, отворил ново математичко поле за истражување во 1944, проширувајќи ги методите на функционална анализа поврзани со економската анализа на конвексниот збир и теоријата за тополошки фиксни точки.[8][81] Нивната работа, притоа, ги избегнала диференцијалните пресметки за кои максималниот оператор не применува недиференцијални функции. Продолжувајќи ја работата на Нојман во теоријата за кооперативни игри, теоретичарите на игрите Лојд С. Шепли, Мартин Шјубик, Херв Молин, Нимрод Мегидо и Безалел Пелег имале големо влијание врз економските истражувања во политиката и економијата. На пример, истражувањата на фер цените во кооперативните игри и фер вредностите за играта на гласање довеле до промена на правилата за гласање во легислативата и во пресметките за цената на јавните проекти. На пример, теоријата за кооперативни игри била употребена во дизајнирањето на дистрибутивниот систем за вода во јужна Шведска и за одредување на стапката за посветени телефонски линии во САД.

Раните неокласични теории го ограничиле само опсегот на исходот од ценовното договарање во посебни случаеви, на пример билатерален монопол или помеѓу договорната крива на еџвортовиот дијаграм.[84] Резултатите на Нојман и Моргенстерн биле слаби. Следејќи ја програмата на Нојман, Џон Неш ја употребил теоријата на неподвижна точка за да ги докаже условите под кои проблемите во договарањето на цените и некооперативните игри можат да генерираат решение за единствена рамнотежа.[85] Теоријата за некооперативните игри била приспособена како фундаментален аспект на експерименталната економија,[86] економското однесување,[87] информационата економија,[88] индустријалната организација[89] и политичката економија.[90] Исто така, довела до напредок во истражувањето на дизајнот на механизмот (понекогаш нарекуван обратна теорија на игрите) кој има лични и јавни примени на начин на подобрување на економската ефикасност преку стимулации за споделување на информации.[91]

Во 1994, Неш, Џон Харсаниј и Рејнхард Селтер добиле нобелова награда за економија за нивната работа при некооперативните игри. Харсаниј и Селтер биле наградени за нивната работа во повторените игри. Подоцнежната работа ги проширила нивните резултати во пресметковните методи на моделирањето.[92]

Пресметковна економија заснована на посредници[уреди | уреди извор]

Пресметковната економија засновата на посредници (ПЕЗП) како поле на истражување е релативно ново, датирајќи од 1990-тите. Ги проучува економските процеси, вклучувајќи ги сите економии, како динамички системи на интеракција помеѓу посредници. Како таква, потпаѓа во парадигмата на комплексните применливи системи.[93] Во соодветните модели засновани на посредници, посредниците не се вистински луѓе туку „компјутерски моделирани интерактивни предмети според правилата“... „чие микро-ниво на интеракција создава појавни модели“ во просторот и времето.[94] Правилата се формулирани да би го предвидувале однесувањето и социјалните интеракции засновани на информации и стимулации. Теоретската претпоставка за математичка оптимизација на посредничките пазари е заменета со помалку рестриктивен постулат на посредници со ограничена рационалност во адаптацијата на пазарните сили.[95]

ПЕЗП моделите применуваат нумерички методи на анализа во компјутерски заснованите симулации на комплексните динамички проблеми за кои поконвенционалните методи, како на пример формулацијата на теореми, може и да не пронајдат вистинска употреба.[96] Почнувајќи од утврдени почетни услови, пресметковниот економски систем е моделиран како еволутивен со текот на времето со оглед на тоа што неговите составни посредници постојано се во меѓусебна интеракција. Од овој аспект, ПЕЗП е окарактеризиран како културен оддолу-нагорен пристап во изучувањето на економијата.[97] Во контраст на други стандардни методи за моделирање, настаните во ПЕЗП се водени од почетни услови, без разлика дали постои или не постои рамнотежа или, пак, се компјутерски подложни на следење. Моделирањето на ПЕЗП вклучува приспособување на посредници, авотномија и учење.[98] Слично е, и се поклопува со, теоријата на игрите во поглед на метод заснован на посредници за моделирање на социјални интеракции.[92] Помеѓу другите димензии на пристап се вклучени и оние стандардните економски теми како конкуренција и соработка,[99] пазарна структура и индустријална организација,[100] трошоци за трансакција,[101] економска благосостојба[102] и механички дизајн,[103] информација и несигурност[104] и макроекономија.[105][106]

Математизација на економијата[уреди | уреди извор]

Во текот на XX век, колумните во „јадрените списанија“[107] во економијата биле скоро ексклузивно пишувани од академски економисти. Како резултат на тоа, поголемиот дел од материјалот во овие списанија се однесува на економската теорија и самата економска теорија континуирано била поапстрактна и поматематичка.[108] Субјективна оценка за математичките техники, зачната во овие јадрени списанија, покажала пад од 95% во 1892 до 5,3% во 1990 во исфрлањето од употреба на геометриските претставувања и математичките нотации.[109] Истражување од 2007 на десетте најдобри економски списанија покажало дека само 5,8% од статиите издадени во 2003 и 2004 не биле поддржани со статистички анализи на податоци и математички пресметки.[110]

Економетрија[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Економетрија.

Помеѓу двете светски војни, напредокот во математичката статистика и еден дел на добро обучени економисти довеле до употреба на економетријата, што била дисциплина на развојната економија при употреба на математика и статистика. Во рамките на економијата, економетријата е често употребувана за статистички методи во науката, повеќе отколку математичката економија. Статистичката економетрија вклучува примена на линеарна регресија и временски сериски анализи на економските податоци.

Рагнар Фриш прв го употребил зборот економетрија и помогнал во создавањето на друштвото за економетрија во 1930 и списанието „Econometrica“ во 1933.[111][112] Неговиот студент, Тригви Хавелмо, во 1944 ја издал книгата „Можниот приспат во економетријата“ каде тврди дека прецизните статистички анализи можат да бидат употребени како алатка при вреднувањето на математичките теории за економските актери со податоци за сложени извори.[113] Поврзаноста на статистичките анализи на системите со еконмската теорија била потврдена и преку гласање на „Cowles Commission“ (денес „Cowles Foundation“) во текот на 1930-тите и 1940-тите.[114]

Рани дела во економетријата[уреди | уреди извор]

Корените на модеранта економија можат да бидат проследени до американскиот економист Хенри Л. Мур. Мур ја проучувал земјоделската продуктивност и се обидел во крива да вметне променливи вредности на продуктивноста на парцели со пченка и други житни растенија, употребувајќи различни вредности за еластичноста. Мур направил неколку грешки во неговата работа, некои при неговиот избор на модели, а некои поради ограниченоста во неговата употреба на математиката. Точноста на муровите модели, исто така, била ограничена од малиот број на податоци за нациналните сметки во САД во тој период. Првите негови модели на продуктивност биле статични, а во 1925 тој објавил динамичен модел на „подвижна рамнотежа“ дизајниран да би се објасниле бизнис циклусите. Поформална изведба на неговите модели била направена подоцна од страна на Николас Калдор, кој добил гомеми заслуги за неговото толкување.[115]

Примена[уреди | уреди извор]

IS/LM моделот е кејнзијански макроекономски модел дизајниран да прави предвидувања за пресекот во „реалната“ економска активност (пример: трошење, приход, стапка на заштеда) и одлуки направени во финансиските пазари (парична маса и својства на ликвидноста). Моделот повеќе не е широко изучуван при додипломските студии, но може да се пронајде на некои макроекономски курсеви.[116]

Поголемиот дел од класичната економија може да биде претставен со едноставни геометриски изрази или елементарни математички нотации. Математичката економија, сепак, конвенционално ги употребува калкулус и матричната алгебра во економската анализа со цел да создаде силни тврдења кои би било тешко да се достигнат без помош од математичките алатки. Овие алатки се предуслов за формално изучување, не само на математичката економија, туку и за модерната економска теорија во целина. Економските проблеми често вклучуваат толку многу променливи што ја прави математиката единствен практичен начин за поставување и решавање на истите. Алфред Маршал тврдел дека секој економски проблем кој може да биде квантифициран, аналитички изразен и решен, треба да биде третиран со помош на математиката.[117]

Економијата стана високо зависна од математичките методи, а математичките алатки стануваа сè пософистицирани. Како резултат на тоа, математиката стана значително поважна за професионалците во економијата и финансиите. Постдипломските студии во економијата и во финансиите бараат силна математичка додипломска подготовка и, поради тоа, привлекуваат голем број на математичари. Применетата математика применува математички принципи во практичните проблеми, како на пример економските анализи и другите проблеми поврзани со економијата, а сè поголем број на економски проблеми се дефинирани како интегрирани проглеми во опфатноста на применетата математика.[17] Оваа интеграција е резултат на формулацијата на економските проблеми како стилизирани модели со чисти претпоставки и можни погрешни предвидувања.

Во основа, формалните економски модели можат да бидат класифицирани како стохастички или детерминистички и дискретни или континуирани. На практично ниво, квантитативното моделирање се применува во многу области на економијата и неколку методологии еволуирале, повеќе или помалку, во меѓусебно независни.[118]

  • Стохастичките модели се формулирани со употреба на стохастички процеси. Тие, со текот на времето, моделираат економски видливи вредности. Поголемиот дел од економетријата се заснова на статистика за да би се формулирале и тестирале хипотези за овие процеси или проценети параметри за истите. Помеѓу двете светски војни, Херман Волд развил светско распаѓање на стационарните стохастички процеси во услови на авторегресивни модели и детерминистички тренд. Волд и Жан Тинберген примениле временски сериски анализи во економските податоци. Современите истражувања на времнската сериска статистика вклучуваат додатни формулации на стационираните модели, како на пример моделот за просечно авторегресивно движење. Поопштите модели вклучуваат и модели на авторегресивна условна хетероскедастичност.
  • Нестохастичките (детерминистичките) математички модели можат да бидат чисто квалитативни (на пример: модели вклучени во некои аспекти на теоријата за социјален избор) или квантитативни (вклучувајќи рационализација на финансиските променливи, на пример со хиперболските координати и/или специфични форми на функционалната врска помеѓу променливите). Во некои случаи, економските предвидувања на различните модели даваат насока на движењето на економските варијабили и со тоа функционалните врски се употребуваат само во квалитативна смисла, на пример: доколку цената на некое добро порасне, тогаш побарувачката за истото добро ќе се намали. За овие модели, економистите често употребуваат дводимензионални графи наместо функции.
  • Квалитативните модели се повремено употребувани. Пример може да биде квалитативното сценариско планирање во кое можните идни настани се одглумени. Друг пример може да биде анализата на ненумеричките одлуки. Квалитативните модели најчесто патат од недостаток на прецизност.

Критики и заштита[уреди | уреди извор]

Адекватноста на математиката во квалитативната и сложена економија[уреди | уреди извор]

Фридрих Хајек верувал дека употребата на формални техники проектира научна точност која не може соодветно да ги вклучува информационите ограничувања со кои се соочуваат економските посредници. [119]

Во интервју, економскиот историчар Роберт Хејлбронер изјавил:[120]

Претпоставувам дека научниот пристап започна да пенетрира и дека наскоро ќе доминира во професијата во следните дваесет до триесет години. Ова се случи поради „инвенцијата“ на математичката анализа во различни видови и, навистина, значителните подобрувања во истата. Ова се годините во кои не само што имаме повеќе податоци, туку и пософистицирана употреба на податоците. Значи постои силно чувство дека ова е превземање на доминантната функција од стана на податоците, што врз основа на чистата нумерологија, чистите равенки и чистиот поглед на списаниските страни, претставува значајна сличност со науката ... Една централна активност изгледа научно. Го разбирам тоа. Мислам дека е генијално. Тоа постанува универзален закон. Но, сличноста со науката не е исто како и самата наука.

Хејлбронер изјавил дека „дел/повеќето од економијата не е природно квантитативна, па според тоа не е подложна на математичко толкување“.[121]

Тестирање на предвидувањата на математичката економија[уреди | уреди извор]

Филозофот Карл Попер дискутирал за научната положба на економијата во 1940-тите и 1950-тите. Тој тврдел дека математичката економија страда од можноста да биде тавтологизирана. Со други зборови, доколку економијата стане математичка теорија, математичката економија престане да се потпира на емпириските побивања, тогаш започнува да се потпира на математичките докази и побивања.[122] Според Попер, лажните претпоставки можат да бидат набљудувани и тестирани со експерименти, додека вистинитите претпоставки можат да бидат изучувани математички во поглед на нивните последици и нивната доследност во однос на другите претпоставки.[123]

Споделувајќи ги грижите на Попер, општо, околу претпоставките во економијата, а не само математичката економија, Милтон Фридман изјавил дека „сите претпоставки се нереалистични“. Фридман предложил судење на економските модели според нивните претпоставени изведби, а не судење од стана на математиката.[124]

Математичката економија како форма на чиста математика[уреди | уреди извор]

Поврзано: Чиста математика, Применета математика и Инженерство

Имајќи ја впредвид математичката економија, Џ. М. Кејнс, во „Општата теорија“, напишал:[125]

Голема е кривицата на симболичните псевдоматематички методи за формализирање на системи од економски анализи ... тоа дека тие експресно пертпоставуваат строга независност помеѓу вклучените фактори и ја губат нивната уверливост и авторитетност доколку оваа хипотеза не е дозволена: каде што, обично, не манипулираме слепо и цело време сме свесни за нашите активности и што зборовите значат, можеме близу да си ги чуваме потребните резерви и квалификации и усогласувањата кои ќе мораме да ги направиме подоцна, на начин на кој не би можеле да ги сочуваме делумно комплицираните диференцијали како резерви на неколку страни алгебра за кои се претпоставува дека ќе исчезнат.

Одбрана на математичката економија[уреди | уреди извор]

Како одговор на овие критики, Пол Семјуелсон тврдел дека математиката е јазик, повторувајќи тези од Вилард Гибс. Во економијата, математичкиот јазик е понекогаш потребен за претставување на суштинските проблеми. Покрај тоа, математичката економија доведе до концептуален напредок во економијата.[126] Во основа, Семјуелсон дал пример од микроекономијата, пишувајќи дека „малку луѓе се доволно генијални за да ги сфатат (нејзините) посложени делови... без да се засноваат на математичкиот јазик, додека пак, повеќето обични индивидуи можат да го направат истото со математичка помош.“[127]

Некои економисти тврдат дека математичката економија заслужува подршка исто колку и другите форми на математика, особено нејзините посродни области во математичката оптимизација и математичката статистика и повеќе во теоретската компјутрска наука. Математичката економија и другите математички науки имаат историја во која теоретскиот напредок има регулрани придонеси во реформата на поприспособливите гранки на економијата. Во основа, следејќи ја програмата на Џон фон Нојман, теоријата на игри сега ги обезбедува основите за опишување на поголемиот дел од применетата економија, од теоријата на статистички одлуки (како „игра против природата“) и економетријата на теоријата за општа рамнотежа и индустриска организација. Во последната декада, со зголемената употреба на интернетот, математичките економисти, експертите за оптимизација и комјутерските научници работеле на проблемите во одредувањето на цената на онлајн услугите - нивните придонеси се засноваат на употребата на математиката од теоријата за кооперативни игри, недиференцијалната оптимизација и комбинаторните игри.

Роберт М. Солоу заклучил дека математичката економија е јадрото на „инфраструктурата“ на современата економија:

Економијата не е повеќе составен разговорен дел за дами и господа. Таа стана технички предмет. Како и секој друг технички предмет привлекува некои луѓе кои се позаинтересирани во техниката отколку во предметот. Тоа е многу лошо, но можеби неизбежно. Во секој случај, не се залажувајте себе си: техничкото јадро на економијата е неопходна инфраструктура за политичката економија. Тоа е поради тоа што, доколку се консултирате барајќи просветлување за денешниов свет, ќе бидете водени од техничката економија, историја или потполно ништо.[128]

Математички економисти[уреди | уреди извор]

XIX век[уреди | уреди извор]

  • Енрико Бароне
  • Антоан Огистен Курно
  • Франсис Исидро Еџворт
  • Ирвинг Фишер
  • Вилијам Стенли Џeвонс

XX век[уреди | уреди извор]

  • Чарламбос Д. Алипрентис
  • Р. Џ. Д. Ален
  • Морис Алајас
  • Кенет Џ. Ароу
  • Роберт Џ. Омен
  • Ајвис Баласко
  • Дејвид Блеквел
  • Лоренс Блум
  • Грасиела Чичилниски
  • Џорџ Б. Данциг
  • Жерард Дебро
  • Жаквес Дрезе
  • Дејвид Гејл
  • Николас Џорџеску-Роген
  • Роџер Геснери
  • Френк Хан
  • Џон Харсениј
  • Џон Р. Хикс
  • Вернер Хилдербренд
  • Харолд Хотлинг
  • Леонид Хурвиц
  • Леонид Канторович
  • Тјалинг Купменс
  • Дејвид М. Крипс
  • Харолд В. Кун
  • Едмонд Малинвод
  • Андре Мас-Колел
  • Ерик Маскин
  • Нимрод Мегидо
  • Џејмс Мирлис
  • Роџер Маерсон
  • Џон Форбс Неш Џуниор
  • Џон фон Нојман
  • Едвард Прескот
  • Рој Реднер
  • Френк Ремзи
  • Доналд Џон Роберт
  • Пол Семјуелсон
  • Томас Сарџент
  • Леонид Џ. Севиџ
  • Херберт Скарф
  • Рејнхард Селтен
  • Амартја Сен
  • Лојд С. Шепли
  • Стивен Смели
  • Роберт Солоу
  • Хуго Ф. Соненшејн
  • Алберт В. Такер
  • Хирофуми Узава
  • Роберт Б. Вилсон
  • Херман Волд
  • Николас Јанелис

Надворешни врски[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. 1,0 1,1 Чанг, Алфа К; и Кевин Вејнрајт (2005). Фундаментални методи на математичката економија. „McGraw-Hill Irwin“. стр. 3–4. ISBN 0-07-010910-9.  TOC.
  2. Elaborated at JEL classification codes.
  3. Пребарување на The New Palgrave Dictionary of Economics Online, „математичка економија“, „пресметковни модели“.
  4. Хал Варијан (1997). „Од каква корист е економската теорија?“ во „Дали економијата станува тешка наука?“ на А. Датјум и Џ. Картелие, „Edward Elgar“. Пред издавање PDF. Проверено на 1 април, 2008.
  5. • Како во првото поглавје од „Прирачник за математичка економија“, врски:
         Кенет Џ. Ароу и Мајкл Д. Интрилигејтор, (1981), в. 1
         _____ (1982). в. 2
         _____ (1986). в. 3
         Вернер Хилденбренд и Хјуго Соненшејн (1991). в. 4.
       • Жерард Дебро (1983). Математичка економија: Дваесет дела од Жерард Дебро, содржина.
       • Стивен Глејстер (1984). Математички методи за економичари, трето издание, „Blackwell“. Создржина.
       • Такаијама Акира (1985). Математичка економија, второ издание, Кембриџ. Опис и содржина.
       • Мајкл Картер (2001). Основи на математичката економија, „MIT Press“. Опис и содржина.
  6. Чанг Алфа (1992). Елементи на динамичната оптимизација, „Waveland“. TOC & Amazon.com врсо до внатрешноста, прва страна.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 Семјуелсон, Пол ((1947) [1983]). „Основи на економската анализа. „Harvard University Press“. ISBN 0-674-31301-1. 
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 • Жерард Дебро ([1987] 2008). „Математичка економија“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт. (прво издадена со ревизија од 1986, „Теоретски модели: математичка форма и економска содржина“, Econometrica, 54(6), стр. 1259-1270.)
       • Џон фон Њуман и Оскар Моргенстерн (1944). Теорија на игрите и економско поведение. „Princeton University Press“.
  9. Шумпетер, Џ. А. (1954). Елизабет Б. Шумпетер. уред. „Историја на економската анализа“. Њујорк: „Oxford University Press“. стр. 209–212. ISBN 978-0-04-330086-2. OCLC 13498913. http://books.google.com/?id=xjWiAAAACAAJ. 
  10. Шумпетер (1954) стр. 212-215
  11. Шнајдер, Ерик. Џонатан Хенрих фон Тунен. „„Econometrica““ („The Econometric Society“) том  2 (1): 1–12. doi:10.2307/1907947. ISSN 0012-9682. OCLC 35705710. 
  12. Шумпетер (1954) стр. 465-468
  13. Филип Мировски, 1991. „Зборовите кога, како и зошто во математичкото изразување во историјата на економската анализа“, Journal of Economic Perspectives, 5(1) стр. 145-157.
  14. И. Рој Вејнтрауб (2008). „Математика и економија“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
  15. В. С. Џивонс, (1866). „Краток профил на општата математичка теорија во политичката економија“, Journal of the Royal Statistical Society, XXIX (јуни) стр. 282-87. Прочитај во поглавје F од британското здружение, 1862. PDF.
  16. Џивонс, В. Стенли (1871). „Принципите на политичката економија“, стр. 4, 25.. http://books.google.com/books?id=Sw8ZAAAAYAAJ&printsec=frontcover&dq=%22The+Theory+of+Political+Economy,%22+jevons+1871#v=onepage&q=%22The%20Theory%20of%20Political%20Economy%2C%22%20jevons%201871&f=false. 
  17. 17,0 17,1 Шила, Доу (1999-05-21). "Употребата на математиката во економијата". „ESRC Public Understanding of Mathematics Seminar“. Бирмингем: „Economic and Social Research Council“. конс. 2008-07-06. 
  18. Додека концептот на кардиналност се распаѓал во корист на неокласичната економија, разликите помеѓу кардиналната корист и обичната корист биле незабележливи во повеќето примени.
  19. 19,0 19,1 Никола, Пјеркарло (2000). Матица на математичката економија во XX век. „Springer“. стр. 4. ISBN 978-3-540-67084-1. http://books.google.com/?id=KR0Rbi8o4QQC. посет. 21 август 2008 г. 
  20. Огистен Курно (1838, (1897)) Истражувања на математичките принципи на богатството. Врски до опис и поглавја.
  21. 21,0 21,1 Хотелинг, Харолд (1990). „Стабилност во конкуренцијата“. Адријан Дарнел.. „Собраните економски статии на Харолд Хотелинг“. „Springer“. стр. 51, 52. ISBN 3-540-97011-8. OCLC 20217006. http://books.google.com/?id=dYbbHQAACAAJ. посет. 21 август 2008 г. 
  22. „Антоан Огистен Курно, 1801-1877“. Веб страница на историјата на економската мисла. „The New School for Social Research“. http://cepa.newschool.edu/het/profiles/cournot.htm. посет. 21 август 2008 г. 
  23. Гибонс, Роберт (1992). Теорија на игрите за применета економија. Принстон, Њу Џерси: „Princeton University Press“. стр. 14, 15. ISBN 0-691-00395-5. http://books.google.com/?id=_6qgHgAACAAJ. 
  24. Никола, стр. 9-12
  25. Еџворт, Франсис (5 септември, 1889 г). Математичката теорија на политичката економија: Преглед на Леон Валрас, елементи на чиста економија (PDF). „„Nature““ том  40 (1036): 434–436. doi:10.1038/040434a0. ISSN 0028-0836. http://cepa.newschool.edu/het/texts/edgeworth/edgewalras89.pdf. посет. 21 август, 2008 г. 
  26. Волтер Николсон, Кристофер Снајдер, стр. 350-353.
  27. Дискон, Роберт. „Валрасовиот закон и макроекономијата“. „Walras Law Guide“. „Department of Economics, University of Melbourne“. архивирано од изворникот на 17 април, 2008 г.. http://web.archive.org/web/20080417102559/http://www.economics.unimelb.edu.au/rdixon/wlaw.html. посет. 28 септември, 2008 г. 
  28. Диксон, Роберт. „Формален доказ за валрасовиот закон“. „Walras Law Guide“. „Department of Economics, University of Melbourne“. архивирано од изворникот на 30 април, 2008 г.. http://web.archive.org/web/20080430033548/http://www.economics.unimelb.edu.au/rdixon/walproof.html. посет. 28 септември, 2008 г. 
  29. Рима, Ингрид (1977). „Неокласицизам и несогласувања 1890-1930“. Сидни Вејнтрауб. Модерна економска мисла. „University of Pennsylvania Press“. стр. 10, 11. ISBN 0-8122-7712-0. http://books.google.com/?id=s7cJAAAAIAAJ&printsec=find&pg=PR5=onepage&q#v=onepage&q&f=false. 
  30. Хејлбронер, Роберт Л. (1953 [1999]). „The Worldly Philosophers“ (седмо издание). Њујорк: „Simon and Schuster“. стр. 172–175, 313. ISBN 978-0-684-86214-9. http://books.google.com/?id=N_3cj4urgJcC. 
  31. Еџворт, Франсис Исидро (1881 [1961]). Математичка физика. Лондон: Киган Пол. стр. 15–19. http://books.google.com/?id=Q4WCGAAACAAJ. 
  32. Боули, Артур Лајон (1924 [1960]). „The Mathematical Groundwork of Economics: an Introductory Treatise“. Осфорд: „Clarendon Press [Kelly]“. http://books.google.com/?id=_cgkAAAAMAAJ. 
  33. Џилис, Д. Б. (1969). „„Solutions to general non-zero-sum games““. В. Такер & Р. Д. Лус. „Придонеси во теоријата на игри“. „Annals of Mathematics“. 40. Принстон, Њу Џерси: „Princeton University Press“. стр. 47–85. ISBN 978-0-691-07937-0. http://books.google.com/?id=9lSVFzsTGWsC. 
  34. Мос, Лоренс С.. Дебатата помеѓу Селигмен и Еџворт за анализата на даночните последици: Пристигнувањето на математичката економија, 1892–1910. „„History of Political Economy““ („Duke University Press“) том  35 (2): 207, 212, 219, 234–237. doi:10.1215/00182702-35-2-205. ISSN 0018-2702. 
  35. Хотлинг, Харолд (1990). „За еџвортовиот феномен на оданочување и додатните услови на функцијата на побарувачката на професорот Гарвер“. Адријан Дарнер. Собраните економски статии на Харолд Хотлинг. „Springer“. стр. 94–122. ISBN 3-540-97011-8. OCLC 20217006. http://books.google.com/?id=dYbbHQAACAAJ. посет. 26 август, 2008 г. 
  36. Херстејн, Н.. Неколку математички методи и техники во економијата. „„Quarterly of Applied Mathematics““ („American Mathematical Society“) том  11 (3): 249, 252, 260. ISSN 1552-4485.  [Pp. 249-62.
  37. • Рој Вејнтрауб (2008). „Математика и економија“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
       • _____ (2002). Како економијата постана математичка наука. „Duke University Press“. Опис и преглед.
  38. Николсон, Волтер; Кристофер Снајдер (2007). „Општа рамнотежа и благосостојба“. „Интермедијарна економија и нејзината примена (десето издание). „Thompson“. стр. 364, 365. ISBN 0-324-31968-1. 
  39. Џолинк, Алберт (2006). „Што тргна наопаку кај Валрас?“. „Backhaus“, Жоргин Џ.; Макс Џ. А. Хенс. Од Валрас до Парето. The European Heritage in Economics and the Social Sciences. 4. „Springer“. doi:10.1007/978-0-387-33757-9_6. ISBN 978-0-387-33756-2. 
       • Влож, Марк. Фундаменталните теореми на модерната економска благосостојба. „„History of Political Economy““ („Duke University Press“) том  39 (2): 186–188. doi:10.1215/00182702-2007-001. ISSN 0018-2702. 
  40. Блож (2007), стр. 185, 187
  41. Мецлер, Лојд. Преглед на Основи на економската анализа'. „„American Economic Review““ („The American Economic Review“, в. 38, бр. 5) том  38 (5): 905–910. ISSN 0002-8282. 
  42. 42,0 42,1 42,2 Џ. фон Нојман (1937). „Über ein ökonomisches Gleichungssystem und ein Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes“, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, 8, стр. 73-83, преведено и издадено во 1945-46 како „Модел на општа рамнотежа“, Review of Economic Studies, 13, стр. 1–9.
  43. Дејвид Гејл. Теоријата за линеарни економски модели. „McGraw-Hill“, Њујорк, 1960.
  44. Моргенстерн, Оскар; Томпсон, Џералд Л. (1976). „Математичка теорија за ширењето и стеснувањето на економијата“. „Lexington Books“. Лексингтон, Масачусетс: „D. C. Heath and Company“. стр. xviii+277. 
  45. Александар Шријвер, Теорија на линеарно и целосно програмирање. „John Wiley & sons“, 1998, ISBN 0-471-98232-6.
  46. Рокфелер, Р. Тајрел (1967). Монотони процеси на конвексните и конкавните видови. „Memoirs of the American Mathematical Society“. Провиденс, Р. И.: „American Mathematical Society“. стр. i+74. 
       • Рокфелер, Р. Т. (1974). „Конвексна алгебра и двојноста во динамичните модели на производство“. Џозеф Лоз и Марија Лоз. Математички модели во економијата, Варшава, 1972. Амстердам: „North-Holland and Polish Adademy of Sciences (PAN)“. стр. 351–378. 
       •Рокфелер, Р. Т. (1970 (реиздадено во 1997 како „Princeton classic in mathematics“)). Конвексни анализи. Принстон, Њу Џерси: „Princeton University Press“. 
  47. Кенет Ароу, Пол Семјуелсон, Џон Харсниј, Сидни Афрејт, Џералд Л. Томпсон и Николас Калдор. (1989). Мухамед Доре, Сукамој Чакраварти, Ричард Марфи. уред. Џон фон Нојман и модерната економија. Оксфорд. стр. 261. 
  48. Поглавје 9.1 „Методот за пораст на фон Нојман“ (страна 277–299):. Interior point algorithms: Theory and analysis. Wiley. 1997.
  49. Скрепанти, Ернесто; Замагни Стефано (1993). „Преглед на историјата на економската мисла“. Њујорк: „Oxford University Press“. стр. 288–290. ISBN 0-19-828370-9. OCLC 57281275. 
  50. Дејвид Гејл. Теоријата на линеарни економски модели. „McGraw-Hill“, Њујорк, 1960.
  51. Моргенстерн, Оскар; Томпсон, Џералд Л. (1976). „Математичка теорија за ширењето и стеснувањето на економијата“. „Lexington Books“. Лексингтон, Масачусетс: „D. C. Heath and Company“. стр. xviii+277. 
  52. "Природата на математичкото програмирање, Mathematical Programming Glossary, „INFORMS Computing Society“.
  53. 53,0 53,1 Карл Шмедерс (2008). „Нумерички оптимизациони методи во економијата“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание, в. 6, стр. 138-57. Апстракт.
  54. Лајонел Робинс (1935, второ издание). Есеј за природата и значајноста на економската наука, „Macmillan“, стр. 16.
  55. Лоренс Блум (2008). „Двојност“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
  56. 56,0 56,1 Авинаш Диксит ([1976] 1990). Оптимизација во економската теорија, второ издание, Оксфорд. Опис и содржински преглед.
  57. • Пол Семјуелсон, 1998. „Како Основите се создадоа", Journal of Economic Literature, 36(3), стр. 1375–1386.
       • _____ (1970).„Максимум принципи во аналитичката економија“.
  58. • Алан М. Филдмен (2008). „Економска благосостојба“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
       • Андре Мас-Колил, Мајкл Д. Винстон и Џери Грин (1995), Микроекономска теорија, поглавје 16. „Oxford University Press“, ISBN 0-19-510268-1. Опис и содржина.
  59. • Џон Гинакоплос ([1987] 2008). „Ароу-Дебров модел на општа рамнотежа“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
      • Ароу Џ. Кенет и Жерард Дебро (1954). „Постоењето на рамнотежа во конкурентната економија“, Econometrica 22(3), стр. 265-290.
  60. • Херберт Скарф (2008). „Пресметка на општата рамнотежа“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
      • Феликс Кјублер (2008). „Пресметка на општата рамнотежа (нови придонеси)“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
  61. Никола, стр. 133
  62. Роберт Долфмен, Пол А. Семјуелсон и Роберт М. Слоу (1958). Linear Programming and Economic Analysis. „McGraw–Hill“. Преглед на поглавје - врски.
  63. М Падберг, Линеарна оптимизација и проширување, второ издание, „Springer-Verlag“, 1999.
  64. Џорџ Б. Данциг ([1987] 2008). „Линеарно програмирање“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
  65. • Мајкл Интрилигатор (2008). „Нелинеарно прогрмирање“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. TOC.
       • Лоренс Блум (2008). „Конвексно програмирање“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
       • Кун, Х. В.; Такер, А. В. (1951). "Нелинеарно програмирање". „Proceedings of 2nd Berkeley Symposium“. Беркли: „University of California Press“. стр. 481–492. 
  66. Бертсекс, Димитри П. (1999). Нелинеарно програмирање (Второ издание). Кебриџ, Масачусетс.: „Athena Scientific“. ISBN 1-886529-00-0. 
       • Вапнијарски, А. Б. (2001), "Лагранжовите множители", Во Хацевинкел, Михил, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104 .
       • Лесдон, Лион С. (1970). „Оптимизациона теорија за големи системи“. „Macmillan series in operations research“. Њујорк: „The Macmillan Company“. стр. xi+523. 
       • Лесдон, Лион С. (2002). „Оптимизациона теорија за големи системи“ (реиздание на тоа од 1970 од „Macmillan“ издание). Минеола, Њујорк: „Dover Publications, Inc.“. стр. xiii+523. 
       • Хиријарт Јурути, Џин-Баптист; Лемарешал, Клоуди (1993). „XII Апстрактна двојност за практичарите“. „Конвексна анализа и минимизација на алгоритми“, Том 2: Напредната теорија и методи на врзување. „Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften“ [„Фундаменталните принципи на математичката наука“]. 306. Берлин: „Springer-Verlag“. стр. 136–193 (и библиографски коментари на стр. 334–335). ISBN 3-540-56852-2. 
  67. 67,0 67,1 Лемарешал, Клауди (2001). „Лагранжовото олеснување“. Мајкл Жунгер и Денис Надеф. Пресметковна комбинаторна оптимизација: Дела од „Spring School“ чувани во „Schloß Dagstuhl“, Мај 15–19, 2000. „Lecture Notes in Computer Science“. 2241. Берлин: „Springer-Verlag“. стр. 112–156. doi:10.1007/3-540-45586-8_4. ISBN 3-540-42877-1. 
  68. Понтријагин, Л. С.; Болтијански, В., Гемкрелиѕе, Р. В., Мишенко, И. Ф. (1962). Математичката теорија на оптималните процеси. Њујорк: „Wiley“. ISBN 68981. 
  69. • Зеликин, М. А. ([1987] 2008). „Понтрајигановиот принцип за оптималност“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Преглед - врска.
       • Мартос Бела (1987). „Контрола и координација на економската активност“, The New Palgrave: A Dictionary of Economics. Опис - врска.
       • В. А. Брок (1987). „Оптимална контрола и економска динамика“, The New Palgrave: A Dictionary of Economics. Резиме.
       • Шел, К. (1967). Есеј за теоријата на оптимален економски пораст. Кембриџ, Масачусетс: „The MIT Press“. ISBN 0-262-19036-2. ]
  70. А. Џ. Маларис (2008). „Стохастична оптимална контрола“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
  71. Ароу, К. Џ.; М. Курз (1970). Јавни инвестиции, стапката на поврат и оптимална фискална политика. Балтимор, Мериленд: „The Johns Hopkins Press“. ISBN 0-8018-1124-4.  Апстракт.
       • Сети, С. П.; Томпсон, Џ. Л. (2000). Теорија на оптимална контрола: Примена во менаџментот и економијата, второ издание. Њујорк: „Springer“. ISBN 0-7923-8608-6.  Мотај до преглед на поглавје - врска.
  72. Ендру Мекленан, 2008. „Теореми за фиксна точка“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
  73. Вејнтрауб, Рој (1977). „Теорија за општа рамнотежа“. Сидни Вејнтрауб. Модерна економска мисла. „University of Pennsylvania Press“. стр. 107–109. ISBN 0-8122-7712-0. http://books.google.com/?id=JDqAAAAAIAAJ. 
       • Ароу, Кенет; Дебро, Жерард. Постоењето на рамнотежа за конкурентна економија. „„Econometrica““ („The Econometric Society“) том  22 (3): 265–290. doi:10.2307/1907353. ISSN 0012-9682. 
  74. 74,0 74,1 74,2 Леонид Канторович и Виктор Полтерович (2008). „Функционална анализа“, во второто издание на The New Palgrave Dictionary of Economics од С. Дурлоф и Л. Блум. Апстракт., „Palgrave Macmillan“.
  75. Канторович, Л. В (1990). „„Моето патешествие во науката (извештај за московското математичко друштво)“ бр. 2, стр. 233–270]“. Лев Џ. Лифмен. Функционална анализа, оптимизација и математичка економија: Збир на дела посветени во сеќавање на Леонид Виталевич Канторович. Њујорк: „The Clarendon Press, Oxford University Press“. стр. 8–45. ISBN 0-19-505729-5. 
  76. Стр. 406: Полијак, Б. Т.. „Историја на математичкото програмирање во СССР: анализа на феноменот (поглавје 3: Пионерот Л. В. Канторович 1912-1986, стр 405-407“, стр. 401–416.
  77. „Леонид Виталиевич Канторович — Prize Lecture („Математиката во економијата: Достигнувања, потешкотии, перспективи““. Nobelprize.org. http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1975/kantorovich-lecture.html. посет. 12 декември, 2010 г. 
  78. Алипрентис, Чарламбос; Браун, Доналд Џ.; Буркиншо, Овен (1990). Постоење и оптималност на конкурентната рамнотежа. Берлин: „Springer–Verlag“. стр. xii+284. ISBN 3-540-52866-0. 
  79. Р. Тајрел Рокфелер. Конјуктивна двојност и оптимизација. Предавања одржани на „Johns Hopkins University“, Балтимор, Мериленд,, јуни, 1973. „Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Applied Mathematics“, бр. 16. „Society for Industrial and Applied Mathematics“, Филаделвија, Пенсилванија., 1974. +74 стр.
  80. Лестер Телсер и Роберт Л. Грејвс Функционална анализа во математичката економија: Оптимизација пред бесконечен хоризонт 1972. „University of Chicago Press“, 1972, ISBN 978-0-226-79190-6.
  81. 81,0 81,1 Џон фон Нојман и Оскар Моргенстерн (1944) Теорија на игрите и економско однесување, Принстон.
  82. Мас Колел, Андре (1985). Теоријата за општа економска рамнотежа: Диференцијален пристап. „Econometric Society monographs“. Cambridge UP. ISBN 0-521-26514-2. 
  83. Ајвис Баласко. Основи на теоријата за општа рамнотежа, 1988, ISBN 0-12-076975-1.
  84. Џон Криди (2008). „Френсис Исидро“ (1845–1926)", The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
  85. • Џон Ф. Неш Џуниот. (1950). „Проблемот со договарањето“, Econometrica, 18(2), стр. 155-162.
       • Роберто Серано (2008). „Договарање“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
  86. • Вернон Смит (1992). „Теорија на игрите и опитна економија: Почетоци и рани влијанија“ во Низ историјата на теоријата на игри од Р. Вејнтрауб, стр. 241- 282.
       • _____ (2001). „Експериментална економија“, International Encyclopedia of the Social & Behavioral Sciences, стр. 5100-5108. Апстракт за секција. 1.1 & 2.1.
       • Чарлс Р. Плот и Вернон Л. Смит. (2008). Прирачник од резултати на експерименталната економија, в. 1, „Elsevier“, 4 дел, Игри, поглавје 45-66, преглед врски.
       • Мартин Шјубик (2002). „Теорија на игрите и опитно играње“ во Прирачник за теоријата на игри со економски примени на Р. Омен и С. Харт, „Elsevier“, в. 3, стр. 2327-2351. Апстракт.
  87. Од The New Palgrave Dictionary of Economics (2008), второ издание:
       • Фарук Гол. „Економско поведение и теорија на игрите“. Апстракт.
       • Колин Камерер „Однесување во теоријата на игри“. Апстракт.
  88. • Ерик Расмусен (2007). Игри и информации, четврто издание. Опис и преглед на поглавје врска.
       • Р. Омен и С. Харт (1992, 2002). Прирачник за теоријата на игри со економска примена в. 1, врски до поглавје 3-6 и в. 3, поглавје 43.
  89. • Жан Тироли (1988). Теоријата за индустријална организација, „MIT Press“. Опис и преглед на поглавје - врски, стр. 7-9, „Општа организација“, стр. 5-6, и „Теорија на некооперативни игри: рачен прирачник“, поглавје 11, стр. 423-59.
       • Кајли Багвел и Ашер Волински (2002). „Теорија на игрите и индустриската организација“, поглавје 49, Прирачник за теоријата на игри со економска примена, в. 3, стр. 1851-1895.
  90. • Мартин Шјубик (1981). „Модели на теоријата на игри и методи во политичката економија“ во Прирачник за математичка економија, в. 1, стр. 285-330.
  91. The New Palgrave Dictionary of Economics (2008), второ издание:
         Роџер Б. Маерсон „Дизајн на механизам“. Апстракт.
         _____. „Принцип на откривање“. Апстракт.
         Томас Сендхолм. „Пресметки во дизајнот на механизмот“. Апстракт.
       • Нисан, Ноен и Амир Ронен (2001). „Алгоритамски механички дизајн“, Игри и економско однесување, 35(1-2), стр. 166–196.
       • Ноем Нисан (2007). „Алгоритамска теорија на игрите“, „Cambridge University Press“. Опис.
  92. 92,0 92,1 • Џозеф Халперн (2008). „Компјутерска наука и теорија на игрте“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
             • Јоав Шохем (2008). „Компјутерска наука и теорија на игрите“, Communications of the ACM, 51(8), стр. 75-79.
             • Алвин Рот (2002). „Економистот како инжињер: Теорија на игрите, експериментирање и пресметка како алатки во дизајнирањето на економијата“, Econometrica, 70(4), стр. 1341–1378.
  93. • Алан Кирмен (2008). „Економијата како комплексен систем“, The New Palgrave Dictionary of Economics , второ издание. Апстракт.
       • Лејг Тесфатсион (2003). „Пресметковна економија заснована на посредници: Моделирање на економијата како комплексен применлин систем“, Information Sciences, 149(4), стр. 262-268.
  94. Пејџ Скот (2008), „Модели засновани на посредници“, The New Palgrave Dictionary of Economics, второ издание. Апстракт.
  95. • Џон Х. Холанд и Џон Х. Милер (1991). „Вештачки адаптивни посредници во економската теорија“, American Economic Review, 81(2), [стр. 365-370 стр. 366.
       • В. Брајан Артур, 1994. „Индуктивно резонирање и ограничена рационалност“, American Economic Review, 84(2), стр. 406-411.
       • Томас Шелинг [2006]). Микромотиви и макрооднесување, „Norton“. Опис, преглед.
       • Томас Сарџент (1994). Ограничена рационалност во макроекономијата, Оксфорд. Опис и преглед на поглавје, прва страна - врска.
  96. • Кенет Л. Џуд (2006). „Комјутерски интензивни анализи во економијата“, Прирачник за компјутерска економија, в. 2, поглавје 17, Вовед, стр. 883. [стр. 881- 893. Пред издание PDF.
       • _____ (1998). Нумерички методи во економијата, „MIT Press“. Врски до опис и преглед на поглавје.
  97. • Лејг Тесфатсион (2002). „Пресметковна економија заснована на посредници: Економски раст од дното па нагоре“, Вештачки живот, 8(1), стр.55-82. Апстракт и пред издание PDF.
       • _____ (1997). „Како економистите можат да оживеа“, во Економијата како еволутивен комплексен систем, II на В. Б. Артур, С. Дурлоф и Д. Лени, стр. 533-564. „Addison-Wesley“. Пред издание PDF.
  98. Лејн Тесфатсион (2006), „Пресметковна економија заснована на посредници: Конструктивен пристап до економската теорија“, поглавје 16, Прирачник за компјутерска економија, в. 2, дел 2, ПЕЗП изучување на економскиот систем. Апстракт и пред издание PDF.
  99. Роберт Ејкслорд (1997). Комплексноста на соработката: Модели засновани на посредници во конкуренцијата и соработката, Принстон. Опис, содржина и преглед.
  100. • Роберто Лиомбруни и Матео Ричијарди (2004), Индустрија и трудова динамика: Пресметковниот економски пристап заснован на посредници. „World Scientific Publishing“ ISBN 981-256-100-5. Опис и преглед на поглавје - врски.
       • Џошуа М. Епстејн (2006). „Пораст на адаптивните организации: Пресметковен пристап заснован на посредници“ во Производна социјална наука: Изучувања на пресметковното моделирање засновано на посредници, стр. 309 - 344. Опис и апстракт.
  101. Томас Б. Клоса и Барт Нутбум, 2001. „Економија на комјутерски трансакциони трошоци засновани на посредници“, Journal of Economic Dynamics and Control 25(3–4), стр. 503–52. Апстракт.
  102. Рпберт Акстел (2005). „Комплексноста на замената“, Economic Journal, 115(504), стр. F193-F210.
  103. The New Palgrave Dictionary of Economics (2008), второ издание:
         Роџер Маерсон „Механички дизајн“. Апстракт.
         _____. „Принцип на откривање“. Апстракт.
         Томас Сендхолм. „Пресметки во механичкиот дизајн“. Апстракт.
       • Нисан, Ноем и Амир Ронен (2001). „Алгоритамски механички дизајн“, Игри и економско однесување, 35(1-2), стр. 166–196.
       • Нисан, Ноем (2007). Алгоритамска теорија на игрите, „Cambridge University Press“. Опис.
  104. Томас В. Сендхолм и Виктор Р. Лесер (2001). „Leveled Commitment Contracts and Strategic Breach“, Игри и економско однесување, 35(1-2), стр. 212-270.
  105. • Дејвид Колендер, Питер Ховит, Алан Кирмен, Ејксел Лијонхувуд и Пери Мерлинг (2008). „Над моделите: Низ емпиријално заснована макроеконоија“, American Economic Review, 98(2), стр. 236-240. Pre-pub PDF.
       • Томас Сарџент (1994). Ограничена рационалност во макроекономијата, Оксфорд. Опис и преглед на поглавје, прва страна - врска.
  106. Лејг Тесфатсион (2006), „Пресметковна економија заснована на посредници: Конструктивен пристап кон економската теорија“, поглавје 16, Прирачник за пресметковна економја, в. 2, стр. 832-865. Abstract and pre-pub PDF.
  107. Линер, Гејнс Х.. Јадрени списанија во економијата. „„Economic Inquiry““ („Oxford University Press“) том  40 (1): 140. doi:10.1093/ei/40.1.138. 
  108. Стиглер, Џорџ Џ.; Стиглер, Стивен Џ.; Фридленд, Клери. Економските списанија. „„The Journal of Political Economy““ („The University of Chicago Press“) том  103 (2): 339. doi:10.1086/261986. ISSN 0022-3808. 
  109. Стиглер, стр. 342
  110. Сутер, Даниел и Рекс Пџески. „Каде Адам Смит би објавувал статии денес?: Блиското отсуство на нематематички истражувања во најдобрите списанија“ (мај, 2007). [1]
  111. Ароу, Кенет Џ.. „Делата на Рагран Фриш, економетричар“. „„Econometrica““ („Blackwell Publishing“) том  28 (2): 175–192. doi:10.2307/1907716. ISSN 0012-9682. 
  112. Бјерколт, Олав. Рагнар Фриш, уредник на „Econometrica“ од 1933-1954. „„Econometrica““ („Blackwell Publishing“) том  63 (4): 755–765. doi:10.2307/2171799. ISSN 0012-9682. 
  113. Ланж, Оскар. Целта и методот на економијата. „„Review of Economic Studies““ („The Review of Economic Studies Ltd.“) том  13 (1): 19–32. doi:10.2307/2296113. ISSN 0034-6527. 
  114. Алдрих, Џон. Автономија. „„Oxford Economic Papers““ („Oxford University Press“) том  41 (1, Историја и методологија на економетријата): 15–34. ISSN 0030-7653. 
  115. Епстејн, Рој Џ. (1987). Историја на економетрија. „Contributions to Economic Analysis“. „North-Holland“. стр. 13–19. ISBN 978-0-444-70267-8. OCLC 230844893. 
  116. Коландер, Дејвид. Чудната истрајност на „IS-LM“ моделот. „„History of Political Economy““ („Duke University Press“) том  36 („Annual Supplement“): 305–322. doi:10.1215/00182702-36-Suppl_1-305. ISSN 0018-2702. 
  117. Бремс, Ханс (октомври, 1975 г). Маршал за математиката. „„Journal of Law and Economics““ („University of Chicago Press“) том  18 (2): 583–585. doi:10.1086/466825. ISSN 0022-2186. 
  118. Фриг, Р.; С. Хартмен (27 февруари, 2006). Едвард Н. Залта. уред. Модели во науката. „Stanford Encyclopedia of Philosophy“. Стенфорд, Калифорнија: „The Metaphysics Research Lab“. http://plato.stanford.edu/entries/models-science/#OntWhaMod. посет. 16 август, 2008 г. 
  119. Хајек, Фридрих. Употребата на знаењето во општеството. „„American Economic Review““ том  35 (4): 519–530. 
  120. Хејлбронер, Роберт. „Крајот на лошата наука?“, мај-јуни, 1999.
  121. Бид & Овен, 584
  122. Боланд, Л. (2007). „Седум декади на економска методологија“. К. Жарви, К. Милфорд, Д. В. Милер. Карл Попер: Оценка на векот. Лондон: „Ashgate Publishing“. стр. 219. ISBN 978-0-7546-5375-2. http://books.google.com/?id=w-BEoTj0axoC. посет. 10 јуни 2008 г. 
  123. Бид, Клв; Кејн, Овеј. Која е критиката за математизацијата на економијата?. „„Kyklos““ том  44 (4): 581–612. doi:10.1111/j.1467-6435.1991.tb01798.x. 
  124. Фридман, Милтон (1953). Есеј за позитивна економија. Чикаго: „University of Chicago Press“. стр. 30, 33, 41. ISBN 978-0-226-26403-5. http://books.google.com/?id=rSGekjfpf4cC. 
  125. Кејнс, Џон Мајнард (1936). Оптата теорија за вработување, интерес и пари. Кембриџ: „Macmillan“. стр. 297. ISBN 0-333-10729-2. http://www.marxists.org/reference/subject/economics/keynes/general-theory/ch21.htm. 
  126. Пол. А. Семјуелсон (1952). „Економска теорија и математика - Оценка“, American Economic Review, 42(2), стр. 56, 64-65 (притисни crtl и +).
  127. Д. В. Бушо и Роберт Кловер (1957). Вовед во математичка економија, стр. vii.
  128. Солоу, Роберт М.. „Широкиот, широк свет на богатство (The New Palgrave: A Dictionary of Economics'. Уреден од Џон Итвел, Мари Милгејт и Питер Њумен. Четири тоа. 4.103 стр. Њујорк: „Stockton Press“. $650)“, 20 март, 1988.
Ова е избрана статија. Стиснете тука за повеќе информации.
Статијата „Математичка економија“ е избрана статија. Ве повикуваме и Вас да напишете и предложите избрана статија (останати избрани статии).