Матрица (математика)

Статии поврзани со линеарната алгебра

Теорија на матрици

Матрица Детерминанта

Системи линеарни равенки

Линеарна равенка Систем линеарни равенки Крамерово правило Кронекер-Капелиева теорема

Линеарни пресликувања и векторски простори

Вектор, Скалар Векторски простор Линеарна зависност Линеарно пресликување Спектрална теорема

Останати статии

Скаларен производ Векторски производ Аналитичка геометрија Портал: Математика

Основни елементи на матрица

Во математиката, под поимот матрица се подразбира правоаголната шема:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$

која е составена од $m\cdot n$ елементи. Хоризонталните низи се нарекуваат редови или редици на матрицата, додека вертикалните низи се нарекуваат колони или столбови. Матрицата погоре има $m$ редови и $n$ колони. За таа матрица велиме дека е од ред ${\boldsymbol {m\times n}}$ (читај: ем-по-ен).

Елементите на матрицата може да бидат броеви, но и не мора. Матриците чии елементи се броеви се викаат бројни матрици.

Еднаквост на матрици

Две матрици се еднакви ако се од ист ред и ако нивните соодветни елементи се еднакви. Симболично прикажано, за матриците $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и $B=\left[b_{ij}\right]_{p\times q}$ важи $A=B$ ако $m=p,n=q$ , и ако $a_{ij}=b_{ij}$ за секои $1\leqslant i\leqslant m\,\,{\mbox{и}}\,\,1\leqslant j\leqslant n.$

Специјални матрици

Нека е дадена матрицата $A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$.

Матрица-ред

Матрицата која има само еден ред се нарекува матрица-ред. Значи, $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ e матрица-ред ако ${m=1}$, т.е. $A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\end{bmatrix}}_{1\times n}=\left[a_{1j}\right]_{1\times n}$. На пример, матрица-ред e ${\begin{bmatrix}-1&3\\\end{bmatrix}}$.

Матрица-колона

Матрицата која има само една колона се нарекува матрица-колона. Значи, $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ e матрица-ред ако ${n=1}$, т.е. $A={\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}_{m\times 1}=\left[a_{i1}\right]_{m\times 1}$. На пример, матрица-колона е ${\begin{bmatrix}-1\\3\\\end{bmatrix}}$.

Транспонирана матрица

Матрицата $A^{T}=[a_{ji}]_{n\times m}$ се вика транспонирана матрица на матрицата $A$.

Квадратна матрица

Ако $m=n$, тогаш матрицата $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ се вика квадратна матрица од ред $n$, или само квадратна матрица ако нејзиниот ред се подразбира од зададениот контекст. На пример, следнава матрица е квадратна матрица од ред ${2}$:

${\begin{bmatrix}-1&3\\0&-3\\\end{bmatrix}}$

Единична матрица

Кај квадратна матрица елементите $a_{ii},i=1,\ldots ,n,$ се нарекуваат елементи на главната дијагонала. Квадратната матрица од ред $n$ кај која елементите на главната дијагонала се единици, а сите останати елементи се нули, се нарекува единична матрица од ред ${\boldsymbol {n}}$ и се означува со ${\boldsymbol {I_{n}}}$. Значи, $I_{n}=[\delta _{ij}]_{n\times n}$ каде $\delta _{ii}=1$ и $\delta _{ij}=0$ ако ${i\neq j}$. На пример, единични матрици се следниве:

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

Операции со матрици

Над матриците се извршуваат операциите собирање и одземање и, под одредени услови, множење. Делењето на матрици не се извршува.

Собирање и одземање на матрици

Собирањето и одземањето се врши по членови и тоа само кај матрици од ист ред, односно собирањето на матрици од различен ред не е дефинирано. Притоа, ако се дадени две матрици од ист ред (m x n), $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и $B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}$, нивниот збир ќе биде матрица од ред (m x n) дадена како: $A+B=\left[a_{ij}+b_{ij}\right]_{m\times n}$

На пример, нека $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и $B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}$ се две матрици од ист ред. Тогаш, збир на матриците $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и $B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}$ е матрицата $C=\left[c_{ij}\right]_{m\times n}$ за која важи:

$\ C=A+B$

составена од елементите

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n$.

Аналогно, разлика на матриците $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и $B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}$ е матрицата $C=A-B$ составена од елементите

$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n$.

Практично, собирањето на матриците се врши на следниов начин:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}$

Слично се постапува при одземање.

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&\cdots &a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&\cdots &a_{2n}-b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&\cdots &a_{mn}-b_{mn}\\\end{bmatrix}}$

За собирањето на матрици важат следниве својства:

• $A+B=B+A$ (комутативен закон)
• $(A+B)+C=A+(B+C)$ (асоцијативен закон)

Множење на матрици со скалар

Секоја матрица може да се помножи со скалар (елемент на некое поле) така што секој член на матрицата посебно се множи со скаларот. На пример, матрицата од ред ${m\times n}$, $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$, може да се помножи со скаларот $\alpha$, при што производот ќе биде матрицата $\alpha A=\left[\alpha a_{ij}\right]_{m\times n}$ од ред ${m\times n}$. За множењето на матрица со скалар важат следниве својства:

• $(\alpha \,\beta )A=\alpha (\beta A)$(асоцијативно својство)
• $1A=A$ (идентитет)
• $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$ (дистрибутивно својство)
• $(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$ (дистрибутивно својство)

Множење на матрици

Множењето се врши само кај матрици за кои важи: матрицата која е прв множител мора да има ист број колони колку што изнесува бројот на редици матрицата која е втор множител. Матрицата-производ која се добива при множењето има онолку редици колку што има редици во првиот множител, а производот има онолку колони колку што има матрицата која е втор множител. Поинаку кажано: нека $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и нека $B=\left[b_{ij}\right]_{p\times q}$. Тогаш производот $\ C=A\cdot B$ постои ако и само ако $n=p\,.$ Притоа, за членовите на матрицата-производ важи

$A\cdot B=C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}\Leftrightarrow c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},\,\,\ i=1,2,...,m,\,\,\,\,\ j=1,2,...,q\,,$

т.е. елементот $c_{ij}$ кој е во $i$-тата редица и $j$-тата колона на матрицата-производ $C$ се добива кога секој од елементите на $i$-тата редица на матрицата $A$ (првиот множител) ќе се помножи со соодветниот елемент од $j$-тата колона на матрицата $B$ (која е втор множител) и така добиените производи ќе се соберат.

Значи, просто кажано, множењето се врши редица-по-колона. Малку поопширно напишано, ако $A=[a_{ij}]_{m\times n},\,\,\ B=[b_{ij}]_{n\times q}$, тогаш за производот $A\cdot B=C$ имаме:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1q}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2q}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nq}\end{bmatrix}}$$={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\cdots a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1q}+a_{12}b_{2q}+\cdots a_{1n}b_{nq}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+\cdots a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+\cdots a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1q}+a_{22}b_{2q}+\cdots a_{2n}b_{nq}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+a_{m2}b_{21}+\cdots a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+a_{m2}b_{22}+\cdots a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1q}+a_{m2}b_{2q}+\cdots a_{mn}b_{nq}\\\end{bmatrix}}$

Следствено, множењето матрици не е комутативно во општ случај. Комутативниот закон може да важи само ако матриците имаат по ист број на редици и колони.

Слично како кај реалните броеви, знакот за множење меѓу матриците може да се испушти. Понекогаш знакот за множење се означува со ${\boldsymbol {\times }}$.

Ако $A,B,C$ се матрици, и $\alpha$ е скалар, тогаш важат следниве својства за множењето на матрици:

• $(AB)C=A(BC)$ - асоцијативно својство
• $A(B+C)=AB+AC$ - лево дистрибутивно својство
• $(A+B)C=AC+BC$ - десно дистрибутивно својство
• $\alpha (AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$
• Производот на секоја матрица $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ со соодветната единична матрица е еднаков на самата матрица, т.е. $I_{m}A=AI_{n}=A.$

Примери за операции со матрици

Нека се дадени матриците:

$A={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}B={\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{2\times 4}C={\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

Тогаш:

$A+C={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}+{\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}1+(-7)&5+1\\7+5&3+0\\4+3&0+(-6)\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}-6&6\\12&3\\7&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

Матриците $A$ и $B$ не се од ист ред па затоа нивниот збир $A+B$ не постои, т.е. не е дефиниран. Слично, не е дефиниран ниту збирот $B+C$.

Од производите постојат само $A\cdot B$ и $C\cdot B$. На пример, $A\cdot B={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{{\color {green}{\boldsymbol {3}}}\times \color {red}{\boldsymbol {2}}}\cdot {\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{{\color {red}{\boldsymbol {2}}}\times {\color {blue}{\boldsymbol {4}}}}$$={\begin{bmatrix}1\cdot (-1)+5\cdot 0&1\cdot 3+5\cdot (-3)&1\cdot 0+5\cdot 1&1\cdot 2+5\cdot (-4)\\7\cdot (-1)+3\cdot 0&7\cdot 3+3\cdot (-3)&7\cdot 0+3\cdot 1&7\cdot 2+3\cdot (-4)\\4\cdot (-1)+0\cdot 0&4\cdot 3+0\cdot (-3)&4\cdot 0+0\cdot 1&4\cdot 2+0\cdot (-4)\\\end{bmatrix}}_{{\color {green}{\boldsymbol {3}}}\times {\color {blue}{\boldsymbol {4}}}}$$={\begin{bmatrix}-1&-12&5&-18\\-7&12&3&2\\-4&12&0&8\\\end{bmatrix}}_{3\times 4}$

Елементарни операции со редици

Во определени случаи, особено кога во матричен облик е претставен систем од линеарни равенки, од особено значење се неколку видови операции со редовите на матрицата, наречени елементарни операции со редови:

• меѓусебна промена на местоположбата на два реда
• множење на ред на матрицата со некоја константа
• собирање на еден ред од матрицата со производот на константа и друг ред од матрицата

Инверзна матрица

Нека $A$ е квадратна матрица од ред $n$. Ако постои матрица $B=A^{-1}$ така што $AA^{-1}=I_{n}=A^{-1}A$, тогаш матрицата $B=A^{-1}$ се нарекува инверзна матрица на матрицата $A$. Притоа, само квадратните матрици можат (но не мора) да имаат инверзни матрици. Ако матрицата $A$ има инверзна матрица $A^{-1}$, тогаш $A^{-1}$ е единствена. Ако за матрицата $A$ постои инверзната матрица $A^{-1}$, тогаш $A$ се нарекува инвертибилна или несингуларна матрица.

Постојат повеќе начини за наоѓање на инверзната матрица на дадена матрица. Еден од нив е методот на Гаус-Жорданова елиминација кој се состои од следниве чекори: ако $A$ е инвертибилна квадратна матрица од ред $n$, тогаш најпрвин правиме матрица од ред $n\times 2n$ која е состaвена од матрицата $A$ на левата страна на која на десната страна ѝ се додава единична матрица од ред $n$ и така се добива матрицата $[A|I_{n}]$. Потоа, со помош на елементрани операции на редовите, матрицата A се трансформира до единична матрица, а преку истите трансформации матрицата $I_{n}$ ќе се трансформира до $A^{-1}$ па од матрицата $[A|I_{n}]$ ќе се добие матрицата $[I_{n}|A^{-1}]$.

Постојат и други методи за пресметување на инверзна матрица како на пример методите на Њутн, Кејли-Хамилтон, Шолески, аналитичките методи, методот со инверзни базни вектори, преку редовите на Нојман итн.

За инвертибилните матрици од понизок ред постојат директни формули за пресметување на инверзна матрица. На пример За инвертибилна матрица од ред $2\times 2$ постои . Имено, ако е дадена матрицата A = ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}$, тогаш матрицата A е инвертибилна ако и само ако нејзината детерминанта е различна од нула, т.е. ad - bc ≠ 0. Ако е задоволено ова неравенство, тогаш инверзната матрица $A^{-1}$ се пресметува со следнава формула:$A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}$${\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}$

Надворешни врски

• Матрици - Математика за сите (македонски)
• Специјални матрици - Математика за сите (македонски)