Матрица (математика)

Статии поврзани со линеарната алгебра

Теорија на матрици

Матрица Детерминанта

Системи линеарни равенки

Линеарна равенка Систем линеарни равенки Крамерово правило Кронекер-Капелиева теорема

Линеарни пресликувања и векторски простори

Вектор, Скалар Векторски простор Линеарна зависност Линеарно пресликување Спектрална теорема

Останати статии

Скаларен производ Векторски производ Аналитичка геометрија Портал: Математика

Во математиката, под поимот матрица се подразбира правоаголната шема:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$

која е составена од $m\cdot n$$m\cdot n$ елементи. Хоризонталните низи се нарекуваат редици на матрицата, додека вертикалните колони. Матрицата погоре има m редици и n колони. За таа матрица велиме дека е од ред m×n (читај ем-по-ен).

Елементите на матрицата може да бидат броеви, но и не мора. Матриците чии елементи се броеви се викаат бројни матрици.

Операции со матрици

Над матриците се извршуваат операциите собирање и одземање и, под одредени услови, множење. Делење на матрици не се извршува.

• Собирањето и одземањето се врши по членови и тоа само кај матрици од ист ред. Нека $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$$A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и $B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}$$B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}$ се две матрици од ист ред. Тогаш, ако $C=\left[c_{ij}\right]_{m\times n}$$C=\left[c_{ij}\right]_{m\times n}$ е матрица за која важи:

$\ C=A+B$$\ C=A+B$

тогаш важи:

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n$$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n$

Слично, ако $\ C=A+B$$\ C=A+B$, тогаш важи:

$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n$$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n$

Практочно, тоа изгледа вака:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}$

Слично се постапува при одземање.

• Множењето се врши само кај матрици за кои важи: матрицата која е прв множител мора да има ист број колони колку што редици има матрицата која е втор множител. Матрицата-производ добиена со множењето е има редици колку првиот множител и колони колку и вториот множител. Следствено, множењето матрици не е комутативно; комутативниот закон важи само ако матриците имаат по ист број редици и колони. Поинаку кажано: нека $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$$A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и нека $B=\left[b_{ij}\right]_{p\times q}$$B=\left[b_{ij}\right]_{p\times q}$. Тогаш производот $\ C=A\cdot B$$\ C=A\cdot B$ постои ако и само ако $n=p$$n=p$. После множењето, доколку тоа може да се изврши, ќе се добие матрица $C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}$$C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}$.

Самото множење се врши редица-по-колона. Нека се $A=[a_{ij}]_{m\times n},\,\,\ B=[b_{ij}]_{n\times q}$$A=[a_{ij}]_{m\times n},\,\,\ B=[b_{ij}]_{n\times q}$. Тогаш за производот $C=A\cdot B$$C=A\cdot B$ имаме:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1q}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2q}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nq}\end{bmatrix}}=$${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1q}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2q}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nq}\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\cdots a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1q}+a_{12}b_{2q}+\cdots a_{1n}b_{nq}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+\cdots a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+\cdots a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1q}+a_{22}b_{2q}+\cdots a_{2n}b_{nq}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+a_{m2}b_{21}+\cdots a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+a_{m2}b_{22}+\cdots a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1q}+a_{m2}b_{2q}+\cdots a_{mn}b_{nq}\\\end{bmatrix}}$$={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\cdots a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1q}+a_{12}b_{2q}+\cdots a_{1n}b_{nq}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+\cdots a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+\cdots a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1q}+a_{22}b_{2q}+\cdots a_{2n}b_{nq}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+a_{m2}b_{21}+\cdots a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+a_{m2}b_{22}+\cdots a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1q}+a_{m2}b_{2q}+\cdots a_{mn}b_{nq}\\\end{bmatrix}}$ Во општ случај, поради гломазноста на изразот, се бележи: $A\cdot B=C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}\Leftrightarrow c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},\,\,\ i=1,2,...,m\,\,\,\,\ j=1,2,...,q$$A\cdot B=C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}\Leftrightarrow c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},\,\,\ i=1,2,...,m\,\,\,\,\ j=1,2,...,q$

Примери

Нека се дадени матриците:

$A={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}B={\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{2\times 4}C={\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}$$A={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}B={\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{2\times 4}C={\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

Тогаш:

$A+C={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}+{\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}1+(-7)&5+1\\7+5&3+0\\4+3&0+(-6)\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}-6&6\\12&3\\7&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}$$A+C={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}+{\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}1+(-7)&5+1\\7+5&3+0\\4+3&0+(-6)\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}-6&6\\12&3\\7&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

$A\cdot B={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}\cdot {\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{2\times 4}$$A\cdot B={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}\cdot {\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{2\times 4}$

$={\begin{bmatrix}1\cdot (-1)+5\cdot 0&1\cdot 3+5\cdot (-3)&1\cdot 0+5\cdot 1&1\cdot 2+5\cdot (-4)\\7\cdot (-1)+3\cdot 0&7\cdot 3+3\cdot (-3)&7\cdot 0+3\cdot 1&7\cdot 2+3\cdot (-4)\\4\cdot (-1)+0\cdot 0&4\cdot 3+0\cdot (-3)&4\cdot 0+0\cdot 1&4\cdot 2+0\cdot (-4)\\\end{bmatrix}}_{3\times 4}$$={\begin{bmatrix}1\cdot (-1)+5\cdot 0&1\cdot 3+5\cdot (-3)&1\cdot 0+5\cdot 1&1\cdot 2+5\cdot (-4)\\7\cdot (-1)+3\cdot 0&7\cdot 3+3\cdot (-3)&7\cdot 0+3\cdot 1&7\cdot 2+3\cdot (-4)\\4\cdot (-1)+0\cdot 0&4\cdot 3+0\cdot (-3)&4\cdot 0+0\cdot 1&4\cdot 2+0\cdot (-4)\\\end{bmatrix}}_{3\times 4}$ $={\begin{bmatrix}-1&-12&5&-18\\-7&12&3&2\\-4&12&0&8\\\end{bmatrix}}_{3\times 4}$$={\begin{bmatrix}-1&-12&5&-18\\-7&12&3&2\\-4&12&0&8\\\end{bmatrix}}_{3\times 4}$

Специјални матрици

Нека $A=[a_{ij}]_{m\times n}$$A=[a_{ij}]_{m\times n}$ е произволна матрица

• Матрицата $A^{T}=[a_{ji}]_{n\times n}$$A^{T}=[a_{ji}]_{n\times n}$ се вика транспонирана матрица на матрицата $A$$A$.
• Ако m=n, тогаш матрицата $A=[a_{ij}]_{n\times n}$$A=[a_{ij}]_{n\times n}$ се вика квадратна матрица.

Надворешни врски

• Матрици - Математика за сите (македонски)
• Специјални матрици - Математика за сите (македонски)