Основни елементи на матрица
Во математиката , под поимот матрица се подразбира правоаголната шема:
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
]
m
×
n
=
[
a
i
j
]
m
×
n
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}}
која е составена од
m
⋅
n
{\displaystyle m\cdot n}
редици на матрицата, додека вертикалните колони . Матрицата погоре има m редици и n колони. За таа матрица велиме дека е од ред m ×n (читај ем-по-ен ).
Елементите на матрицата може да бидат броеви, но и не мора. Матриците чии елементи се броеви се викаат бројни матрици .
Над матриците се извршуваат операциите собирање и одземање и, под одредени услови, множење . Делење на матрици не се извршува.
Собирањето и одземањето се врши по членови и тоа само кај матрици од ист ред. Нека
A
=
[
a
i
j
]
m
×
n
{\displaystyle A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}}
B
=
[
b
i
j
]
m
×
n
{\displaystyle B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}}
C
=
[
c
i
j
]
m
×
n
{\displaystyle C=\left[c_{ij}\right]_{m\times n}}
C
=
A
+
B
{\displaystyle \ C=A+B}
тогаш важи:
c
i
j
=
a
i
j
+
b
i
j
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
m
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
n
{\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n}
C
=
A
+
B
{\displaystyle \ C=A+B}
c
i
j
=
a
i
j
−
b
i
j
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
m
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
n
{\displaystyle c_{ij}=a_{ij}-b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n}
Практочно, тоа изгледа вака:
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
]
+
[
b
11
b
12
⋯
b
1
n
b
21
b
22
⋯
b
2
n
⋮
⋮
⋮
⋮
b
m
1
b
m
2
⋯
b
m
n
]
=
[
a
11
+
b
11
a
12
+
b
12
⋯
a
1
n
+
b
1
n
a
21
+
b
21
a
22
+
b
22
⋯
a
2
n
+
b
2
n
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
+
b
m
1
a
m
2
+
b
m
2
⋯
a
m
n
+
b
m
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}}
Слично се постапува при одземање.
Множењето се врши само кај матрици за кои важи: матрицата која е прв множител мора да има ист број колони колку што редици има матрицата која е втор множител. Матрицата-производ добиена со множењето е има редици колку првиот множител и колони колку и вториот множител. Следствено, множењето матрици не е комутативно ; комутативниот закон важи само ако матриците имаат по ист број редици и колони. Поинаку кажано: нека
A
=
[
a
i
j
]
m
×
n
{\displaystyle A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}}
B
=
[
b
i
j
]
p
×
q
{\displaystyle B=\left[b_{ij}\right]_{p\times q}}
C
=
A
⋅
B
{\displaystyle \ C=A\cdot B}
n
=
p
{\displaystyle n=p}
C
=
[
c
i
j
]
m
×
q
{\displaystyle C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}}
Самото множење се врши редица-по-колона . Нека се
A
=
[
a
i
j
]
m
×
n
,
B
=
[
b
i
j
]
n
×
q
{\displaystyle A=[a_{ij}]_{m\times n},\,\,\ B=[b_{ij}]_{n\times q}}
C
=
A
⋅
B
{\displaystyle C=A\cdot B}
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
]
⋅
[
b
11
b
12
⋯
b
1
q
b
21
b
22
⋯
b
2
q
⋮
⋮
⋮
⋮
b
n
1
b
n
2
⋯
b
n
q
]
=
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1q}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2q}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nq}\end{bmatrix}}=}
=
[
a
11
b
11
+
a
12
b
21
+
⋯
a
1
n
b
n
1
a
11
b
12
+
a
12
b
22
+
⋯
a
1
n
b
n
2
⋯
a
11
b
1
q
+
a
12
b
2
q
+
⋯
a
1
n
b
n
q
a
21
b
11
+
a
22
b
21
+
⋯
a
2
n
b
n
1
a
21
b
12
+
a
22
b
22
+
⋯
a
2
n
b
n
2
⋯
a
21
b
1
q
+
a
22
b
2
q
+
⋯
a
2
n
b
n
q
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
b
11
+
a
m
2
b
21
+
⋯
a
m
n
b
n
1
a
m
1
b
12
+
a
m
2
b
22
+
⋯
a
m
n
b
n
2
⋯
a
m
1
b
1
q
+
a
m
2
b
2
q
+
⋯
a
m
n
b
n
q
]
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\cdots a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1q}+a_{12}b_{2q}+\cdots a_{1n}b_{nq}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+\cdots a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+\cdots a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1q}+a_{22}b_{2q}+\cdots a_{2n}b_{nq}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+a_{m2}b_{21}+\cdots a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+a_{m2}b_{22}+\cdots a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1q}+a_{m2}b_{2q}+\cdots a_{mn}b_{nq}\\\end{bmatrix}}}
A
⋅
B
=
C
=
[
c
i
j
]
m
×
q
⇔
c
i
j
=
∑
k
=
1
n
a
i
k
b
k
j
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
q
{\displaystyle A\cdot B=C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}\Leftrightarrow c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},\,\,\ i=1,2,...,m\,\,\,\,\ j=1,2,...,q}
Нека се дадени матриците:
A
=
[
1
5
7
3
4
0
]
3
×
2
B
=
[
−
1
3
0
2
0
−
3
1
−
4
]
2
×
4
C
=
[
−
7
1
5
0
3
−
6
]
3
×
2
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}B={\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{2\times 4}C={\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}}
Тогаш:
A
+
C
=
[
1
5
7
3
4
0
]
3
×
2
+
[
−
7
1
5
0
3
−
6
]
3
×
2
=
[
1
+
(
−
7
)
5
+
1
7
+
5
3
+
0
4
+
3
0
+
(
−
6
)
]
3
×
2
=
[
−
6
6
12
3
7
−
6
]
3
×
2
{\displaystyle A+C={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}+{\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}1+(-7)&5+1\\7+5&3+0\\4+3&0+(-6)\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}-6&6\\12&3\\7&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}}
A
⋅
B
=
[
1
5
7
3
4
0
]
3
×
2
⋅
[
−
1
3
0
2
0
−
3
1
−
4
]
2
×
4
{\displaystyle A\cdot B={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}\cdot {\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{2\times 4}}
=
[
1
⋅
(
−
1
)
+
5
⋅
0
1
⋅
3
+
5
⋅
(
−
3
)
1
⋅
0
+
5
⋅
1
1
⋅
2
+
5
⋅
(
−
4
)
7
⋅
(
−
1
)
+
3
⋅
0
7
⋅
3
+
3
⋅
(
−
3
)
7
⋅
0
+
3
⋅
1
7
⋅
2
+
3
⋅
(
−
4
)
4
⋅
(
−
1
)
+
0
⋅
0
4
⋅
3
+
0
⋅
(
−
3
)
4
⋅
0
+
0
⋅
1
4
⋅
2
+
0
⋅
(
−
4
)
]
3
×
4
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}1\cdot (-1)+5\cdot 0&1\cdot 3+5\cdot (-3)&1\cdot 0+5\cdot 1&1\cdot 2+5\cdot (-4)\\7\cdot (-1)+3\cdot 0&7\cdot 3+3\cdot (-3)&7\cdot 0+3\cdot 1&7\cdot 2+3\cdot (-4)\\4\cdot (-1)+0\cdot 0&4\cdot 3+0\cdot (-3)&4\cdot 0+0\cdot 1&4\cdot 2+0\cdot (-4)\\\end{bmatrix}}_{3\times 4}}
=
[
−
1
−
12
5
−
18
−
7
12
3
2
−
4
12
0
8
]
3
×
4
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}-1&-12&5&-18\\-7&12&3&2\\-4&12&0&8\\\end{bmatrix}}_{3\times 4}}
Нека
A
=
[
a
i
j
]
m
×
n
{\displaystyle A=[a_{ij}]_{m\times n}}
Матрицата
A
T
=
[
a
j
i
]
n
×
n
{\displaystyle A^{T}=[a_{ji}]_{n\times n}}
транспонирана матрица на матрицата
A
{\displaystyle A}
Ако m=n , тогаш матрицата
A
=
[
a
i
j
]
n
×
n
{\displaystyle A=[a_{ij}]_{n\times n}}
квадратна матрица . 
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56281f9ff421aa002a2ead9461921643aa789aba)
![{\displaystyle A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde39c9813a1eb6cf90e2e017ee8dfdeee076044)
![{\displaystyle B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5a236ea2c529b0086f457eefaa14e6e0698e49)
![{\displaystyle C=\left[c_{ij}\right]_{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7ea6cf35c1ae0bc0ebbbe1bfd14d848e6ffd47)
![{\displaystyle B=\left[b_{ij}\right]_{p\times q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf5c1ce7aa89c721de6e2e0e8c7b92a697a5d49)
![{\displaystyle C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6aed99c36d59fb72c05715e1b978b83e109cb26)
![{\displaystyle A=[a_{ij}]_{m\times n},\,\,\ B=[b_{ij}]_{n\times q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c283a5c2d2bc29bf0b6185755e7da4d0451702fc)
![{\displaystyle A\cdot B=C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}\Leftrightarrow c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},\,\,\ i=1,2,...,m\,\,\,\,\ j=1,2,...,q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801a2cc203028d55e7da34c87e69dbc464c74e78)
![{\displaystyle A=[a_{ij}]_{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5bd4b7bfb4ee56b1a658f3afaedf14c496ebb2)
![{\displaystyle A^{T}=[a_{ji}]_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26704ea29ae4be2b5a399878b657abb1de573c7)
![{\displaystyle A=[a_{ij}]_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f76d5a3c84559cb38ae3f5831868d3257892a4)