Матрица (математика)

Статии поврзани со линеарната алгебра

Теорија на матрици

Матрица Детерминанта

Системи линеарни равенки

Линеарна равенка Систем линеарни равенки Крамерово правило Кронекер-Капелиева теорема

Линеарни пресликувања и векторски простори

Вектор, Скалар Векторски простор Линеарна зависност Линеарно пресликување Спектрална теорема

Останати статии

Скаларен производ Векторски производ Аналитичка геометрија Портал: Математика

Основни елементи на матрица

Во математиката, под поимот матрица се подразбира правоаголната шема:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$

која е составена од $m\cdot n$ елементи. Хоризонталните низи се нарекуваат редици на матрицата, додека вертикалните колони. Матрицата погоре има m редици и n колони. За таа матрица велиме дека е од ред m х n (читај: ем-по-ен).

Елементите на матрицата може да бидат броеви, но и не мора. Матриците чии елементи се броеви се викаат бројни матрици.

Операции со матрици

Над матриците се извршуваат операциите собирање и одземање и, под одредени услови, множење. Делењето на матрици не се извршува.

Собирање и одземање на матрици

Собирањето и одземањето се врши по членови и тоа само кај матрици од ист ред, односно собирањето на матрици од различен ред не е дефинирано. Притоа, ако се дадени две матрици од ист ред (m x n), $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и $B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}$, нивниот збир ќе биде матрица од ред (m x n) дадена како: $A+B=\left[a_{ij}+b_{ij}\right]_{m\times n}$

На пример, нека $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и $B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}$ се две матрици од ист ред. Тогаш, ако $C=\left[c_{ij}\right]_{m\times n}$ е матрица за која важи:

$\ C=A+B$

тогаш важи:

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n$

Слично, ако $\ C=A-B$, тогаш важи:

$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n$

Практично, собирањето на матриците се врши на следниов начин:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}$

Слично се постапува при одземање.

За собирањето на матрици важат следниве својства:

• A + B = B + A (комутативно својство)
• A + (B + C) = (A + B) + C (асоцијативно својство)

Множење на матрици со скалар

Секоја матрица може да се помножи со скалар на тој начин што секој член на матрицата посебно се множи со скаларот. На пример, матрицата од ред (m x n), $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$, може да се помножи со скалар c, а производот ќе биде матрица од ред (m x n) дадена како: $cA=\left[ca_{ij}\right]_{m\times n}$ За множењето на матрица со скалар важат следниве својства:

• (c d)A = c(d A) (асоцијативно својство)
• 1A = A (идентитет)
• c(A + B) = c A + c B (дистрибутивно својство)
• (c + d)A = c A + d A (дистрибутивно својство)

Множење на матрици

Множењето се врши само кај матрици за кои важи: матрицата која е прв множител мора да има ист број колони колку што редици има матрицата која е втор множител. Матрицата-производ добиена со множењето е има редици колку првиот множител и колони колку и вториот множител. Следствено, множењето матрици не е комутативно; комутативниот закон важи само ако матриците имаат по ист број редици и колони. Поинаку кажано: нека $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и нека $B=\left[b_{ij}\right]_{p\times q}$. Тогаш производот $\ C=A\cdot B$ постои ако и само ако $n=p$. После множењето, доколку тоа може да се изврши, ќе се добие матрица $C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}$, каде cij = аi1 b1j + аi2 b2j + аi3 b3j + .... аin bnj. Според тоа, множењето на матриците се извршува така што се множат редовите на едната матрица со колоните на другата матрица при што елементите од i-тиот ред на матрицата A се множат со елементите од j-тата колона на матрицата B и така добиените производи се собираат.

Самото множење се врши редица-по-колона. Нека се $A=[a_{ij}]_{m\times n},\,\,\ B=[b_{ij}]_{n\times q}$. Тогаш за производот $C=A\cdot B$ имаме:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1q}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2q}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nq}\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\cdots a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1q}+a_{12}b_{2q}+\cdots a_{1n}b_{nq}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+\cdots a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+\cdots a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1q}+a_{22}b_{2q}+\cdots a_{2n}b_{nq}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+a_{m2}b_{21}+\cdots a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+a_{m2}b_{22}+\cdots a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1q}+a_{m2}b_{2q}+\cdots a_{mn}b_{nq}\\\end{bmatrix}}$ Во општ случај, поради гломазноста на изразот, се бележи: $A\cdot B=C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}\Leftrightarrow c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},\,\,\ i=1,2,...,m\,\,\,\,\ j=1,2,...,q$

Ако A, B и C се матрици, а c е скалар, тогаш важат следниве својства на множењето на матрици:

• A(B C) = (A B)C - асоцијативно својство
• A(B + C) = A B + A C - лево дистрибутивно својство
• (A+ B)C = A C + B C - десно дистрибутивно својство
• c(A B) = (c A)B = A(c B)

Примери за операции со матрици

Нека се дадени матриците:

$A={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}B={\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{2\times 4}C={\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

Тогаш:

$A+C={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}+{\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}1+(-7)&5+1\\7+5&3+0\\4+3&0+(-6)\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}-6&6\\12&3\\7&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

$A\cdot B={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}\cdot {\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{2\times 4}$

$={\begin{bmatrix}1\cdot (-1)+5\cdot 0&1\cdot 3+5\cdot (-3)&1\cdot 0+5\cdot 1&1\cdot 2+5\cdot (-4)\\7\cdot (-1)+3\cdot 0&7\cdot 3+3\cdot (-3)&7\cdot 0+3\cdot 1&7\cdot 2+3\cdot (-4)\\4\cdot (-1)+0\cdot 0&4\cdot 3+0\cdot (-3)&4\cdot 0+0\cdot 1&4\cdot 2+0\cdot (-4)\\\end{bmatrix}}_{3\times 4}$ $={\begin{bmatrix}-1&-12&5&-18\\-7&12&3&2\\-4&12&0&8\\\end{bmatrix}}_{3\times 4}$

Еднаквост на матрици

Две матрици се еднакви меѓу себе ако се од ист ред и ако сите нивни елементи се еднакви. Симболично прикажано, две матрици, A = [aij] и B = [bij], се еднакви ако двете се од истиот ред (m x n) и ако aij = bij за 1 ≤ i ≤ m и 1 ≤ j ≤ n.

Елементарни операции со редови

Во определени случаи, особено кога во матричен облик е претставен систем од линеарни равенки, од особено значење се неколку видови операции со редовите на матрицата, наречени елементарни операции со редови:

• меѓусебна промена на местоположбата на два реда
• множење на редот на матрицата со некоја константа
• собирање на едне ред со производот на друг ред и константа

Инверзна матрица

Ако A е квадратна матрица од ред n, тогаш ако постои матрица A^-1 така што A A^-1 = In = A^-1 A, тогаш матрицата A^-1 е инверзна матрица на матрицата A. Ако постои инверзнаматрица на матрицата A, тогаш A се нарекува сингуларна матрица. Притоа, само квадратните матрици можат (но не мора) да имаат инверзни матрици. Но, ако матрицата има инверзна матрица, тогаш инверзната матрица е единствена. Постојат повеќе начини за изнаоѓање на инверзна матрица, а еден од нив е методот на Гаус-Џорданова елиминација кој се состои од следниве чекори: Ако A е квадратна матрица од ред n, тогаш најпрвин правиме матрица од ред n x 2n која се состои од матрицата A на левата страна, а на која на десната страна ѝ се додава единечна матрица од ред n x 'n и така се добива матрицата [A : I]. Потоа, ако е можно, со помош на елементрани операции на редовите, матрицата A се сведува на единечна матрица, а на тој начин ќе се добие матрицата [I : A^-1]. Ако тоа не може да се постигне, тогаш матрицата A нема инверзна матрица, односно таа не е инвертибилна. За матрици од ред 2x2 постои побрз начин на изнаоѓање инверзна матрица со помош на формула. Имено, ако е дадена матрицата A = ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}$, тогаш матрицата A е инвертибилна ако и само ако нејзината детерминанта е различна од нула, т.е. ad - bc ≠ 0. Ако е задоволено ова неравенство, тогаш инверзната матрица A^-1 се пресметува со следнава формула: $\ {\frac {1}{ad-bc}}$ ${\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}$

Специјални матрици

Матрица-ред

Матрицата која има само еден ред се нарекува матрица-ред. На пример, таква е следнава матрица:

${\begin{bmatrix}-1&3\\\end{bmatrix}}$

Матрица-колона

Матрицата која има само една колона се нарекува матрица-колона. На пример, таква е следнава матрица:

${\begin{bmatrix}-1\\3\\\end{bmatrix}}$

Единечна матрица

Матрицата со димензии n x n која се сотои од единици на главната дијагонала, а сите останати елементи се нули, се нарекува единечна матрица од ред n. Притоа, секоја единечна матрица е квадратна, а нејзино важно својство е тоа што производот на секоја матрица од ред m×n со единечна матрица е еднаков на самата матрица, т.е. $I_{m}A=AI_{n}=A.$ На пример, такви се следниве матрици:

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

Транспонирана матрица

Нека $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ е произволна матрица

• Матрицата $A^{T}=[a_{ji}]_{n\times n}$ се вика транспонирана матрица на матрицата $A$.

Квадратна матрица

• Ако m=n, тогаш матрицата $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ се вика квадратна матрица од ред n или само квадратна матрица ако нејзиниот ред се подразбира од зададениот контекст. Притоа, кај квадратната матрица, елементите a11, a22, a33 итн. се нарекуваат елементи на главната дијагонала. На пример, следнава матрица е квадратна матрица од ред 2х2:

${\begin{bmatrix}-1&3\\0&-3\\\end{bmatrix}}$

Надворешни врски

• Матрици - Математика за сите (македонски)
• Специјални матрици - Математика за сите (македонски)