Матрица (математика)

Статии поврзани со линеарната алгебра

Теорија на матрици

Матрица Детерминанта

Системи линеарни равенки

Линеарна равенка Систем линеарни равенки Крамерово правило Кронекер-Капелиева теорема

Линеарни пресликувања и векторски простори

Вектор, Скалар Векторски простор Линеарна зависност Линеарно пресликување Спектрална теорема

Останати статии

Скаларен производ Векторски производ Аналитичка геометрија Портал: Математика

Матрица од ред $m\times n$: $m$-те редици се хоризонталните низи (означени со зелени броеви), a $n$-те колони (означени со црвени броеви) сe вертикалните низи. Секој елемент од матрицата се означува со два индекса. На пример, $a_{{\color {green}2}\,{\color {red}1}}$ го означува елементот кој е во втората редица и во првата колона на матрицата.

Во математиката, под поимот матрица се подразбира правоаголна шема:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$

која е составена од $m\cdot n$ елементи. Хоризонталните низи се нарекуваат редови или редици на матрицата, додека вертикалните низи се нарекуваат колони или столбови. Матрицата $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ од погоре има $m$ реда и $n$ колони. За таа матрица велиме дека е од ред ${\boldsymbol {m\times n}}$ (читај: „ем-по-ен“).

Секој од елементите на матрицата припаѓа точно на една редица и една колона. Елементите на матрицата најчесто се броеви и тие матрици се викаат бројни матрици. Постојат и матрици чии елементи се функции (функциски матрици), симболи, изрази и сл.

Еднаквост на матрици

Две матрици се еднакви ако се од ист ред и ако нивните соодветни елементи се еднакви. Симболично прикажано, за матриците $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и $B=\left[b_{ij}\right]_{p\times q}$ важи $A=B$ ако и само ако $m=p$, $n=q$ и $a_{ij}=b_{ij}$ за секои $1\leqslant i\leqslant m\,\,{\mbox{и}}\,\,1\leqslant j\leqslant n.$

Специјални матрици

Матрица-ред

Матрицата која има само еден ред се нарекува матрица-ред или вектор-редица.

Значи, $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ e матрица-ред ако ${m=1}$, т.е. $A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\end{bmatrix}}_{1\times n}=\left[a_{1j}\right]_{1\times n}$.

На пример, матрица-ред e ${\begin{bmatrix}-1&3\\\end{bmatrix}}$.

Матрица-колона

Матрицата која има само една колона се нарекува матрица-колона или вектор-колона.

Значи, $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ e матрица-ред ако ${n=1}$, т.е.

$A={\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}_{m\times 1}=\left[a_{i1}\right]_{m\times 1}$.

На пример, матрица-колона е ${\begin{bmatrix}-1\\3\\\end{bmatrix}}$.

Транспонирана матрица

Матрицата $A^{T}=[a_{ji}]_{n\times m}$ се вика транспонирана матрица на матрицата $A$.

Квадратна матрица

Ако $m=n$, тогаш матрицата $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ се вика квадратна матрица од ред $n$, или само квадратна матрица ако нејзиниот ред се подразбира од зададениот контекст. На пример, следнава матрица е квадратна матрица од ред ${2}$:

${\begin{bmatrix}-1&3\\0&-3\\\end{bmatrix}}$

Единична матрица

Кај квадратна матрица елементите $a_{ii},i=1,\ldots ,n,$ се нарекуваат елементи на главната дијагонала. Квадратната матрица од ред $n$ кај која елементите на главната дијагонала се единици, а сите останати елементи се нули, се нарекува единична матрица од ред ${\boldsymbol {n}}$ и се означува со ${\boldsymbol {I_{n}}}$. Значи, $I_{n}=[\delta _{ij}]_{n\times n}$ каде $\delta _{ii}=1$ и $\delta _{ij}=0$ ако ${i\neq j}$. На пример, единични матрици се следниве:

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

Операции со матрици

Над матриците се извршуваат операциите собирање и множење со број (скалар).

Собирање на матрици

Собирањето е операција дефинирана на множеството од матрици од ист ред. Збир на матрици од различен ред не е дефиниран. Собирањето се врши по соодветните членови. Така, ако се дадени две матрици од ист ред, $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и $B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}$, тогаш нивниот збир е матрица $C=\left[c_{ij}\right]_{m\times n}$ од ред $m\times n$ составена од елементите

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n$.

Значи,

$\left[a_{ij}\right]_{m\times n}+\left[b_{ij}\right]_{m\times n}=\left[a_{ij}+b_{ij}\right]_{m\times n}$

Пишуваме $C=A+B$.

Аналогно, разлика на матриците $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и $B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}$ е матрицата $C=A-B$ составена од елементите

$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij},\,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m,\,\,\,\ j=1,2,...n$.

Посликовито, собирањето на матриците се врши на следниов начин:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}$

а при одземање имаме

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&\cdots &a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&\cdots &a_{2n}-b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&\cdots &a_{mn}-b_{mn}\\\end{bmatrix}}$

За собирањето на матрици важат следниве својства:

• $A+B=B+A$ (комутативен закон),
• $(A+B)+C=A+(B+C)$ (асоцијативен закон).

Множење на матрици со скалар

Секоја матрица може да се помножи со скалар (елемент на некое поле) така што секој член на матрицата посебно се множи со скаларот. На пример, матрицата од ред ${m\times n}$, $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$, може да се помножи со скаларот $\alpha$, при што производот ќе биде матрицата $\alpha \cdot A=\left[\alpha \cdot a_{ij}\right]_{m\times n}$ од ред ${m\times n}$. Често знакот за множење „$\cdot$“ се испушта. За множењето на матрица со скалар важат следниве својства:

• $(\alpha \,\beta )A=\alpha (\beta A)$(асоцијативно својство)
• $1A=A$ (идентитет)
• $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$ (дистрибутивно својство)
• $(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$ (дистрибутивно својство)

Множење на матрици

Множење на две матрици може да се дефинира само под одредени услови: матрицата која е прв множител мора да има ист број на колони колку што изнесува бројот на редици матрицата која е втор множител. Матрицата-производ која се добива при множењето има:

• онолку редици колку што има редици во првиот множител,

• онолку колони колку што има матрицата која е втор множител.

Поинаку кажано: нека $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ и нека $B=\left[b_{ij}\right]_{p\times q}$. Тогаш, производот $\ C=A\cdot B$ постои ако и само ако $n=p\,.$ Притоа, за членовите на матрицата-производ важи

$A\times B=C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}\Leftrightarrow c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},\,\,\ i=1,2,...,m,\,\,\,\,\ j=1,2,...,q\,,$

т.е. елементот $c_{ij}$ кој е во $i$-тата редица и $j$-тата колона на матрицата-производ $C$ се добива кога секој од елементите на $i$-тата редица на матрицата $A$ (првиот множител) ќе се помножи со соодветниот елемент од $j$-тата колона на матрицата $B$ (која е втор множител) и така добиените производи ќе се соберат.

Попросто кажано, множењето на матрици се врши редица-по-колона. Малку поопширно напишано, ако $A=[a_{ij}]_{m\times n},\,\,\ B=[b_{ij}]_{n\times q}$, тогаш производот $A\cdot B=C$ може да се запише како:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}\times {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1q}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2q}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nq}\end{bmatrix}}_{n\times q}$$={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\cdots a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1q}+a_{12}b_{2q}+\cdots a_{1n}b_{nq}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+\cdots a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+\cdots a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1q}+a_{22}b_{2q}+\cdots a_{2n}b_{nq}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+a_{m2}b_{21}+\cdots a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+a_{m2}b_{22}+\cdots a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1q}+a_{m2}b_{2q}+\cdots a_{mn}b_{nq}\\\end{bmatrix}}_{m\times q}$

Следствено, за множењето матрици во општ случај не важи комутативниот закон или множењето не е комутативно (производот може да не е дефиниран ако се смени редоследот на множителите). Комутативниот закон може да важи само ако матриците имаат по ист број на редици и колони, т.е. ако се квадратни.

Слично како кај множењето со скалар, знакот за множење меѓу матриците може да се испушти. Понекогаш знакот за множење се означува со ${\boldsymbol {\cdot }}$.

Ако $A,B,C$ се матрици, и $\alpha$ е скалар, тогаш важат следниве својства за множењето на матрици:

• $(AB)C=A(BC)$ - асоцијативен закон
• $A(B+C)=AB+AC$ - лево дистрибутивно својство
• $(A+B)C=AC+BC$ - десно дистрибутивно својство
• $\alpha (AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$
• Производот на секоја матрица $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ со соодветната единична матрица е еднаков на самата матрица, т.е. $I_{m}A=AI_{n}=A.$

Примери за операции со матрици

Нека се дадени матриците:

$A={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2},\quad B={\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{2\times 4},\quad C={\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

Тогаш:

$A+C={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}+{\begin{bmatrix}-7&1\\5&0\\3&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}1+(-7)&5+1\\7+5&3+0\\4+3&0+(-6)\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}={\begin{bmatrix}-6&6\\12&3\\7&-6\\\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

Матриците $A$ и $B$ не се од ист ред па затоа нивниот збир $A+B$ не постои, т.е. не е дефиниран. Слично, не е дефиниран ниту збирот $B+C$.

Од производите постојат само $A\times B$ и $C\times B$. На пример, $A\times B={\begin{bmatrix}1&5\\7&3\\4&0\\\end{bmatrix}}_{{\color {green}{\boldsymbol {3}}}\times \color {red}{\boldsymbol {2}}}\times {\begin{bmatrix}-1&3&0&2\\0&-3&1&-4\\\end{bmatrix}}_{{\color {red}{\boldsymbol {2}}}\times {\color {blue}{\boldsymbol {4}}}}$$={\begin{bmatrix}1\cdot (-1)+5\cdot 0&1\cdot 3+5\cdot (-3)&1\cdot 0+5\cdot 1&1\cdot 2+5\cdot (-4)\\7\cdot (-1)+3\cdot 0&7\cdot 3+3\cdot (-3)&7\cdot 0+3\cdot 1&7\cdot 2+3\cdot (-4)\\4\cdot (-1)+0\cdot 0&4\cdot 3+0\cdot (-3)&4\cdot 0+0\cdot 1&4\cdot 2+0\cdot (-4)\\\end{bmatrix}}_{{\color {green}{\boldsymbol {3}}}\times {\color {blue}{\boldsymbol {4}}}}$$={\begin{bmatrix}-1&-12&5&-18\\-7&12&3&2\\-4&12&0&8\\\end{bmatrix}}_{3\times 4}$

Елементарни операции со редици

Во определени случаи, особено кога во матричен облик е претставен систем од линеарни равенки или кога се бара ранг на матрица или инверзна матрица, од особено значење се неколку видa операции со редиците на матрицата, наречени елементарни трансформации на редиците на матрицата:

• меѓусебна промена на местоположбата на две редици
• множење на редица на матрицата со некоја константа
• собирање на една редица од матрицата со производот на константа и друга редица од матрицата

Инверзна матрица

Нека $A$ е квадратна матрица од ред $n$. Ако постои матрица $B$ таква што $AB=I_{n}=BA$, тогаш матрицата $B$ се нарекува инверзна матрица на матрицата $A$ и се означува со $B=A^{-1}$. Притоа, само квадратните матрици можат (но не мора) да имаат инверзни матрици. Ако матрицата $A$ има инверзна матрица $A^{-1}$, тогаш $A^{-1}$ е единствена. Ако за матрицата $A$ постои инверзната матрица $A^{-1}$, тогаш $A$ се нарекува инвертибилна или несингуларна матрица. Ако за матрицата $A$ не постои инверзна матрица, велиме дека $A$ е сингуларна.

Матрица $A$ е несингуларна ако и само ако нејзината детерминанта е различна од нула, т.е. $\det(A)\neq 0$.

Постојат повеќе начини за наоѓање на инверзната матрица на дадена инвертибилна матрица $A$ од ред $n$. Еден од нив е методот на Гаус-Жорданова елиминација кој се состои од следниве чекори:

• најпрвин ја прошируваме матрицата до матрица од ред $n\times 2n$ така што на матрицата $A$ од десната страна ѝ се додава единичната матрица од ред $n$ и се добива матрицата $[A|I_{n}]$.
• со помош на елементрани операции на редиците, матрицата A се трансформира до единичната матрица, а паралелно преку истите трансформации матрицата $I_{n}$ ќе се трансформира до $A^{-1}$ па од матрицата $[A|I_{n}]$ ќе се добие матрицата $[I_{n}|A^{-1}]$.

Постојат и други методи за пресметување на инверзна матрица како на пример методите на Њутн, Кејли-Хамилтон, Шолески, аналитичките методи, методот со инверзни базни вектори, преку редовите на Нојман итн.

За инвертибилните матрици од понизок ред постојат директни формули за пресметување на инверзна матрица. На пример, нека $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}$ e инвертибилна матрица од ред $2\times 2$ , т.е. $ad-bc\neq 0$. Инверзната матрица $A^{-1}$ се пресметува со следнава формула:$A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}$${\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}$

Надворешни врски

• Матрици Архивирано на 26 април 2012 г. - Математика за сите (македонски)
• Специјални матрици Архивирано на 27 април 2012 г. - Математика за сите (македонски)