Скаларен производ

Од Википедија — слободната енциклопедија

Скаларен производбинарна операција која зема два вектора како аргументи, а резултатот е скаларен. Ова е посебен случај на внатрешно множење на простори. Ако овие два вектора се исто така од векторски простор, записот за оваа операција е како што следи:

Скаларен производ се вика секое пресликување кое ги има следните својства:

Каде, и векторите о, а α се произволен реален број.

Приказ на стандарден скаларен производ на вектори

Скаларен производ на векторите јас се дефинира на следниов начин:

Притоа и се интензитетите на овие вектори, определени со следните координати:

јас

Пример за скаларно множење на вектори (1, 3, −5) и (4, −2, −1) во тридимензионален простор:

Доказ[уреди | уреди извор]

Формулата : може да се докаже со набљудување на два вектора со заеднички почеток и нивната разлика:

Ако е аголот помеѓу два вектора чиј скаларен производ треба да се најде, користејќи ја косинусната теорема може да се напише:

Бидејќи е еднаков на , следи:

Од каде се наоѓа:

Оттука се добива конечната формула:

Ортогонални вектори[уреди | уреди извор]

Со замена на вредностите на аглите во претходната формула во случај векторите и да се заемно нормално добиваме:

.

Ова својство често е корисно за докажување дека векторите се меѓусебно нормални, бидејќи е доволно и неопходно нивниот скаларен производ да биде еднаков на нула.

Својства[уреди | уреди извор]

Скаларниот производ на вектори ги има следните својства:

Користење за пресметување на интензитет на вектор[уреди | уреди извор]

Со користење на скаларен производ на вектори, може да се изведе формула за интензитет на векторот.[1]

Бидејќи:

За посебен случај кога еднаквоста се претвора во:

Врз основа на тоа се заклучува:

Овој образец ја претставува формулата за пресметување на интензитетот на векторот.

Примена во физиката[уреди | уреди извор]

Бидејќи самите вектори се применливи во физиката, скаларниот производ на вектори наоѓа примена во неа. Така, на пример, работата се дефинира како скаларен производ на векторот на сила и векторот на поместување:

Геометриска интерпретација[уреди | уреди извор]

Бидејќи е познато дека скаларниот производ на два вектора и производот на нивните интензитети со агол меѓу нив, аголот може да се пресмета со инверзна операција.[2][3]

Троен производ[уреди | уреди извор]

Оваа формула наоѓа примена во поедноставувањето на векторските пресметки во физиката

Проекција на вектор врз вектор[уреди | уреди извор]

Со помош на скаларниот производ може да се пресмета проекција на вектор врз вектор[4], т.е.

  • скаларна проекција на векторот врз векторот
  • скаларна проекција на векторот врз векторот
  • векторска проекција на векторот врз векторот
  • векторска проекција на векторот врз векторот

Последици од скаларното множење[уреди | уреди извор]

  • [5]
  • или барем еден од векторите е
  • ( )

Поврзано[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. Lipschutz, M.; Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th. изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
  2. M.R. Spiegel, D.; Lipschutz; Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd. изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
  3. A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Преведено од Richard Silverman. Dover. стр. 14.
  4. projekcija vektora na vektor
  5. skalami proizvod a b= 0

Литература[уреди | уреди извор]

  • Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Inner product”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. 978-1556080104. 
  • Weisstein, Eric W. „Dot product”. MathWorld.