Логика на непрецизноста

Неопределената логика (наречена и „фази“ логика од англ. fuzzy logic) е облик на повеќевредносна логика изведена од теоријата на неодредените множества која се занимава со расудување кое не е прецизно, туку приближно. За разлика од бинарните (двовредносни) множества кои имаат бинарна логика, позната и како реска логика, променливите во неопределената логиката може да имаат вредност на припадност не само од 0 или 1. Кај неопределените („фази“) множества припадниците може да имаат било која вредност од 0 до 1, па така и во неопределената логиката степенот на вистинитост на еден исказ може да изнесува било која вредност помеѓу 0 и 1, и како таков не е ограничен на две вистинитосни вредности {точно (1), неточно (0)} како кај класичната исказна логика. А кога се користат лингвистички променливи, овие степени може да се раководат според конкретни функции.

Поимот „неопределена (т.е. фази) логика“ почнал да се употребува како резултат на развојот на теоријата на неопределените множества на Љутфи Аскер Заде.

Во 1965, Љутфи Аскер Заде ја предложил теоријата за неопределените множества, а потоа создал и неопределената логика заснована на неопределени множества. Неопределената логика наоѓа примена на најразлични полиња, од теоријата на раководењето до вештачка интелигенција, но сепак неја ја одбегнуваат највеќето статистичари, кои претпочитаат да работат со Бејсова логика и некои раководни инженери, кои претпочитаат класична двовредносна логика.

Пред Задевата теорија, поимот „неопределена“ (т.е. фази) се среќава во труд на Р.Х. Вилкинсон од 1963 г. и овој труд е претходник на теоријата на неопределените множествата. Вилкинсон бил првиот кој ја редефинирал и генерализирал дотогашната повеќевредносна логика изразена преку теоријата на множествата. Главната цел на овој труд, по предлозите во неговата магистерската дисертација по електроинженерство во 1961, е да се покаже симулација на било која математичка функција со електронски кола. Тој го прикажал напишаното со тоа што направил разни линеарни волтажни рампи кои потоа се избирале на логички блок користејќи диоди и резисторски кола каде биле применети максималните и минималните правила на неопределената логика: операциите ВКЛУЧИТЕЛНО ИЛИ и И. Оваа логика тој ја нарекол „аналогна логика“. Некои сметаат дека идејата за неопределената логика е всушност множествен математички еквивалент на оваа „аналогна логика“ на Вилкинсон (без употреба на електрички кола), но тој никогаш не добил признание за неговата работа.

Степени на вистинитост

Степените на вистинитост, но и веројатностите изнесуваат некаде помеѓу 0 и 1 и затоа од прв поглед може да изгледаат слично. Меѓутоа тие се концептуално различни; вистинитоста е припадност во нејасно дефинирани множества, а не „веројатноста“ за некој анстан или услов како кај теоријата на веројатноста. На пример, да земеме дека чаша од 100 ml содржи 30 ml вода. Потоа да земеме два концепта: Празно и Полно. Нивното значење може да се претстави со по едно неопределено множество. Потоа можеме да ја дефинираме чашата како 0.7 празна и 0.3 полна. Треба да се има на ум дека концептот на празнотија би бил субјективен и затоа би зависело од посматрачот или изработувачот. Друг изработувач може подеднакво добро да изработи функција за припадност во множеството каде чашата ќе се смета за полна за сите вредности над 50 ml. Од суштинско значење е да се сфати дека неопределената логиката користи степени на вистинитост како математички модел на феноменот на нејасност, додека веројатноста е математички модел на случајноста. При веројатносни околности, прво се дефинира скаларната променлива за полноста на чашата, а како второ, условни дистрибуции кои ја даваат веројатноста дека некој ќе ја нарече чашата полна при дадено ниво на полност. Меѓутоа овој модел нема смисла без да го прифатиме случувањето на еден настан, на пр. Дека за пет минути, чашата ќе биде полупразна. Забележете дека условувањето мое да се постигне со тоа што некој одреден посматрач случајно избира назив за чашата, дистрибувција низ детерминистички посматрачи, или двете. Следствено на ова, веројатноста нема ништо заедничко со неопределеноста, туку тие едноставно се различни концепти кои навидум изгледаат слични бидејќи користат ист интервал од реални броеви [0, 1]. Но сепак можеме да видиме од каде произлегува забуната - теоремите како Де Моргановата наоѓаат двојна применливост и бидејќи својствата на случајните променливи се аналогни на својствата на бинарните логички состојби.

Применување на вистинитостни вредности

Во една основна примена може да се карактеризираат подопсези на една непрекината променлива. На пример, едно мерење на температурата на антиблокирачки (АБС) кочници може да има неколку засебни функции на припадност кои ги определуваат конкретните температурни опсези потербни за правилна контрола на кочниците. Секоја функција ја пресликува истата температурна вредност каде и назначува вистинитосна вредност во опсегот од 0 до 1. Овие вистинитосни вредности потоа се користат за да се одреди како треба да се котролираат кочниците.

Неопределена логичка температура

На сликава, значењето на изразите „студено“, „топло“ и „врело“ се претставени со функции кои пресликуваат температурна скала. Една точка на та скала има три „вистинитосни вредности“ — една за секоја функција. Вертикалната линија на сликата претставува дадена температура која ја мерат трите стрелки (вистинитосни вредности). Бидејќи црвената стрелка покажува нула, температурата може да се протолкува како „не врело“. Портокаловата стрелка (која покажува 0.2) може да ја опише како „малку топло“ а сината стрелка (која покажува 0.8) „прилично студено“.

Лингвистички променливи

Додека во математиката променливите имаат бројчени вредности, на местата кајшто се применува неопределена логика често се користат „лингвистички променливи“ за ода се овозможи изразување на правила и факти.

Лингвистичката променлива како „возраст“ може да има вредност како „млад“ или нејзиниот антоним „стар“. Меѓутоа големата полезност и употребливост на лингвистичките променлици се состои во тоа што тие може да се прилагодуваат по пат на лингвистички огради применети врз примарни поими. Лингвистичките огради може да се поистоветат (асоцираат) со извесни функции. На пример, Љ. А. Заде предложил да се земе квадрат од функцијата на функцијата на припадност. Меѓутоа овој модел не работи добро.

Пример за неопределено расудување

Теоријата на неопределените множества определува фази оператори на неопределеност на основа на фази множества. Проблемот со нивната примена е тоа што соодветниот оператор на неопределеност може да биде непознат. Од оваа причина неопределената логика користи АКО-ТОГАШ правила, или пак еквивалентни конструкции како неопределени асоцијативни матрици.

Правилата се изразуваат во овој облик:
АКО „променлива“ Е „својство“ ТОГАШ „дејство“

На пример, еден најпрост регулатор на температура кој користи вентилатор може да изгледа вака:

АКО температурата Е многу ниска ТОГАШ запри го вентилаторот
АКО температурата Е ниска ТОГАШ забави го вентилаторот
АКО температурата Е нормална ТОГАШ одржувај го нивото
АКО температурата Е висока ТОГАШ забрзај го вентилаторот

Обратете внимание дека тука нема „ИНАКУ“. Се земаат во предвид сите правила, бидејќи температурата може истовремено да биде „ниска“ и „нормална“ до различен степен.

Операторите И, ИЛИ и НЕ од Буловата логика постојат и во неопределената логиката, обично дефинирани како минимум, максимум, и комплемент; кога се вака дефинирани, тие се нарекуваат „Задеви оператори“, бидејќи како такви прв ги дефинирал Заде. Значи за проенливите на неопределеност x и y:

НЕ x = (1 - вистинитост(x))
x И y = минимум(вистинитост(x), вистинитост(y))
x ИЛИ y = максимум(вистинитост(x), вистинитост(y))

Може да се применат и други оператори од полингвистички карактер, наречени „огради“. Овие обично се прилози како „многу“ или „донекаде“, кои го менуваат значењето на множеството со помош на математичка формула.

Во практична примена, програмскиот јазик Пролог е добро приспосебен за примена на неопределена логика и воспоставува база на „правила“ на кои тој се повикува за да изведува логика . Ваквото програмирање се нарекува логичко програмирање.

Штом ќе се дефинираат неопределените релации, потоа може да се развијат неопределени релационални бази на податоци. Првата неопределена релационална база на податоци, наречена FRDB е обмислена во дисертацијата на Марија Земанкова. Подоцна се јавиле и други модели како Баклс-Петриевиот модел, Прад-Тестемаловиот модел, Умано-Фукамиевиот модел или GEFRED моделот на Џ.М. Медина, М.А. Вила и други. Во контекст на неопределените бази на податоци, дефинирани се некои неопределени повикувачки јазици, од кои поистакнати се SQLf од П. Боск и други. и FSQL од Џ. Галиндо и други. Овие јазици дефинираат исвесни структури за да можат во нив да вметнат аспекти на неопределеност од SQL исказите како услови на неопределеност, компаратори на неопределеност, константи на неопределеност, ограничувања на неопределеност, прагови на неопределеност, лингвистички ознаки и така натаму.

Други примери

• Ако маж е висок 1.8 метри, сметај го за висок:

АКО маж Е точно И висината >= 1.8 ТОГАШ е_висок Е вистина; е_низок Е неточно

• Правилата на неопределеност не прават реска разлика помеѓу висок и низок:

АКО висина <= среден маж ТОГАШ е_низок Е донекаде се во согласност
АКО висина >= среден маж ТОГАШ е_висок Е донекаде се во согласност

Во случај на неопределеност, не постојат висини од типот на 1.83 метри, туку има неопределени вредности, како следниве задавања:

џуџест маж = [0, 1.3] m
низок маж = [1.3, 1.5] m
среден маж = [1.5, 1.8] m
висок маж = [1.8, 2.0] m
џиновски маж > 2.0 m

И последователот може да има зададено повеќе од две вредности:

не се согласувај = 0
согласи се малку = 1
согласи се донекаде = 2
согласи се прилично = 3
согласи се наполно = 4

Во бинарен („резок“) случај, човек од 1.79 метри се смета за „средно“ висок, додека друг кој е висок било 1.8 метри или 2.25 метри се смета за „висок“.

Рескиот пример намерно се разликува од примерот за неопределеност. На претходникот не му се зададени неопределени вредности:

АКО маж >= согласи се донекаде И ...

бидејќи полот се смета за бинарна информација.

Математичка неопределена логика

Кај Математичката логика постојат неколку формални системи на „неопределена логика“; од кои највеќето припаѓаат на таканаречените неопределени логики со т-норма.

Исказна неопределена логика

Најважните исказни неопределени логики се:

• Моноидната т-нормативна исказна неопределена логика МТЛ претставува аксиоматизација на логиката каде конјункцијата се дефинира по пат на лева непрекината т-норма, а импликацијата се дефинира како резидуум од т-нормата. Нејзините модели соодветствуваат на МТЛ-алгебрите кои се предлинеарни комутативни ограничени интегрални решетки.
• Основна исказна неопределена логика ОЛ претставува преширување на МТЛ логиката каде конјункцијата се дефинира по пат на непрекината т-норма, а импликацијата исто така се дефинира како резидуум од т-нормата. Нејзините модели соодветствуваат на БЛ-алгебрите.
• Лукасјевичевата неопределена логика претставува дополнение на основната неопределена логика ОЛ каде стандардната конјункција е Лукасјевичевата т-норма. Таа ги содржи аксиомите на основната неопределена логика плус аксиома за двојна негација, а нејзините модели соодветствуваат на ПВ-алгебрите.
• Геделовата неопределена логика претставува дополнение на основната неопределена логика ОЛ каде конјункцијата е Геделова т-норма. Таа ги содржи аксиомите на ОЛ плус аксиома за идемпотенција на конјункцијата, а нејзините модели се наречени Г-алгебри.
• Производна неопределена логика претставува дополнение на основната неопределена логика ОЛ каде конјункцијата е производна т-норма. Таа ги содржи аксиомите на ОЛ плус уште една аксиома за поништливост на конјункцијата, а нејзините модели се наречени производни алгебри.
• Неопределена логика со евалуирана синтакса (некаде наречена и Павелкина логика), означена со ЕВЛ, претставува понатамошна генерализација на математичката неопределена логика. Додека горенаведените типови на неопределена логика имаат класична синтакса и повеќевредносна сематика, кај ЕВЛ се евалуира и синтаксата. Ова значи дека секоја формула има евалуација. Аксиоматизацијата на EVŁ произлегува од Лукасјевичевата неопределена логика. Една генерализација на класичната Геделова теорема за потполност е докажлива во ЕВЛ.

Предикатна неопределена логика

Овие ја дополнуваат неопределената логиката со додавање на универзални и егзистенцијални квантификатори на начин сличен на начинот на кој се создава предикатна логика од исказната логика. Семантиката на универзалниот (односно егзистенцијалниот) кватификатор во т-нормативните неопределени логики е инфимум (односно супремум) на степените на вистинитост на инстанците на кватификуваната потформула.

Виши неопределени логики

Овие логики, наречени теории на неопределени типови, е дополнение предикатната неопределена логика за со нив да можат да се квантификуваат предикати и објекти од виш ред. Теоријата на неопределените типови претставува генерализација на класичната теорија на прости типови формулирана од Б. Расел и математички разработена од А. Черч и Л. Хенкин.

Проблеми со определивоста кај неопределената логиката

Поимите „определиво подмножество“ и „рекурзивно пребројливо подмножесво“ се основни во класичната математика и класичната логика. Потоа се јавува праѓањето за соодветно дополнение на ваквите концепти за примена кај неопределените множества. Прв предлог во таа насока дал Е.С. Сантос со идејата за „неопределен Тјурингов автомат“, „Марков нормален неопределен алгоритам“ и „неопределен програм“ (видете Santos 1970). Како одговор ан тоа Л. Бјанчино и Г. Герла се изјасниле дека ваквата дефиниција е несоодветна и наместо тоа ја предложиле следнава. Ü означува множество рационални броеви во [0,1]. Неопределеното подмножество „s“ : S $\rightarrow$[0,1] на множеството „S“ е „рекурзивно пребројливо“ ако постои рекурзивната слика h : S×N $\rightarrow$Ü, при што за секое x во S, функцијата h (x,n) is се зголемува во оснос на n и s(x) = lim h(x,n). Велиме дека s е „определиво“ ако и s и неговиот комплемент –s се рекурзивно пребројливи. Герла во 2006 предлага и дополнение на ваквата теорија во општ случај на L-подможества. Преложените дефиниции се добро поврзани со неопределената логика. Следнава теорема навистина е точна (секако доколку дедуктивната машинерија на неопределената логика задоволува извесни очигледни својства на ефективност).

Теорема. Секоја аксиомативна неопределена теорија е рекурзивно пребројлива. Поконкретно, неопределеното множеството од логички точни формули е рекурзивно пребројливо и покрај фактот што реското множество валидни формули начелно не е рекурзивно пребројливо. Покрај ова, секоја аксиомативна и целосна теорија е определива.

Дали да се дава поддршка на т.н. „Черчова теза“ за неопределената логика, која тврди дека преложената идеја за рекурзивната пребројливост за неопределените подмножества, е соодветна претставува отворено прашање. За таа цел потребно е понатамошно истражување во идеите за неопределена граматика и неопределен Тјурингов автомат. Друго отворено прашање е да се започне со оваа идеја за надоградување на Геделовите теореми за целите на неопределен логика.

Полиња на примена

• Клима-уреди
• Автомобилски и други потсистеми за возила, како автоматски пренос, АБС and cruise control (на пр. едношинската железница во Токио)
• Камери
• Дигитална обработка на слики, како edge detection
• Садомијачки
• Лифтови
• Неопределената логиката наоѓа примена и кај некои микроконтролори и микропроцесори, како на пример Freescale 68HC12.
• Хидрометеорски класификациони алгоритми за полариметрички метеоролошки радар
• Јазични филтри на форуми и канали за филтрирање на непристоен текст
• Програмот Massive користен за филмовите „Господарот на прстените“, кој овозможил огромните војски да се движат на случаен, но сепак складен начин
• Проценка на рудни наоѓалишта
• Распознавање на шари кај далечинските сензори
• Готвачи на ориз
• Вештачка интелигенција во видеоигри
• Перални машини и друга бела техника

Видете исто така

• Вештачка интелигенција
• Вештачка невронска мрежа
• Комплексност
• Контекстуализам
• Раководен систем
• Дефазификација
• Динамична логика
• Неопределена асоцијативна матрица
• Неопределен концепт
• Неопределен раководен систем
• Неопределен раководен јазик
• Лажна дилема
• Неопределена електроника
• Неопределена математика
• Неопределено множество
• Неопределена подалгебра
• Машинско учење
• Повеќевредносна логика
• Парадокс на купот
• Перспективизам
• Pattern recognition
• Петр Хајек
• Приближно множество
• Нејасност

Библиографија

• Von Altrock, Constantin (1995). Fuzzy logic and NeuroFuzzy applications explained. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-368465-2.
• Biacino, L. (2002). „Fuzzy logic, continuity and effectiveness“. Archive for Mathematical Logic. 41 (7): 643–667. doi:10.1007/s001530100128. ISSN 0933-5846.
• Cox, Earl (1994). The fuzzy systems handbook: a practitioner's guide to building, using, maintaining fuzzy systems. Boston: AP Professional. ISBN 0-12-194270-8.
• Gerla, Giangiacomo (2006). „Effectiveness and Multivalued Logics“. Journal of Symbolic Logic. 71 (1): 137–162. doi:10.2178/jsl/1140641166. ISSN 0022-4812.
• Hájek, Petr (1998). Metamathematics of fuzzy logic. Dordrecht: Kluwer. ISBN 0792352386.
• Hájek, Petr (1995). „Fuzzy logic and arithmetical hierarchy“. Fuzzy Sets and Systems. 3 (8): 359–363. doi:10.1016/0165-0114(94)00299-M. ISSN 0165-0114.
• Halpern, Joseph Y. (2003). Reasoning about uncertainty. Cambridge, Mass: MIT Press. ISBN 0-262-08320-5.
• Höppner, Frank (1999). Fuzzy cluster analysis: methods for classification, data analysis and image recognition. New York: John Wiley. ISBN 0-471-98864-2.
• Ibrahim, Ahmad M. (1997). Introduction to Applied Fuzzy Electronics. Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall. ISBN 0-13-206400-6.
• Klir, George J. (1988). Fuzzy sets, uncertainty, and information. Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall. ISBN 0-13-345984-5.
• Klir, George J. (1997). Fuzzy set theory: foundations and applications. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 0133410587.
• Klir, George J. (1995). Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-101171-5.
• Kosko, Bart (1993). Fuzzy thinking: the new science of fuzzy logic. New York: Hyperion. ISBN 0-7868-8021-X.
• Kosko, Bart (1993). „Fuzzy Logic“. Scientific American. 269 (1): 76–81.
• Montagna, F. (2001). „Three complexity problems in quantified fuzzy logic“. Studia Logica. 68 (1): 143–152. doi:10.1023/A:1011958407631. ISSN 0039-3215.
• Mundici, Daniele (1999). Algebraic foundations of many-valued reasoning. Dodrecht: Kluwer Academic. ISBN 0-7923-6009-5.
• Novák, Vilém (1989). Fuzzy Sets and Their Applications. Bristol: Adam Hilger. ISBN 0-85274-583-4.
• Novák, Vilém (2005). „On fuzzy type theory“. Fuzzy Sets and Systems. 149: 235–273. doi:10.1016/j.fss.2004.03.027.
• Novák, Vilém (1999). Mathematical principles of fuzzy logic. Dodrecht: Kluwer Academic. ISBN 0-7923-8595-0.
• Passino, Kevin M. (1998). Fuzzy control. Boston: Addison-Wesley. ISBN 020118074X.
• Pu, Pao Ming; Liu, Ying Ming (1980), „Fuzzy topology. I. Neighborhood structure of a fuzzy point and Moore-Smith convergence“, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 76 (2): 571–599, doi:10.1016/0022-247X(80)90048-7, ISSN 0022-247X
• Santos, Eugene S. (1970). „Fuzzy Algorithms“. Information and Control. 17 (4): 326–339.
• Scarpellini, Bruno (1962). „Die Nichaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz“. Journal of Symbolic Logic. 27 (2): 159–170. doi:10.2307/2964111. ISSN 0022-4812.
• Steeb, Willi-Hans (2008). The Nonlinear Workbook: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic with C++, Java and SymbolicC++ Programs: 4edition. World Scientific. ISBN 981-281-852-9.
• Wiedermann, J. (2004). „Characterizing the super-Turing computing power and efficiency of classical fuzzy Turing machines“. Theor. Comput. Sci. 317: 61–69. doi:10.1016/j.tcs.2003.12.004.
• Yager, Ronald R. (1994). Essentials of fuzzy modeling and control. New York: Wiley. ISBN 0-471-01761-2.
• Van Pelt, Miles (2008). Fuzzy Logic Applied to Daily Life. Seattle, WA: No No No No Press. ISBN 0-252-16341-9.
• Wilkinson, R.H. (1963). „A method of generating functions of several variables using analog diode logic“. IEEE Transactions on Electronic Computers. 12: 112–129. doi:10.1109/PGEC.1963.263419.
• Zadeh, L.A. (1968). „Fuzzy algorithms“. Information and Control. 12 (2): 94–102. doi:10.1016/S0019-9958(68)90211-8. ISSN 0019-9958.
• Zadeh, L.A. (1965). „Fuzzy sets“. Information and Control. 8 (3): 338-­353. doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X. ISSN 0019-9958.
• Zemankova-Leech, M. (1983). "Fuzzy Relational Data Bases". Ph. D. Dissertation. Florida State University.
• Zimmermann, H. (2001). Fuzzy set theory and its applications. Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-7435-5.

Надворешни врски

• Неопределена логика – статија на Стенфордската енциклопедија на философијата (англиски)
• Институт за истражување и примени на неопределеното моделирање (англиски)
• Европски центар за мека информатика (англиски)