Триаголник

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Триаголник
Triangle standard.svg
Триаголник е многуаголник со 3 страни и 3 внатрешни агли
Рабови и темиња 3
Плоштина ½·b·h
Херонова формула
Својства конвексен

Во геометријата, триаголник е рамна, т.е. 2-димензионална геометриска фигура со три темиња, три страни и три внатрешни агли.[1][2]

Основни регулативи:

  • Триаголник е прост многуаголник, т.е. е затворена фигура, неговите страни не се прекрстуваат и е конвексен.
  • Збирот на внатрешните агли на секој триаголник е 180o.[3] Значи, знаејќи ги големините на два од трите внатрешни агли, може да се пресмета големината на третиот агол.
\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.


Триаголници во светот[уреди]

Триаголникот е наjстабилната 2-димензионална фигура бидејќи триаголник е потполно определен со должините на нејговите три страни. Поради тоа триаголници имаат посебно место во градежништво. Слабите точка во конструкција се темињата каде што се прицврстуваат два линиски делови. Под влијание на сила - доколку можат - најпрво деловите меѓусебно ќе се заротираат во темето на прицврстување сменајќи го аголот помеѓу нив. Кај триаголник деловите никако неможат да се заротираат бидејќи должините на страните ги определуваат аглите. Значи, треба да се деформираат страните пред да се менуваат аглите. Од друга страна, четириаголник не е стабилна. На пример, постојат безбројно многу четириаголници со истите четири еднакви страни (еден од кој е квадрат, а другите се ромбови). Значи, без воопшто да се деформираат самите страни, квадрат може да се сплеснува во ромб заротирувајќи ги страните кај темињата.[4]

RRTrussBridgeSideView.jpg Triangle stable.svg
Триаголници во конструкција Стабилноста на триаголник споредена со стабилноста на квадрат.
Triangle sum 180.gif
Збирот на внатрешните агли на триаголник е 180°. Креиран со Геогебра[5]

Формули и особини за триаголник[уреди]

  • Нека страните на еден триаголник се означeни a, b и c, а истовремено ги користиме овие букви и за нивната должина.

Означување на темиња и агли[уреди]

Стандардно е:

  • Темето спротивно на страната a да се означува со A (голема буква), а внатрешниот агол со темето А да се означува со грчката буква α.
  • Темето спротивно на страната b да се означува со B (голема буква), а внатрешниот агол со темето B да се означува со грчката буква β.
  • Темето спротивно на страната c да се означува со C (голема буква), а внатрешниот агол со темето C да се означува со грчката буква γ.

Висина h на триаголник[уреди]

Меѓутоа, обичајно е во елементарната геометрија да триаголник има основа, т.е. да има долна хоризонтална страна и таа страна да се означува со b (основа ен: base). Темето B е спротивно на основата b. Висината h е отсечката од точката B до таа точка на основата b таква што h e нормална, т.е. прави прав агол со страната b. Значи h е висина на триаголник со основа b.

Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. ½ · b · h = ½ × b × h

Triangle altitude std.svg
Висина h од основата b до темето B.

Периметар е збир на должините на трите страни

L = a+b+c

Плоштина е:

  • Една половина од основата помножена со висината
Тогаш висината hb се означува само со h, т.е. h е висина на триаголник со основа b.
P = \tfrac{1}{2} \cdot b \cdot h .
P = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)} .   каде што  s = \tfrac{1}{2}(a+b+c)= \tfrac{L}{2} е полупериметарот.

Дијагонала: Триаголник нема дијагонали бидејќи секоја отсечка која сврзува две темења е страна на самиот триаголник.


Пример: Нека е даден триаголник со страна a=5km, b=7km и c=9km. Тогаш, периметарот e L=a+b+c=5km+7km+9km=21km. За плоштината (бидејќи нема висина) ја користиме Херонова формула: s=L/2=10,5km. P2=10,5·5,5·3,5*1,5. Значи, P ≈ 17,41 km².

Пример: Нека е даден триаголник со основа b=12mm и висина h=5mm. Тогаш плоштината е P= ½b·h= ½ 12mm·5mm=30mm2.

Забелешка: Во вториот пример погоре неможе да се пресмете периметарот бидејќи нема доволно информации! Триаголник не е потполно определeн со основа и висина, т.е. постојат безбројно многу триаголници со истата основа и висина, а различни страни (па затоа и различни периметри). На пример: Двата триаголници Т1 и Т2 ја имаат истата основа b=12mm и истата висиниа h=5mm. Значи ја имаат истата плоштина P=30mm2. Меѓутоа, имаат различни периметри.

Т1 со a=5mm, b=12mm и c=13mm и Т2 со a = c = ½ √61mm и b=12mm

Видови триаголници[уреди]

Според должините на нивните страни[уреди]

Триаголниците можат да бидат класифицирани според должините на нивните страни:

• Трите внатрешни агли α се еднакви, α= 60° = π/3 ≈ 1,05.[6]
• Трите висини се еднакви. Висината е h=a · 3/2 ≈ 0,866a.
• Периметарот е: L=a+a+a = 3·а.
• Плоштината е: P=a² · 3/4 ≈ 0,43366a².
• Сите рамностран триаголници се слични.
• Рамностран триаголник е правилен многуаголник.
  • Рамнокрак триаголник: најмалку две страни се со еднаква должина наречени краци, а третата нееднаква на нив страна е наречена основа. Двете еднакви страни се означуваат со a, а основата со b.
• Двете внатрешни агли α формирани помеѓу еднаква страна и основата се еднакви и α = 90° − β/2[7]
• Висината h=hb = √4a²-b²
• Периметарот е: L=a+a+b = 2·а+b.
• Плоштината е: P=b· 4a²-b²/4
• Трите внатрешни агли имаат различна големина.
• Најмалиот агол е спротивен на најмалата страна.[8]
• Најголемиот агол е спротивен на најголемата страна.
Рамностран триаголник Рамнокрак триаголник Разностран триаголник
Рамностран Рамнокрак Разностран

Според внатрешните агли[уреди]

Триаголниците можат да бидат класифицирани и според големината на нивниот најголем внатрешен агол, опишано подолу со користење на степени.

• Страната спроти правиот агол се нарекува хипотенуза; тоа е најдолгата страна во правоаголниот триаголник и се означува со c.
• Другите две страни се викаат катети и се означувани со a и b.
a² + b² = c² Питагорова теорема
• Периметарот е: L = a+b+c.
• Плоштината е: P = ½ · a · b.
Правоаголен триаголник Тапоаголен триаголник Остроаголен триаголник
Правоаголен Тапоаголен Остроаголен

Трите висини на разностран триаголник[уреди]

Разностран триаголник има три различни висини. Секоја висина е отсечка со почетната точка во едното теме, крајната точка на спротивната страна и [[|нормални прави|нормална]] на таа страна. Бидејќи плоштината на еден триаголник е иста, следува

P=\tfrac{1}{2}a \cdot h_a=\tfrac{1}{2}b \cdot h_b=\tfrac{1}{2}c \cdot h_c
Triangle altitude 3.svg
Висината до страна a Висината до страна b Висината до страна c

Впишана кружница на триаголник[уреди]

Симетралите на внатрешните агли[уреди]

  • Симетралите на внатрешните агли на триаголник се сретнуваат во една точка.[9][10]
  • Секој триаголник има впишана кружница, т.е. кружница која е внатре во триаголникот, а се допира на сите три страни на триаголникот, т.е. трите страни се тангенти на кружницата (види слика долу).[11][12]

Формула: Центарот на впишаната кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли, а радиусот r на впишаната кружница е растојанието од центарот до било која страна и има должина:

r = \frac{2P}{L} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}
Triangle incenter.svg Triangle inscribed.svg Triangle centroid.svg
Центарот на впишана кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли Впишана кружница на триаголник Тежиште како пресек на тежишните линии (медијаните)

Опишана кружница на триаголник[уреди]

Oпишана кружница со Геогебра

Симетралите на страните[уреди]

  • Симетралите на страните на триаголник се сретнуваат во една точка.[13][14] (Симетрала на отсечка е права која врви низ средната точка на отсечката и е нормална на отсечката.)
  • Секој триаголник има oпишана кружница, т.е. кружница која е надвор од триаголникот, а трите темиња на триаголникот лежат на кружницата.[15][16]

Формула: Центарот на опишаната кружница е пресекот на симетралите на страните, а радиусот R на опишаната кружница е растојанието од центарот до било која теме и има должина:

R = \frac{abc}{4P}

Тежишните линии и тежиште[уреди]

Во геометријата, тежишна линија на триаголник е отсечка која поврзува теме од триаголникот со средната точка на страна спротивна на тоа теме. Друг термин за тежишна линија е медијана.[17] Трите медијаните се сретнуваат во една точка.[18] Оваа заедничка точка се вика тежиште или центроид и е центарот на маса на триаголникот (ако врзиме конец низ оваа точка и го обесиме триаголникот, тој ќе лежи хоризонтално).

Триаголник во координатен систем[уреди]

Три точки еднозначно определуваат триаголник, т.е. триаголник е потполно определен со координатите на три точки. Истовремено, доколку се работи во 3-димензионален простор, трите точки определуваат и рамнина на која лежи определениот триаголникот (види аналитичка геометрија).

Плоштина на триаголникот определен со три точки во рамнина може да се пресметува на повеќе начини (сите формули се меѓусебно се поврзани).

Точките нека се:   A=(x_1,y_1) \, , \,\,B=(x_2,y_2) \, , \,\, C=(x_3,y_3).

 \pm  P = \tfrac{1}{2} \, \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}\\ {{x_3} - {x_1}}&{{y_3} - {y_1}} \end{array}} \right|
т.е. детерминантата на соодветните радиус векторите (произволно земајќи ја точката А како почетна точка). Знакот ± значи дека се земе апсолутна вредност од резултатот (плоштина е секогаш позитивна вредност). Оваа формула се обопштува во тродимензионален простор (види аналитичка геометрија, векториски производ,..).[19]
Со Херонова формула користејќи: a=\sqrt{(x_3-x_2)^2+y_3-y_2)^2} \, , \,\,b=\sqrt{(x_1-x_3)^2+y_1-y_3)^2} \, , \,\,c=\sqrt{(x_2-x_1)^2+y_2-y_1)^2}

Пример: Триаголник е дефиниран со точките A=(-2,-2), B=(1,-1) и С(1,2). Плоштината е ±P=

\tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}\\ {{x_3} - {x_1}}&{{y_3} - {y_1}} \end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - ( - 2)}&{ - 1 - ( - 2)}\\ {1 - ( - 2)}&{2 - ( - 2)}
\end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1\\ 3&4 \end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot (12 - 3) = \tfrac{1}{2} \cdot 9 = 4,5
Резултатот е позитивен. Значи нема потреба од апсолутна вредност. Следува, P=4,5 (квадратни единици).

Дегенерирани триаголници[уреди]

Ако 3-те темиња со кои се дефинира триаголник се колинеарни, т.е. лежат на истата права, тогаш формираниот триаголник е дегенириран триаголник, т.е. дегенериран триаголник е сплеснат триаголник и неговата плоштина е 0.

Регулатива: Еден триаголник има плоштина 0 ако и само ако 3-те негови темиња се колинеарни.

  • Ако 3-те точки се дистинктни (посебни), внатрешните агли се 180o, 0o, и 0o, земајќи го аголот од 180o кај „средната“ точка.
  • Ако точно 2 од 3-те се истата точка, триаголникот се смета за правоаголен триаголник и внатрешните агли се 90o, 90o, и 0o. Вакви дегенерирани триаголници се наоѓа при цртање на правоаголни триаголници во единичната кружница при празен 0o, прав 90o, рамен 180o, негативен прав агол 270o и полн 360o агол и вредноста на тригонометриските фуункции на овие агли се пресметуваат користејќи ги овие дегенерирани триаголници.
  • Случајот каде што 3-те точки се совпаѓаат не е многу интересен.

Пример: Темињата на еден триаголник се (1,1),(-2,0) и (7,3). Плоштината е ±P=

\tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}\\ {{x_3} - {x_1}}&{{y_3} - {y_1}} \end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {-2 - 1)}&{ 0 - 1)}\\ {7 - 1}&{3 - 1}
\end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-1\\ 6&2 \end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot (-6 + 6) = \tfrac{1}{2} \cdot 0 = 0
Следува, P=0. Значи, точките се колинеарни и триаголникот е дегениран. (Трите точки лежат на правата: y=⅓(x+2).)

Наводи[уреди]

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Triangle“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 795. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  2. „Triangle“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/triangle.html. конс. Септември 2013.  интерактивен
  3. Weisstein, Eric W.. „Triangle“ (на англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Triangle.html. конс. декември 2013. 
  4. Lawson, J. (2006). „Hands-on Mathematics: Grade 3, Chapter 13: Patterns in Structures“. Portage & Main Publishers. ISBN 978-1-55379-044-0. http://books.google.mk/books?id=Kniv6GdiKF4C&pg=PA239#v=twopage. 
  5. Стојановска, Л. (2010). „Триаголник“ (на македонски). http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Triagolnik. конс. декември 2013.  интерактивен
  6. „Equilateral Triangle“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/equilateral.html. конс. Декември 2013.  интерактивен
  7. „Isosceles Triangle“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/isosceles.html. конс. Декември 2013.  интерактивен
  8. „Scalene Triangle“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/scalene.html. конс. Декември 2013.  интерактивен
  9. Wilson, Jim. „Proof of concurrency of incircle“ (на англиски). Univ. Georgia. http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMT668.Student.Folders/BrombacherAarnout/write-up%203.aarnout/incenterproof.html. конс. Декември 2013. 
  10. „Triangle Incenter“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/triangleincenter.html. конс. Декември 2013.  интерактивен
  11. „Proof of Inscribed Circle in Triangle“ (на англиски). http://www.proofwiki.org/wiki/Inscribing_Circle_in_Triangle. конс. Декември 2013. 
  12. „Inscribe a Circle in a Triangle“ (на англиски). Math is Fun. 2011. http://www.mathsisfun.com/geometry/construct-triangleinscribe.html. конс. Декември 2013.  интерактивен
  13. Wilson, Jim. „Proof of concurrency of circumcenter“ (на англиски). Univ. Georgia. http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMT668.Student.Folders/BrombacherAarnout/write-up%203.aarnout/circumcenterproof.html. конс. Декември 2013. 
  14. „Triangle Circumcenter“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/trianglecircumcenter.html. конс. Декември 2013.  интерактивен
  15. „Proof of Inscribed Circle in Triangle“ (на англиски). http://www.proofwiki.org/wiki/Inscribing_Circle_in_Triangle. конс. Декември 2013. 
  16. „Inscribe a Circle in a Triangle“ (на англиски). Math is Fun. 2011. http://www.mathsisfun.com/geometry/construct-triangleinscribe.html. конс. Декември 2013.  интерактивен
  17. „Медијана на триаголник“ (на македонски). 2010. http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/TriagolnikMedijana. конс. декември 2013.  интерактивен
  18. „The Medians of a Triangle are Concurrent“ (на англиски). Wolfram Demonstrations Project. http://demonstrations.wolfram.com/TheMediansOfATriangleAreConcurrentAVisualProof/. конс. Декември 2013.  интерактивен
  19. Weisstein, Eric W.. „Triangle Area“ (на англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/TriangleArea.html. конс. декември 2013. 

Поврзани теми[уреди]

Надворешни линкови[уреди]