Испакнат многуаголник

Од Википедија — слободната енциклопедија
Правилен петаголник — пример за испакнат многуаголник

Испакнат многуаголник (конвексен многуаголник) — многуаголник каде сите точки лежат од една страна на секоја права која минува низ две негови соседни темиња. Поточно речено, тој е прост многуаголник (несамопресечен).[1] Исто така, многуаголникот е испакнат ако секоја линија која не содржи ниеден раб се сече со многуаголниккот во највеќе две точки.

Строго испакнат многуаголник е испакнат многуаголник таков што ниедна права не содржи два негови раба. Кај испакнат многуаголник, сите внатрешни агли се помали или еднакви на 180 степени, додека пак кај строго испакнатиот многуаголник сите внатрешни агли се строго помали од 180 степени.

Својства[уреди | уреди извор]

Следниве својства на прост многуаголник значат испакнатост:

  • Секој внатрешен агол е строго помал од 180 степени.
  • Секоја точка на секоја отсечка помеѓу две точки во или на границата на многуаголникот во или на границата.
  • Многуаголникот наполно се содржи во затворена полурамнина определена од секој негов раб.
  • За секој раб, сите внатрешни точки се на иста страна од правата што ја определува работ.
  • Аголот во секое теме ги содржи сите други темиња во неговите рабови и внатрешност.
  • Многуаголникот е испакнатата обвивка на неговите рабови.

Дополнителни својства на испакнатите многуаголници:

  • Пресекот на два испакнати многуаголника е испакнат многуаголник.
  • Испакнатиот многуаголник може да се триангулира во линеарно време со лепезна триангулација, што се состои од собирање на дијагоналите од едно теме до сите други темиња.
  • Хелиева теорема: За секоја збирка од барем три испакнати многуаголници: ако пресекот на секоја тројка не е празен, тогаш целиот збирка има непразен пресек.
  • Крајн-Милманова теорема: Испакнатиот многуаголник е испакнатата обвивка на неговите темиња. Затоа е наполно определен од множеството на неговите темиња, и ќе ни требаат само ќошињата на многуаголникот за да го повратиме целиот облик на многуаголникот.
  • Теорема на одвоеноста: Секои два испакнати многуаголника без заеднички точки имаат одделувачка права. Ако многуаголниците се затворени и барем еден од нив е компактен, тогаш има две рамномерни напоредни одделувачки линии (со празнина меѓу нив).
  • Впишан триаголник: Од сите триаголници сместени во испакнат многуаголник, има еден триаголник со максимална плоштина чии сите темиња се многуаголнички.[2]
  • Впишувачки триаголник: секој испакнат многуаголник со плоштина A може да се впише во триаголник со плоштина највеќе еднаква на 2A. Равенството важи (исклучиво) за паралелограм.[3]
  • Впишани/впишувачки правоаголници: За секое испакнато тело C на рамнината, можеме да впишеме правоаголник r во C така што околу C ќе се опише хомотетска (истопоставена) слика R на r, а позитивниот хомотетски сооднос ќе биде највеќе 2 и .[4]
  • Средната ширина на еден испакнат многуаголник е еднаква на неговиот обем поделен со пи. Така, неговата ширина е пречникот на кружницата со ист обем како многуаголникот.[5]

Секој многуаголник впишан во кружница (така што сите темиња на многуаголникот ја допираат кружницата), ако не е самопресечен, е испакнат. Меѓутоа, не секој испакнат многуаголник може да се впише во кружница.

Строга испакнатост[уреди | уреди извор]

Следниве точки на прост многуаголник значат строга испакнатост:

  • Секој внатрешен агол е строго помал од 180 степени.
  • Секоја отсечка помеѓу две точки во внатрешноста, или помеѓу две точки на границата но не на истиот раб, е строго внатрешна за многуаголникот (освен во крајните точки ако тие се на рабовите).
  • За секој раб, внатрешните точки и граничните точки кои не лежат на работ се од истата страна на правата која го определува работ.
  • Аголот во секое теме ги содржи сите други темиња во неговата внатрешност (освен даденото теме и двете соседни темиња).

Секој неизроден триаголник е строго испакнат.

Поврзано[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. Definition and properties of convex polygons with interactive animation.
  2. Christos. „Is the area of intersection of convex polygons always convex?“. Math Stack Exchange.
  3. Weisstein, Eric W. „Triangle Circumscribing“. Wolfram Math World.
  4. Lassak, M. (1993). „Approximation of convex bodies by rectangles“. Geometriae Dedicata. 47: 111–117. doi:10.1007/BF01263495. S2CID 119508642.
  5. Belk, Jim. „What's the average width of a convex polygon?“. Math Stack Exchange.

Надворешни врски[уреди | уреди извор]