Петнаесетаголник

Правилен петнаесетаголник
	Правилен петнаесетаголник
Вид	правилен многуаголник
Рабови и темиња	15
Шлефлиев симбол	{15}
Коксетер–Динкинови дијаграми
Група на симетрија	диедарска (D15), ред 2×15
Внатрешен агол	156°
Својства	испакнат, впишан, рамностран, изогонален, изотоксален

Петнаесетаголник — многуаголник со петнаесет темиња и петнаесет страни.

Правилен петнаесетаголник

Правилниот петнаесетаголник е петнаесетаголник кај кого сите страни се со еднакви должини и сите внатрешни агли се еднакви.

Внатрешните агли на правилен петнаесетаголник имаат по 156° (степени), а збирот на сите внатрешни агли на кој било петнаесетаголник изнесува 2340°.

Ако основната страна на правилниот петнаесетаголник е со должина $a\,\!$ , неговата површина ќе биде дадена со формулата:

$P={\frac {15}{4}}a^{2}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{15}}={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\approx 17{,}6424a^{2}$ .

Ако $R$ - е полупречник на опишаната кружница, а
$r$ - полупречник на впишаната кружница, тогаш важи:

$R={\frac {a}{4}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)$ , и
$r={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$ .

Периметарот на петнаесетаголник чија страна е со должина $a\,\!$ е еднаков на $15a\,\!$ .

Конструкција

Правилен петнаесетаголник може да се конструира со помош на линијар и шестар. Следнава анимација ја илустрира чекор по чекор конструкцијата на правилен петнаесетаголник, конструкција која Евклид ја навел во својата четврта книга ‘’Елементи’’.

Поврзано

Надворешни врски

Петнаесетаголник на Mathworld
Конструкција на петнаесетаголник