Правилен многуаголник

Од Википедија — слободната енциклопедија
Правилен многуаголник
Правилен триаголник
Правилен квадрат
Правилен петаголник
Правилен шестаголник
Правилен седумаголник
Правилен осумаголник
Правилен деветаголник
Правилен дванаесетаголник
Regular polygon 11 annotated.svg
Regular polygon 12 annotated.svg
Regular polygon 13 annotated.svg
Regular polygon 14 annotated.svg
Regular polygon 15 annotated.svg
Regular polygon 16 annotated.svg
Regular polygon 17 annotated.svg
Regular polygon 18 annotated.svg
Regular polygon 19 annotated.svg
Regular polygon 20 annotated.svg
Рабови и темиња
Шлефлиев симбол
Коксетер–Динкинов дијаграмCDel node 1.pngCDel n.pngCDel node.png
Група на симетријаDn, ред 2n
Дуален многуаголниксамодуален
Плоштина
(со страна долга )
Внатр. агол
Збир од внатр. агли
Полупреч. на впиш. кружница
Полупреч. на опиш. кружница
Својстваиспакнат, рамностран, изогонален, изотоксален

Правилен многуаголникпрост многуаголник (многуаголник кој никаде не се сече сам со себе) кој е рамноаголен (сите агли му се исти) и рамностран (сите рабови се со иста должина).

Сите правилни многуаголници со ист број на рабови (или „страни“ во планиметријата) се слични.

Во извесни случаи сите овие полиаголници би се сметале за неправилни. Во такви случаи се испушта претставката правилен. На пример сите рабови на еден еднообразен полиедар мора да бидат правилни и рабовите едноставно би се опишале како триаголник, квадрат, петаголник.

Својства[уреди | уреди извор]

Секој агол на еден правилен n-аголник има мерка од (или подеднакво, на ) степени.

Алтернативно, внатрешниот агол/агли на правилен n-аголник е радијани (или вртења).

Сите вертикали на правилен многуаголник лежат на заедничка кружница, т.е. тие се сокружни точки, каде секој правилен многуаголник има опишана кружница.

Правилен n-аголник може да се нацрта со шестар и линијар ако и само ако непарните прости фактори на n се засебни Ферминови броеви. Видете конструктибилен многуаголник.

За бројот на дијагонали е , т.е., 0, 2, 5, 9, ... Тие го делат многуаголникот на 1, 4, 11, 24, ... делови.

Плоштина[уреди | уреди извор]

Правилни испакнати и ѕвездести многуаголници со 3 до 12 темиња, означени со нивните Шлефлиеви симболи.

Плоштината на правилен n-аголник е

каде t е должината на работ. Исто така плоштината е полуобиколка помножена по должината на апотемата (линијата од средината на многуаголникот нормален на работ)A=1/2Pa.

За t=1 имаме

со следниве вредности:

Рабови Назив Точна плоштина Приближна плоштина
3 рамностран триаголник 0,433
4 квадрат 1 1,000
5 правилен петаголник 1,720
6 правилен шестаголник 2,598
7 правилен седумаголник   3,634
8 правилен осумаголник 4,828
9 правилен деветаголник   6,182
10 правилен десетаголник 7,694
11 правилен единаесетаголник   9,366
12 правилен дванаесетаголник 11,196
13 правилен тринаесетаголник   13,186
14 правилен четиринаесетаголник   15,335
15 правилен петнаесетаголник   17,642
16 правилен шеснаесетаголник   20,109
17 правилен седумнаесетаголник   22,735
18 правилен осумнаесетаголник   25,521
19 правилен деветнаесетаголник   28,465
20 правилен дваесетаголник   31,569
100 правилен стоаголник   795,513
1000 правилен илјадааголник   79577,210
10000 правилен десет илјадааголник   7957746,893

Плоштините се помали од оние кај кружници со иста обиколка, и се (заокружени) еднакви на 0,26, а за n<8 малку повеќе (броевите се намалуваат со зголемувањето на n до границата π/12).

Симетрија[уреди | уреди извор]

Групата на симетрија на правилен n-аголник е диедарска група Dn (од ред 2n): D2, D3, D4,... Се состои од ротациите во Cn (постои вртежна симетрија на ред n), заедно со рефлективна симетрија во n оските кои минуваат низ центарот. Акоn е макар и тогаш половина од оските поминуваат низ спротивните вертикали, а другата половина низ средишната точка на спротивните рабови. Ако n е непарен, тогаш сите оски минуваат низ врвот и средишната точка на спротивниот раб.

Ѕвездести правилни многуаголници[уреди | уреди извор]

Пентаграм

Во проширената категорија на правилни многуаголници спаѓаат ѕвезди, како на пример пентаграмот, кој ги има истите вертикали како и петаголникот, но сврзува наизменични вертикали.

Примери

Полиедар[уреди | уреди извор]

Еднообразен полиедар е полиедар со правилни многуаголници како рабови, така што за секои две вертикали има меѓусебно изометрично пресликување.

Поврзано[уреди | уреди извор]

Надворешни врски[уреди | уреди извор]