Паралелограм

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Паралелограм
Romboid std.svg
Во паралелограм спротивните страни се исти
ТипЧетириаголник
Рабови и темиња4
Симетриска групаC2
Плоштинаa·h
Својстваконвексен

Во геометријата, паралелограм е четириаголник со два пара паралелни страни.

  • Основна регулатива: Еден паралелограм е потполно определeн со должините на две соседни страни и големината на аголот помеѓу нив.
Четириаголник е паралелограм ако и само ако спротивните страни се исти (складни).[1]

Овој факт се користи при стандардно означување на четирите типови паралелограми.[2][3]

  • Ромбоид: паралелограм каде што соседните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
  • Ромб: паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина.
  • Правоаголник: паралелограм каде што четирите внатрешни агли се прави, т.е. по 90°.
  • Квадрат: паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина и четирите агли се прави, т.е. по 90°.
Romboid std.svg Romb std.svg Pravoagolnik std.svg Square standard.svg
Ромбоид Ромб Правоаголник Квадрат

Формули и особини за паралeлограм[уреди | уреди извор]

  • Eдниот пар на паралелни страни се „земаат“ за основи и (обично) се означуваат со a. Вообичаено е да се земат хоризонталните (или најхоризонталните или најдолгите) страни за основи. Често пати се користи зборот должина.
  • Другиот пар на паралелни страни се викаат краци и (обично) се означуваат со b.
  • Растојанието помеѓу основите се вика висина и (обично) се означува со h (или ha за да се разликува од другата висина hb меѓу краците). Растојанието помеѓу краците исто така е висина на паралелограмот, но во однос на краците, па затоа специјално се означува со hb.

Нека е даден паралелограм со основа a, крак b, висина h (меѓу основите) и агол α помеѓу а и b.

Romboid vis.svg
Висина h меѓу основите

Периметар

Плоштина е: должина по висина односно основа по висина

.    Попрецизно:  и 
  • Плоштина на еден паралелограм се одредува со основа и висина. Меѓутоа, само со тие информации, паралелограм не е еднозначно определен, односно постојат безброј многу различни паралелограми со иста основа и висина. Истите ја имаат истата плоштина, а различни периметри.[4]
  • Бидејќи секоја страна на паралелограм е и трансверзала на другите паралелните страни, според Претпоставката за паралелност секој пар соседни внатрешни агли се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.[2]
  • Бидејќи секој паралелограм е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
  • Од суплементност на соседни агли следува дека спротивните агли се исти (складни).
  • Секоја дијагонала е и трансверзала, па го дели паралелограмот на два складни триаголници. Следува дека двата пара паралелни страни се складни (со иста должина).[1]
  • Пресечната точка на дијагоналите е средината на двете дијагонали. Со други зборови,
Дијагоналите на паралелограм се преполовуваат.[5]
Kарактеристики на паралелограми
Romboid paralelni.svg Romboid agli sup w.svg Romboid diag prep.svg Romboid ha.svg
Два пара паралелни страни. Соседните агли се суплементни. Дијагоналите меѓусебно се преполовуваат. Висина h=ha меѓу основите.
Romboid def.svg Romboid diag.svg Romboid triagolnik8.svg Romboid hb.svg
Спротивните страни се складни. Спротивните агли се складни. Дијагонали на паралелограм. Дијагонали и средни линии на паралелограм. Висина h=hb меѓу краците

Висина

  и  

Дијагонали (каде што дијагоналата d1 минува низ аголот α)

  и   [6]

Пример: Нека е даден паралелограм со основа a=5 km, и крак b=3 km и агол α=30° помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2a+2b=16 km, висина е h=b·sin(α)=1,5 km и плоштината е P=ah=7,5 km2.

Пример: Нека е даден паралелограм со основа a=5 km, и крак b=2.5 km и агол α=37° помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2a+2b=15 km, висина е h=b·sin(α)≈1,5 km и плоштината е P=ah≈7,5 km2.

Карактеристики на паралелограм[уреди | уреди извор]

Конвексен четириаголник е паралелограм ако и само ако кој било од следните искази е вистинит[7][8]

  • Двата пара на спротивни страни се еднакво долги.
  • Двата пара на спротивни агли се со еднаква големина.
  • Дијагоналите се сечат во нивните средни точки.
  • Еден пар на спротивни страни се паралелни и се еднакво долги.
  • Соседните агли се суплементни.
  • Секоја дијагонала го дели четириаголникот на два складни триаголници.
  • Збирот на квадратите на страните е еднаков на збирот на квадратите на дијагоналите (закон на паралелограм).

Впишана и опишана кружница на паралелограм[уреди | уреди извор]

  • Паралелограм нема впишана кружница освен ако е ромб (или квадрат).[9]
  • Паралелограм нема опишана кружница освен ако е правоаголник (или квадрат).[8]

Симетрија[уреди | уреди извор]

Осна симетрија[уреди | уреди извор]

Види ги поединечните типови на паралелограми.

Вртежна симетрија[уреди | уреди извор]

При ротација на паралелограм 360°/2=180° се добива истиот паралелограм.

  • Ромбоидот, ромбот и правоаголникот имаат вртежна симетрија од 2-ри ред (180°).
  • Квадратот има вртежна симетрија од 4-ти ред (90°).


Обопштување на паралелограм[уреди | уреди извор]

Paralelogram vektori.gif
Пресметување плоштина на паралелограм со детерминанта

Паралелограми и вектори, матрици, детерминанти[уреди | уреди извор]

  • Еден паралелограм е потполно определен со два вектори со истата почетна точка. (Четвртата точка е крајната точка на збирот на векторите.)

Во линеарната алгебра, апсолутната вредност на детерминантата на 2х2 матрица A е плоштината на паралелограмот формиран со соодветните радиус-вектори.

Соодветните радиус-вектори се
Соодветните темиња на паралелограмот се
Плоштината Р на паралелограмот со темиња A, B, C, D e (апсолутната вредност на)

Доколку имаме паралелограм ABCD каде што А≠(0,0), формираме складен паралелограм EFGH со транслација -А така што Е=А-А=(0,0), F=B-A, G=C-A и H=D-A. Потоа со детерминанта се пресметува плоштината на EFGH која е иста со плоштината на паралелограмот ABCD (плоштините на складни 2-димензионални геометриски фигури се исти).

Ова својство се обопштува до 3-димензии, односно за волумен на паралелопипед преку мешан производ како и во повисоки димензии.

Поврзани теми[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. 1,0 1,1 Kleyn, I. „Спротивните страни на паралелограм се еднакви“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013.
  2. 2,0 2,1 C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 581–582. Посетено на 1 септември 2013.
  3. „Паралелограм“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
  4. Стојановска, Л. (2010). „Паралелограм“. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
  5. Kleyn, I. „Карактеристики на дијагоналите на паралелограм“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013.
  6. Kleyn, I. „Должина на дијагонали користејќи ја [[косинусова теорема]]“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013. URL–wikilink conflict (help)
  7. Byer, Owen; Lazebnik, Felix; Smeltzer, Deirdre (2010). Methods for Euclidean Geometry. Mathematical Association of America. стр. 51–52.
  8. 8,0 8,1 Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), http://books.google.com/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63 На |chapterurl= му недостасува наслов (help), The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, 10. Cyclic quadrilaterals, Research in mathematics education, IAP, стр. 22, ISBN 978-1-59311-695-8
  9. Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006). Mathematical Olympiad Treasures. Birkhäuser. стр. 64–68. ISBN 978-0817682521..

Надворешни врски[уреди | уреди извор]