Трапез

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Трапез
Trapez1 w.svg
Трапезот има две паралелни страни
ТипЧетириаголник
Рабови и темиња4
Плоштинаh · (a+b)/2

Во геометрија, трапез е конвексен четириаголник со точно еден пар паралелни страни. Има три „типа“ на трапези.[1]

  • Општ трапез: непаралелните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
  • Рамнокрак трапез: Непаралелните страни се со еднаква должина.
  • Правоаголен трапез: Има точно два внатрешни агли по 90°.
Trapez1 w.svg Trapez2 w.svg Trapez iso w.svg Trapez prav w.svg
Трапези Рамнокрак трапез Правоаголен трапез
  • Паралелните страни се викаат основи и (обично) се означуваат со a и b. (За полесно означување земаме a>b.)
  • Непаралелните страни се викаат краци и (обично) се означуваат со c и d
  • Растојанието помеѓу паралелните страни се вика висина и (обично) се означува со h.


Формули и особини за општ трапез[уреди | уреди извор]

Нека е даден трапез со основи (паралелни страни) a и b, со краци c и d и со висина h.


Периметар


Плоштина

  • Бидејќи секој трапез е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
  • Плоштината на еден трапез се одредува со должините на двете основи и висината. Меѓутоа, само со тие информации, трапез не е еднозначно определен, односно постојат безброј многу различни трапези со истите основи и висина.
  • Бидејќи секој крак на трапез е и трансверзала на паралелните основи, внатрешните агли кај секој крак се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.
  • Исто така, бидејќи секој крак е трансверзала, основите на трапезот не се еднакви: ab. (Доколку a=b, четириаголникот би имал два пара на паралелни страни, па би бил паралалелограм, а не трапез.)
  • Еден трапез е потполно определeн со должините на четирите страни (и знаење кои страни се паралелни). Mеѓутоа од секоја комбинација на четири должини не се добива трапез (види подолу).


Висина [2]


Основна поставка: Трапез со основи a и b и краци c и d постои ако и само ако h постои, т.е. ако и само ако поткорениот израз во погорната формула за h е позитивен број.[3]


Во подолните примери, a и b се основите (паралелните страни).

Пример: Нека е a=12m, b=10m, и h=6m. Плоштината на ваков трапез е: P=66m2. Meѓутоа, трапезот не може еднозначно да се определи, а и периметарот L не е одредлив.

Пример: Нека е a=19mm, b=8mm, c=7mm и d=6mm. Користејќи ја формулата за висина h, поткорениот израз е 5760>0 и h=3,45 (приближно). Периметарот e L=40mm, a плоштината e P=46,57mm2 (приближно)

Пример: Нека е a=19mm, b=7mm, c=4mm и d=5mm. Користејќи ја формулата за висина h, поткорениот израз е -9009<0. Нема трапез со овие димензии.


Терминологија[уреди | уреди извор]

Во САД и Канада се користи зборот трапезоид (trapezoid) за трапез, а зборот трапезиум (trapezium) за трапезоид (без паралелни страни).[4] Вон САД и Канада, англиските зборови ја имаат обратното значење, а истите се слични/исти со зборовите користени низ Европа вклучувајќи ја и Р.М., односно се користи зборот трапезиум за трапез, а зборот трапезоид за трапезоид.[1]


Рамнокрак трапез[уреди | уреди извор]

Трапез во кој непаралелните страни се складни, т.е. со иста должина се вика рамнокрак трапез. Во рамнокрак трапез, внатрешните агли кај секоја основа се еднакви (складни). Рамнокрак трапез е потполно определен ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите α, h, d, или a-b каде што α е кој било агол, h е висината , c е (кој било) крак и a-b е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината b-a може да се знае и должината на другата основа.

Пример: Нека е a=9cm, h=3cm и α=45° нека e аголот помеѓу a и c. Тогаш (a - b)/2 = h/tan(45°) = 3cm/1 = 3cm и a - b=6cm и b=3cm. c = h/sin(45°) = 3√2 cm =4,24cm. Горните внатрешни агли се по 180°-45°=135°.

Пример: Нека е a=5cm, h=3cm и α=45° нека e аголот помеѓу a и c. Тогаш (a - b)/2 = h/tan(45°) = 3cm/1 = 3cm и a - b=6cm и b= -1cm. Таков трапез не постои.


Правоаголен трапез[уреди | уреди извор]

Трапез кој има точно два внатрешни агли по 90° се вика правоаголен трапез. Од суплементноста на внатрешните агли на секој крак на трапез следува дека правите агли доаѓаат во парови, т.е. ако еден внатрешен агол е прав агол, тогаш и другиот агол на тој крак е прав. Меѓутоа, четириаголник со 4 прави агли е правоаголник, а истиот има два пара на паралелни страни, а во Р. Македонија таков четириаголник не се смета за трапез (се бара точно еден пар паралелни страни.)

Правоаголен трапез е потполно дефиниран ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите α, h, d, или a-b каде што α е кој било од неправите агли, h е висината (и едниот крак), d е косиот крак и a-b е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината b-a може да се знае и должината на другата основа.


Пример: Нека е a=7cm, d=4cm и α=30° e аголот помеѓу a и d. Тоѓаш a-b = d · sin(30°) = 4cm · 0,5 = 2cm и b=5cm; h=d · cos(30°) = 2√3cm =3,46cm. Четвртиот агол е 180°-30°=150°.


Trapez iso2 w.svg Trapez right2 w.svg   Trapez1 midline w.svg
Рамнокрак трапез Правоаголен трапез   Средна линија m на трапез


Плоштина, средна линија и висина на трапез[уреди | уреди извор]

Отсечката која ги сврзува средните точки на краците (непаралелните страни) на еден трапез се вика средна линија.

  • Средната отсечка е паралелна со паралелните страни на трапезот.
  • Должината на средната линија m е половина од збирот на основите a и b:


Плоштината Р на трапез со средна линија m:


Плоштината Р на трапез со основи a, b и краци c и d:


Кога една од паралелните страни „се смалува“ на точка (на пример b = 0), трапезот „станува“ триаголник со страни 'a, c и d и погорната формула се редуцира на Херонова формула за плоштина на триаголник. [5]

Еквивалентна формула за плоштина која повеќе личи на Херонова формула е:[2]

  каде што     е полупериметар на трапезот.


Трапез и неговите дијагонали (Геогебра интерактивност)[6]

Дијагонали на трапез[уреди | уреди извор]

Должините на дијагоналите се:[2]


Карактеризации на трапез[уреди | уреди извор]

За даден конвексен четириаголник, следните особини се еквивалентни и се и доволен услов четириаголникот да има барем еден пар паралелни страни:

  • Има два соседни агли кои се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.
  • Аголот помеѓу една страна и една дијагонала е еднаков на аголот помеѓу обратната страна и истата дијагонала.
  • Дијагоналите се сечат под истиот однос. (Овој однос е ист со односот помеѓу должините на паралелните страни).
  • Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар се слични.
  • Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар ја имаат истата плоштина.[7]:Prop.5


Понатаму, на еден трапез:

  • Средните точки на основите (паралелните страни) и пресекот на дијагоналите се колинеарни.[7]:Thm.15
  • Отсечката која ги спојува средните точки на основите ја дели плоштината на половина.


Друго[уреди | уреди извор]

Во калкулус и нумеричка математика се користи таканаречениот метод на трапези за приближно пресметување на површина под позитивна рамнинска крива, односно за приближно пресметување на определен интеграл на соодветната функција f:R->R во одреден интервал.


Тежиште, односно центар на маса или центроид на трапез со униформна густина е пресекот на отсечката која ги спојува средните точки на основите и правата паралелна со основите која е на растојание x од поголемата основа каде што:[8]


Наводи[уреди | уреди извор]

  1. 1,0 1,1 C.Clapham, J.Nicholson (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics" (PDF). Addison-Wesley.  стр.791 (англиски)
  2. 2,0 2,1 2,2 "Trapezoid". MathWorld. 
  3. "Quadrilateral Formulas". The Math Forum, Drexel University. 2012.  (англиски)
  4. "Trapezoid". Math Open Reference.  интерактивен (англиски)
  5. Aryabhatiya, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.66, ISBN 978-81-7434-480-9 (marathi)
  6. Л.Стојановска. "Трапез - Интерактивност 3".  (македонски)
  7. 7,0 7,1 Martin Josefsson, "Characterizations of trapezoids", Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35. (англиски)
  8. "efunda: Трапез и физика".  Пристапен 2013-09-05. (англиски)


Поврзани теми[уреди | уреди извор]


Надворешни линкови[уреди | уреди извор]