Херонова формула

Триаголник со страни a, b и c.

Во геометријата, Хероновата формула служи за пресметување на плоштината $P$ на триаголник за кој се познати должините на трите страни $a$, $b$ и $c$ и гласи

$P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

каде што $s$ e полупериметар на триаголникот:

$s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).$

Забелешка: Полупериметарот $s$ на триаголникот е поголем од секоја од страните $a$, $b$ и $c$ (ова следува од неравенството на триаголник). Значи, сите четири множитела под квaдратниот корен во Хероновата формула се позитивни.

Пример: Нека $\triangle ABC$ е триаголник со страни $a=7$, $b=4$ и $c=5$.

Полупериметарот на $\triangle ABC$ е:

$s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(7+4+5)=8$,
а плоштината му е:

$P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {8\cdot (8-7)\cdot (8-4)\cdot (8-5)}}={\sqrt {8\cdot 1\cdot 4\cdot 3}}={\sqrt {96}}=4{\sqrt {6}}\approx 9,8\,.$

Пример: Нека $\triangle ABC$ е триаголник со страни $a=3$, $b=4$ и $c=5$.

Неговиот полупериметар е: $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(3+4+5)=6$, а плоштината му е: $P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {6\cdot (6-3)\cdot (6-4)\cdot (6-5)}}={\sqrt {6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\sqrt {36}}=6$.
Ова е правоаголен триаголник познат под името египетски. Во него страната $b$ е и висина во однос на основата $a$. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник, следи

$P={\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}\cdot 3\cdot 4=6$.

Хероновата формула може да се напише и во кој било од следниве облици:

$P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,}}$

$P={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}$

$P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}$

Тука и во доказите се користат формулите:

$s-a={\frac {1}{2}}(-a+b+c),\,\,s-b={\frac {1}{2}}(a-b+c),\,\,s-c={\frac {1}{2}}(a+b-c)$.

Историја

Формулата му се припишува на Херон, а доказ може да се најде во неговата книга „Метрика“ (Metrica), која е напишана во 60 година н.е. Постои мислење дека формулата ја знаел и Архимед, а земајќи во обѕир дека „Метрика“ е колекција на математички знаења со кои располагал античкиот свет, можно е Херон само да ја забележал, а да не ја открил оваа формула.

Формула која е еквивалентна на Хероновата формула, а запишана во обликот:

$P={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}$

била позната во древна Кина и е откриена независно од Грците. Може да се најде во делото „Девет книги за математичката вештина“ објавена во 1247 година.

Доказ

Во доказот на Херон, тој користел тетивни четириаголници..

Следи модерен доказ на формулата во кој се користи алгебра и тригонометрија и потполно е поинаков од оригиналниот доказ на Херон.

Нека $a$, $b$ и $c$ се страните на еден триаголник, а $\alpha \,$, $\beta \,$ и $\gamma \,$ се соодветните агли кои се наоѓаат наспроти нив. Без губење на општоста, ќе ја сметаме страната $a$ за основа на триаголникот. Според косинусната теорема:

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$.

Оттаму се добива алгебарската равенка:

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$.

Висината на триаголникот која одговара на основата $a$ има должина $h_{a}=b\sin \gamma$, па следува

$P\,$	$={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot h_{a}$
	$={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot b\sin \gamma$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2}))((a^{2}+2ab+b^{2})-c^{2})}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}}$
	$={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(-a+b+c))\cdot {\tfrac {1}{2}}(a-b+c)\cdot {\tfrac {1}{2}}(a+b-c)\cdot {\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}}$
	$={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.$

Во горните трансформации полиномите се разложуваат според формулите за бином на квадрат и за разлика на квадрати.

Доказ со користење на Питагоровата теорема

Триаголник со висина h која на страната c прави отсечки со должини d и (c−d).

Почнуваме од формулата за плоштина

$P={\tfrac {1}{2}}ch_{c}={\tfrac {1}{2}}ch$ односно $4P^{2}=c^{2}h^{2}$.

каде страната $c$ ја земаме како основа, а со $h$ ја означуваме висината спуштена кон неа. Подножјето на висината ја дели страната $c$ на два дела со должини $d$ и $c-d$, како на цртежот десно.

Од Питагоровата теорема следува: $h^{2}+d^{2}=b^{2}$ и $h^{2}+(c-d)^{2}=a^{2}$.

Заменувајќи го првиот израз од Питагоровата теорема во равенката $4P^{2}=c^{2}h^{2}$, следи:

$4P^{2}=c^{2}h^{2}=c^{2}\cdot (b^{2}-d^{2})=(cb)^{2}-(cd)^{2}$.

Значи, треба да се докаже дека: $(cb)^{2}-(cd)^{2}=4P^{2}=4s(s-a)(s-b)(s-c)$.

Десната страна на последното равенство може да ја запишеме како:

$4s(s-a)(s-b)(s-c)=(s(s-a)+(s-b)(s-c))^{2}-(s(s-a)-(s-b)(s-c))^{2}$

Следи:

$4(s(s-a)+(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)+(a-b+c)(a+b-c)=4cb$

или

$(s(s-a)+(s-b)(s-c))^{2}=(cb)^{2}$.

Слично се добива и дека

$4(s(s-a)-(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)-(a-b+c)(a+b-c)=4cd$ или $(s(s-a)-(s-b)(s-c))^{2}=(cd)^{2}$

каде што двете применувања на Питагоровата теорема се користат во последната равенка.

Бројчена стабилност

Хероновата формула во зададениот облик е бројчено нестабилна за триаголници со многу мали агли. Постои стабилна алтернатива во која се именуваат страните, но така што: $a\geqslant b\geqslant c$, а потоа плоштината се пресметува по формулата

$P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}.$

Заградите се користат за да се спречи нумеричката нестабилност при пресметување на квадратен корен.

Обопштување

Хероновата формула е специјален случај на Брамагуптината формула за плоштина на тетивни четириаголници, а двете формули се специјални случаи на Бретшнајдеровата формула за плоштина на четириаголник. Во двата случаја, Хероновата формула се добива ако должината на една страна од четириаголникот се земе дека е еднаква на нула.

Исто така, Хероновата формула е посебен случај на формула за плоштина на трапез во која се користат само страните на трапезот. Во неа се става должината на помалата основа да е еднаква на нула.

Хероновата формула може да се изрази со помош на детерминантата

$P={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}$

од каде се гледа сличноста на Хероновата формула со формулата на Николо Тартаља за зафатнина на тетраедар.

Друго обопштување на Хероновата формула до петаголници и шестаголници впишани во круг бил откриен од Давид П. Робинс.

Поврзано

• Периметар
• Плоштина
• Херонов триаголник
• Херон Александриски

Надворешни врски

• Интерактивна страна за Херонова формула Архивирано на 28 октомври 2013 г. (македонски)
• Интерактивни примери за пресметување на плоштина со Херонова формула Архивирано на 5 март 2016 г. (македонски)
• Херонова формула (англиски)
• Доказ на Хероновaта формулa со помош на Питагоровата теорема (англиски)
• Интерактивна анимација за пресметување на плоштина со помош на Херонова формула (англиски)
• Херонова формула и обопштување на Брамагупте Архивирано на 9 мај 2008 г. (англиски)