Бретшнајдерова формула

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Четириаголник

Бретшнајдерова формула – формула која во геометријата се користи за одредување на површината на четириаголник, и гласи

При што, a, b, c и d се страните на четириаголникот, s е полуобем на четириаголникот, а и спротивни агли.

Бретшнајдеровата формула ја дава површината на четириаголник без разлика дали е истиот тетивен или не.

Доказ[уреди | уреди извор]

Ако површината на четириаголникот се означи со P, тогаш важи

Од што следува

Според косинусната теорема важи

Бидејќи двете страни на изразот се еднакви на квадратот на должината на дијагоналата BD.

Ако собироците се прегрупираат и двете страни се квадрираат, равенката може да се напише на следниов начин:

Собирајќи ги добиените еднаквости со горната формула за се добива

По средувањето ќе биде:

Доколку првиот член ан збирот од десната страна се дополни до квадрат на бином, се добива:

Ако потоа разликата на квадрати од десната страна се растави и ако се примени формулата за половина агол на третиот собирок, се добива:

односно

Претходната еднаквост може да се запише и како:

Земајќи предвид дека полуобемот на четираголник е:

се добива

од што следи Бретшнајдеровата формула.

Поврзаност со други формули[уреди | уреди извор]

Бретшнајдеровата формула е обопштување на формулата на Брамагупта за површина на тетивен четириаголник, а таа пак е обопштување на Хероновата формула који се користи за пресметување на површина на триаголник.

Надворешни врски[уреди | уреди извор]