Бретшнајдерова формула

Четириаголник

Бретшнајдерова формула – формула која во геометријата се користи за одредување на плоштината на четириаголник, и гласи

$P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}}},$

при што, a, b, c и d се страните на четириаголникот, s е полупериметар на четириаголникот, а $\alpha \,$ и $\gamma \,$ се два спротивни агла во четириаголникот.

Бретшнајдеровата формула ја дава плоштината на четириаголник без разлика дали е тој тетивен или не е.

Доказ

Ако плоштината на четириаголникот се означи со P, тогаш важи

${\begin{aligned}P&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma +{\tfrac {1}{2}}cd\sin \alpha \end{aligned}}$

од каде следува

$4P^{2}=(ab)^{2}\sin ^{2}\gamma +(cd)^{2}\sin ^{2}\alpha +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,$

Според косинусната теорема, важи

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma =c^{2}+d^{2}-2cd\cos \alpha ,\,$

бидејќи двете страни на изразот се еднакви на квадратот на должината на дијагоналата BD.

Ако собироците се прегрупираат и двете страни се квадрираат, равенката може да се напише на следниов начин:

${\tfrac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=(ab)^{2}\cos ^{2}\gamma +(cd)^{2}\cos ^{2}\alpha -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .\,$

Додавајќи ги на двете страни од добиената равенка соодветните страни од горната формула за $4P^{2}$, се добива

$4P^{2}+{\tfrac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=(ab)^{2}+(cd)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).\,$

По множење на равенката со 4 и по средување, се добива:

$16P^{2}=4(a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2})-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}-8abcd\cos(\alpha +\gamma ).\,$

Доколку првиот член на збирот од десната страна се дополни до квадрат на бином, се добива:

$16P^{2}=4(ab+cd)^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}-8abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )].\,$

Ако потоа разликата на квадрати од десната страна се разложи на множители и ако се примени формулата за половина агол на третиот собирок, се добива:

$16P^{2}=[2(ab+cd)-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})][2(ab+cd)+(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})]-16abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}},\,$

односно

$16P^{2}=[(a+b)^{2}-(c-d)^{2}][(c+d)^{2}-(a-b)^{2}]-16abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}.\,$

Претходната еднаквост може да се запише и како:

$16P^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)-16abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}.$

Земајќи предвид дека попериметарот на четираголник е:

$s={\frac {a+b+c+d}{2}},$

се добива

$16P^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}$

од што следи Бретшнајдеровата формула.

Поврзаност со други формули

Бретшнајдеровата формула е обопштување на Брамагуптината формула за плоштина на тетивен четириаголник, а таа пак е обопштување на Хероновата формула који се користи за пресметување на плоштина на триаголник.

Надворешни врски

• Бретшнајдеровата формула на семрежното место wolfram.com