Транслација (геометрија)

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Транслација на четириаголникот ABCD за вектор v (креиран со Геогебра)

Во геометријата, транслација на една фигура за даден вектор е паралелно поместување на фигурата така што секоја точка од фигурата се поместува за векторот (види анимацијата).[1]

Основна поставка: При транслација, фигурата не е ротирана, не е превртена, и не е растегната. Само се лизга паралелно.[2]

Пресметување на координатите на фигура по транслација

Означување и пресметување[уреди | уреди извор]

Често пати трансформацијата транслација за вектор v се означува со: Tv.

Во рамнина: нека F е множеството на сите точки на една геометриска фигура, a нека v е вектор со почетна точка P=(xp,yp) и крајна точка Q=(xq,yq).

Го формираме соодветниот радиус-вектор rv на v, т.е. r е вектор со почетна точка (0,0) и крајна точка R=Q-P:

 каде што   и   , т.е. крајната точка на r e    .

Тогаш:

.


Пример: Нека F е триаголникот со темињата A=(2,0), B=(6,-2), C=(4,3) и v нека е векторот со почетна точка P=(1,4) и крајна точка Q=(4,8). Тогаш

 ,   и   е триаголникот со темињата: A'=(2,0)+(3,4)=(5,4), B'=(6,-2)+(3,4)=(9,2), C'=(4,3)+(3,4)=(7,7) (види слика).


Особини на транслација[уреди | уреди извор]

Транслација како трансформацијата ги има следните особини:[3]

  • Транслација е т.н. крута трансформација, т.е. по транслација, фигурата останува со иста големина и образ. Другите две крути трансформации се ротација и рефлексија.
  • Tранслацијата на една геометриска фигура и самата фигура се складни фигури.
  • По транслација, сите должини (растојанија) на фигурата остануваат непроменети, т.е. транслација е изометрија.
  • По транслација, сите агли на фигурата остануваат непроменети.
  • По транслација, ориентацијата на фигурата не е променета. На пример, доколку темињата на еден многуаголник се означени во правецот на часовникот, тогаш темињата на неговата транслација остануваат во правецот на часовникот.
  • По транслација, паралелни прави сè уште се паралелни и соодветните страни (отсечки) на една фигура и нејзината транслација се паралелни.
  • Две последователни транслации се повторно транслација: TuTv=Tu+v.
  • Транслацијата е комутативна трансформација, т.е. TuTv=TvTu.
  • Инверзната транслација на Тv е Т-v каде што -v е вектор со истата должина и правец како v, а обратна насока, т.е. Тv-v0 (нема поместување).


Обопштување[уреди | уреди извор]

Нека v е вектор во Евклидов просторn, a r нека е соодветниот радиус-вектор со крајната точка R.

  • Транслација на ℝn за v може да се разгледа како поместување на координатниот почеток во точката R.
    • На пример, за n=3, ако A е произволна точка, Тv(A)=A+R. Ова важи и за A=(0,0,0) така што Тv((0,0,0))=R.


Претставување на транслација со матрици[уреди | уреди извор]

Секоја транслација Tv за вектор v може да се претстави со т.н. транслациона матрица.

Множење на матрица со матрица-од-точка секогаш ја пресликува координатниот почеток во координатниот почеток. Меѓутоа, има стандарден начин како да се избегне ова.[4]

Нека v е вектор во Евклидов простор ℝ3, a r=<rx,ry,rz> нека е соодветниот радиус-вектор. Ја формираме 4х4 транслациона матрица:

Потоа, нека A=(ax,ay,az) е произволна точка. Формираме проширена матрица-од-точка, односно 4х1 матрица:

Тогаш:

Значи, (како што треба) имаме:


Наводи[уреди | уреди извор]

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Translation"“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 787. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  2. „Translate“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/translate.html. конс. Септември 2013.  интерактивен
  3. Bogomolny, A. (2010). „Translation Transform“ (на англиски). http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Translation.shtml. конс. Септември 2013.  интерактивeн
  4. Richard, Paul (1981). Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators. MIT Press, Cambridge, MA. ISBN 978-0262160827. http://books.google.com/books?id=UzZ3LAYqvRkC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false. 


Поврзани теми[уреди | уреди извор]


Надворешни врски[уреди | уреди извор]

Портал „Математика