Висина на триаголник

Со црвена боја се прикажани трите висини на остроаголен триаголник ABC.

Висина на триаголник – должина повлечена од едно теме на триаголникот спрема спротивната страна така што со таа страна зафаќа прав агол. Тоа е најкраткото растојание од темето до спротивната страна. Висината обично се обележува со латиничната буква h. Се вели дека висината е нормална на таа страна и истата се нарекува основа. Пресекот на висината и основата се нарекува подножје на висината. Должината на висината е растојанието меѓу темето на триаголникот и подножјето на висината.

Во секој триаголник може да се конструираат три висини. Пресекот на сите висини во триаголникот се нарекува ортоцентар.

Висината на триаголникот може да се користи за пресметување на плоштината на триаголникот која е еднаква на половина од производот на основата и висината:

$P={\frac {a\cdot h_{a}}{2}}$

Висина кај различни видови триаголници

Висина кај правоаголен триаголник

Кај правоаголен триаголник две висини се поклопуваат со катетите, а третата висина ја дели хипотенузата на отсечки p и q. Формулата која ги поврзува со висната која ги дели е:

$h={\sqrt {pq}}$.

Висина кај рамнокрак триаголник

Кај рамнокрак триаголник подножјето на висината се поклопува со средината на страната. Во овој случај висината се поклопува со симетралата на аголот и симетралата на страната.

Ортоцентар

Ортоцентар на триаголник е точка во која се сечат трите висини на триаголникот. Ортоцентарот е внатре во триаголникот ако и само ако триаголникот е остроаголен. Кај правоаголен триаголник, ортоцентарот се наоѓа во темето кај правиот агол, додека кај тапоаголен триаголниктапоаголниот триаголник ортоцентарот се наоѓа надвор од триаголникот.

Ортоцентричен систем

Ортоцентричниот систем је систем од четири точки во рамнина - ортоцентарот на триаголникот (H) заедно со трите негови темиња (A, B и C).

За четирите точки во ортоцентричниот систем карактеристично е дека во исто време секоја од нив е ортоцентар за триаголникот кој го образуваат преостанатите три точки како негови темиња. Вака дефинирани четири триаголници: ABC, АBH, ACH и BCH имаат заедничка Ојлерова кружница.

Херонова формула

Хероновата формула го дава образецот за пресметка на должината на висината во триаголник кога се познати должините на сите три страни.

Во триаголникот ABC во кој должините на страните се a, b и c, а со s е означен полуобемот s = (a+b+c) / 2, висината нормална на страната a се пресметува по формулата:

$h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.$