Правоаголен триаголник

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Правоаголен триаголник
Right triangle standard.svg
Правоаголен триаголник има прав агол
Рабови и темиња 3
Плоштина ½·a·b
Својства прав агол
конвексен

Во геометријата, правоаголен триаголник е триаголник со внатрешен прав агол, т.е. агол со 90°.[1][2] Страната спроти правиот агол се нарекува хипотенуза; тоа е најдолгата страна во правоаголниот триаголник и се означува со c. Другите две страни се викаат катети и се означувани со a и b. Спротивно на страната a е темето А и аголот α, a спротивно на страната b е темето В и аголот β.

Основни регулативи:

  • Аглите α и β се остри агли и парот се комплементни.
  • Правиот агол се наоѓа помеѓу страните a и b. Значи тие се меѓусебно нормални и a e висината на правоаголен триаголник со основа b.
  • Питагорова теорема: Еден триаголник е правоаголен ако и само ако[3]
a^2+b^2=c^2

Формули и особини[уреди]

Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. ½ · b · h = ½ × b × h

Сите агли на правоаголен триаголник

Периметар е збир на должините на трите страни

L = a+b+c

Плоштина е:

  • Плоштина на триаголник е една половина од основата помножена со висината, а бидејќи страната а е висината на основата b кај правоаголен триаголник имаме:
P = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot b .


Пример: Нека е даден правоаголен триаголник со катета a=5cm и хипотенузата c=13cm. Според Питагорова теорема

a^2+b^2=c^2 \Rightarrow  (5cm)^2+b^2=(13cm)^2 \Rightarrow 25cm^2+b^2=169cm^2
b^2=169cm^2-25cm^2 \Rightarrow b^2=144cm^2 \Rightarrow b=\sqrt{144cm^2} \Rightarrow b=12cm
Периметарот e: L=a+b+c=5cm+12cm+13cm=30cm. Плоштината е: ½·a·b=½·5cm·12cm=30cm²
Забелешка: Комбинацијата (5,12,13) е т.н. Питагорова тројка, т.е. е комбинација на три цели броеви кои формираат правоаголен триаголник. Друга позната тројка е: (3,4,5).


Пример: Нека е даден триаголник со катети а = b = 10mm. Според Питагорова теорема

a^2+b^2=c^2 \Rightarrow (10mm)^2+(10mm)^2=c^2 \Rightarrow 100mm^2+100mm^2=c^2
200mm^2=c^2 \Rightarrow c^2=200mm^2 \Rightarrow c=\sqrt{200mm^2} \Rightarrow c = 10\sqrt{2} \approx 14,14mm
Периметарот e: L=a+b+c=10mm+10mm+14,14mm=34,14mm. Плоштината е: ½·a·b=½·10mm·10mm=100mm²
Забелешка: Во вториот пример, двете катети ја имаат истата должина. Значи, покрај тоа што триаголникот е правоаголен, тој е и рамнокрак триаголник и аглите α и β се еднакви, α = β =45°. Нема рамностран триаголник кој е и правоаголен.

Тригонометрија[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Тригонометрија.

Тригонометријата е гранката на математиката во која се разгледуваат своиства на слични правоаголни триаголници. Два триаголници се слични ако имаат два пара на еднакви внатрешни агли. Во тој случај, автоматско е третиот пар се еднакви бидејќи збирот на аглите на триаголник е 180°. Значи, два правоаголни триаголници се слични ако еден пар од останатите два (остри) агли се еднакви. Ако два триаголници се слични, тогаш односот на било кој пар на страни е ист - таа е дефиницијата на сличност. Затоа тригонометриски функции кои ги опишуваат односите на различните комбинации на страните на триаголникот зависат само од еден агол.

Впишана кружница[уреди]

Регулатива: Центарот на впишаната кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли, а радиусот r на впишаната кружница на правоаголен триаголник е:

r = \frac{2P}{L} = \frac{2 \cdot \tfrac{1}{2}ab}{a+b+c}= \frac{ab}{a+b+c}
Right triangle inscribed.svg Right triangle circumscribed thales.svg Right triangle circumscribed.svg
Впишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во пресекот на аголните симетрали. Опишана кружница како последица од Талесова теорема. Опишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во средината Mc на хипотенузата c.

Талесова теорема[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Талесова теорема.

Талесова теорема гласи: Секој периферен агол над дијаметарот на кружница е прав агол.

Oпишана кружница[уреди]

Регулатива: (Последица од Талесова теорема) Средината, т.е. средната точка на хипотенузата c на правоаголен триаголник е центарот на својата опишана кружница, а радиусот на кружницата е половината од хипотенузата c:

R= \frac{c}{2}

Забелешка: Опишана кружница зависи само од хипотенува, т.е. секој правоаголен триаголник со истата хипотенуза ја има истата опишана кружница.

Right triangle centroid.svg Right triangle thales converse.svg
Тежиштето e заеднички пресек на тежишните линии. Инверзната Талесова теорема: Ако должината на тежишната линија CMc e c/2 тогаш ΔABC e правоаголен триаголник.

Тежишната линија на хипотенуза[уреди]

Во геометријата, тежишна линија на триаголник е отсечка која поврзува теме со средната точка на спротивна страна. Друг термин за тежишна линија е медијана.

  • Теорема: Нека CMc е тежнишната линија до најдолгата страна c=AB на триаголникот ΔABC. Должината на CMc е еднаква на c/2 ако и само ако ΔABC е правоаголен триаголник.[4] (Доколку триаголник нема најдолга страна, тој не е правоаголен.)
Доказ: Талесовата теорема („ако“) и инверзната Талесова теорема („само ако“).[5]

Наводи[уреди]

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Right-angled Triangle“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 682. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  2. „Right triangle“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/righttriangle.html. конс. Септември 2013.  интерактивен
  3. Било кој доказ на Косинусова теорема
  4. „Триаголници: Медијани и правоаголни триаголници“ (на македонски). 2010. http://www.emathforall.com/wiki/Aktivnosti/TriagolnikMedijanaPravAgol. конс. декември 2013.  интерактивен
  5. „Thales' theorem (converse)“ (на англиски). Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Thales'_theorem#Converse. конс. декември 2013. 

Поврзани теми[уреди]

Надворешни линкови[уреди]