Косинусна теорема

Од Википедија — слободната енциклопедија
(Пренасочено од Косинусова теорема)
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Сл. 1 – Триаголник. Аглите α (или A), β (или B), и γ (или C) соодветно се спротивни на страните a, b и c.

Косинусна теорема (позната и како косинусна формула или косинусно правило) – формула која дава врска меѓу должините на страните на триаголник со косинусот на еден од неговите агли. Користејќи го обележувањето од сл. 1, косинусната теорема е дадена со формулата:

каде γ го означува аголот меѓу страните од должините a и b и спротивен на страната со должина c. За истата слика, другите две формули се аналогни:

Косинусната теорема ја обопштува Питагоровата теорема, која важи само за правоаголни триаголници: ако аголот γ е прав агол (90 степени, или π2 радијани), тогаш cos γ = 0, па косинусната теорема се сведува на Питагоровата теорема:

Косинусната теорема е корисни за пресметување на третата страна на триаголник кога се познати другите две страни и аголот меѓу нив, како и при пресметување на агли на триаголник кога се познати сите три страни.

Историја[уреди | уреди извор]

Сл. 2 – Тапоаголен триаголник ABC со нормала BH

Иако поимот за косинус уште не бил развиен во негово време, Евклидовите Елементи, кои датираат од 3 век пр.н.е., содржат рана геометриска теорема скоро еднаква на косинусната. Случаите на тапоаголен триаголниктапоаголен и остроаголен триаголник (кои соодветствуваат на двата случаи на негативен и позитивен косинус) се обработени посебно, во предлозите 12 и 13 од Книга 2. Со оглед дек во Евклидовото време не постоеле тригонометриските функции и алгебрата (особено негативните броеви), неговото тврдење има повеќе геометриски вкус:

Предлог 12
Кај тапоаголни триаголници квадратот на страната спротивна на тапиот агол е поголем од збирот на квадратите на страните кои го чинат тапиот агол за два пати од правоаголникот од една од страните на тапиот агол, имено онаа на која паѓа нормалата и отсечокот од правата линија на нормалата кон тапиот агол.

— Евклидови Елементи.[1]

Користејќи го обележувањето на сл. 2, Евклидовото тврдење може да се претстави со формулата

Оваа формула може да се преобрази во косинусната теорема нотирајќи дека CH = (CB) cos(π − γ) = −(CB) cos γ. Предлогот 13 го содржи целосно аналогното тврдење за остроаголни триаголници.

Евклидовите „Елементи“ го отвориле патот за откривање на косинусната теорема. Во 15 век, Џамшиц ал-Каши, персиски математичар и астроном, ја дал првата експлицитна формулација на косинусната теоремеа погодна за триангулација. Тој направил точни тригонометриски таблици и ја изразил теоремата во погоден облик за современо користење. Во Франција, косинусната теорема сè уште се нарекува „Теорема на Ал-Каши“[2][3][4]

На Запад, теоремата ја популаризирал Франсоа Виет во 16 век. На почетокот на 19 век, современото алгебарско обележување овозможило косинусната теореме да се запишува во денешниот симболичен облик.

Примени[уреди | уреди извор]

Сл. 3 – Примени на косинусната теорема: непозната страна и непознат агол.

Теоремата се користи при триангулација, за решавање на триаголник или круг, односно да се најде (види сл. 3):

  • третата страна на триаголник доколку се знаат двете страни и аголот меѓу нив:
  • аглите на триаголник доколку се знаат трите страни:
  • третата страна на триаголник доколку се знаат двете страни и агол спротивен на една од нив (во случај на правоаголен триаголник може да се користи исто така и Питагоровата теорема):

Овие формули продуцираат големи грешки на заокружување при пресметки со подвижна запирка доколку триаголникот е многу остар, односно ако c е релативно мала во однос на a и b или γ е мал во споредба со 1. Можно е дури да се добие резултат кој е малку поголем од еден за косинус на агол.

Третата прикажана формула е резултат од решавање на a во квадратната равенка a2 − 2ab cos γ + b2c2 = 0. Ова равенка може да има 2, 1, или 0 позитивни решенија што соодветстува на бројот на можни триаголници. Ќе има две позитивни решенија ако b sin γ < c < b, само едно позитивно решени ако c = b sin γ, а ќе нема решение ако c < b sin γ or cb.

Докази[уреди | уреди извор]

Со користење на формула за растојание[уреди | уреди извор]

Сл. 4 – Геометриски доказ

Нека разгледуваме триаголник со страни со должини a, b, c, каде θ е аголот спротивен на страната со должина c. Овој триаголник може да се смести во Декартовиот координатен систем со внесување на наведените точки, како што е прикажано на сл. 4:

Според формулата за растојание, имаме

Сега, работиме само со оваа равенка:

Предноста на овој доказ е тоа што не бара да се разгледуваат посебно различните случаи на остроаголен, правоаголен или тапоаголен триаголник.

Со користење тригонометрија[уреди | уреди извор]

Сл. 5 – Остроаголен триаголник со нормала

Со спуштање нормала на страната c низ точката C, висина на триаголникот, се добива (види сл. 5)

(Ова е точно и ако α или β е тап агол, во кој случај нормалата паѓа вон триаголникот.) Множејќи со c се добива

Земајќи ги предвид другите две висини на триаголникот, имаме

Собирајќи двете последни равенки дава

Одземајќи ја првата равенка од последната резултира во

што се поедноставува во


Многу докази ги третираат случаите на тапи и остри агли γ одвоено.

Со користење на Питагоровата теорема[уреди | уреди извор]

Тапоаголен триаголник ABC со висина BH

Случај на тап агол[уреди | уреди извор]

Евклид ја докажува оваа теорема со примена на Питагоровата теорема за секој од двата правоаголни триаголници прикажани на сликата (AHB and CHB). Користејќи го d за обележување на линискиот сегмент CH и h висината BH, од триаголникот AHB се добива

а од триаголникот CHB се добива

Со проширување на првата равенка се добива

Заменувајќи ја втората равенка во ова, се добива следното:

Ова е Евклидовиот Предлог 12 од Книга 2 од Евклидовите Елементи.[5] За да ова се преобрази во современ облик на косинусната теорема, да забележиме дека

Случај на остар агол[уреди | уреди извор]

Евклидовиот доказ на неговиот Предлог 13 се одвива според истите линии како неговиот доказ за Предлогот 12: ја применува Питагоровата теорема на двата правоаголни триаголници добиени со спуштање нормала на една од неговите страни што затвора аголот γ и ја користи биномната теорема за поедноставување.

Сл. 6 – Краток доказ кој користи тригонометрија за случај на остар агол

Друг доказ за случај на остар агол[уреди | уреди извор]

Со користење тригонометрија, косинусната теорема може да се добие со користење на Питагоровата теорема само еднаш. Фактички, со користење на правоаголниот триаголник на левата страна на сл. 6 може да се покаже дека:

Користејќи го тригонометрискиот идентитет

Овој доказ изискува мала модификација ако b < a cos(γ). Во овој случај, правоаголниот триаголник на кој се применува Питагоровата теоремеа се поместува надвор од триаголникот ABC. Единствениот учинок што ова го има на пресметката е дека вредноста ba cos(γ) се заменува со a cos(γ) − b. Со оглед дека оваа вреднсот влегува во пресметката само преку нејзиниот квадрат, остатокот од доказот е незасегнат. Овој проблем се јавува само кога β е тап и истото може да се избегне одразувајќи го триаголникот околу бисектрисата на γ.

За сл. 6 вреди да се забележи дека ако аголот на спротивната страна a е α тогаш:

Ова е корисно за директна пресметка на втор агол кога се дадени две страни и аголот меѓу нив.

Со користење на Птоломејовата теорема[уреди | уреди извор]

Доказ на косинусната теорема со користење на Птоломејовата теорема

Референцирајќи на дијаграмот, триаголникот ABC со страни AB = c, BC = a и AC = b е впишан во својата кружница како што е прикажано. Триаголникот ABD е конструиран конгруентно на триаголникот ABC со AD = BC и BD = AC. Нормалите од D и C ја сечат основата AB во E и F соодветно. Тогаш:

Сега косинусната теорема се изведува со директна примена на Птоломеевата теорема на тетивниот четириаголник ABCD:

Очигледно е дека ако аголот B е прав, тогаш ABCD е правоаголен и со примена на Птоломеевата теорема се добива Питагоровата теорема:

Со споредување површина[уреди | уреди извор]

Косинусната теорема исто така може да се докаже со пресметување на површини. Промената на знакот кога аголот γ станува тап, изискува потреба од различни случаи.

Да се потсетиме дека

  • a2, b2, и c2 се површини на квадратите со страни a, b и c, соодветно;
  • ако γ е остар, тогаш ab cos γ е површината на паралелограмот со страни a и b кои образуваат агол од γ′ = π2γ;
  • ако γ е тап, па cos γ е негативен, тогаш ab cos γ е површината на паралелограмот со страни a и b кои образуваат агол од γ′ = γπ2.
Сл. 7a – Доказ на косинусната теорема за остар агол γ со „сечење и лепење“.

Случај на остар агол. Сликата 7a покажува седумаголник пресечен на помали парчиња (на два различни начна) за да се добие доказ на косинусната теорема. Различните парчиња се:

  • во розово, површините a2, b2 лево и површините 2ab cos γ и c2 десно;
  • во сино, триаголникот ABC, лево и десно;
  • во сиво, помошни триаголници, сите конгруентни на ABC, еднаков број (имено 2) лево и десно.

Еднаквоста на површините лево и десно дава:

Сл. 7b – Доказ на косинусната теорема за тап агол γ со „сечење и лепење“.

Случај на тап агол. На сликата 7b шестаголникот се сече на два различни начина на помали парчиња со што се добива доказ на косинусната теорема во случај аголот γ да е тап. Имаме

  • во розово, површините a2, b2 и −2ab cos γ лево и c2 десно;
  • во сино, триаголникот ABC два пати, лево и десно.

Еднаквоста на површините лево и десно дава:

Ригорозниот доказ ќе мора да вклучи докази дека различни облици се конгруентни и следователно имаат еднакви површина. Истиот ќе ја користи теоријата на конгруентни триаголници.

Со користење на геометрија на круг[уреди | уреди извор]

Со користење на геометрија на круг, можно е да се даде погеометриски доказ отколку со користење само на Питагоровата теорема. Избегнати се алгебарските изведби (особено биномната теорема).

Сл. 8a – Триаголникот ABC (розов), помошен круг (светло син) и помошен правоаголен триаголник (жолт)

Случај остар агол γ, каде a > 2b cos γ. Се спушта нормала од A на a = BC, со што се создава линиски сегмент со должина b cos γ. Се дуплицира правоаголниот триаголник за да формира рамнокрак триаголник ACP. Се конструира круг со центар во A и полупречник b и негова тангента h = BH низ B. Тангентата h образува прав агол со полупречникот b (Евклидови Елементи: Книга 3, Предлог 18;]]), така жолтиот триаголни на сл. 8 е прав. Со примена на Питагоровата теорема се добива:

Потоа со користење на тангентно-секантна теорема (Евклидови Елементи: Книга 3, Предлог 36), кој вели дека квадратот на тангентата низ точката B вон кругот е еднаков на производот од двата линиски сегменти (од B) образувани од која било секанта на кружницата низ B. Во овој случај: BH2 = BCBP, или

Со замена во претходната равенка се добива косинусната теорема:

Треба да се забележи дека h2 е степен на точката B во однос на кружницата. Користењето на Питагоровата теорема и тангентно-секантната теорема може да се замени со примена само на теоремата за степен на точка.

Сл. 8b – Триаголникот ABC (розово), помошен круг (светло сино) и два помошни правоаголни триаголници (жолто)

Случај на остар агол γ, каде a < 2b cos γ. Се спушта нормала од A на a = BC, со што се создава линиски сегмент со должина b cos γ. Се удвојува правоаголниот триаголник така што го формира рамнокракиот триаголник ACP. Се конструира кружница со центар во A и полупречник b и тетива низ B нормална на c = AB, чија половина е h = BH. Со примена на Питагоровата теорема се добива:

Сега се користи тетивната теорема (Евклидови Елементи: Книга 3, Предлог 35), која вели дека ако две тетиви се сечат, производот од двата добиени линиски сегменти на едната тетива се еднакви со производот на два двата линиски сегменти добиени на другата тетива. Во овој случај: BH2 = BCBP, или

Со замена во претходната равенка се добива косинусната теорема:

Треба да се забележи дека степенто на точката B во однос на кружницата има негативна вредност h2.

Сл. 9 – Доказ на косинусната теорема со користење на теоремата за степен на точка.

Случај на тап агол γ. Овој доказ директно ја користи теоремата за степен на точка, без помошни триаголници добиени со конструкција на тангента или тетива. Се констурка кружница со центар B и полупречник a (вид ја слика 9), која ја сече секантата која минува низ A и C во C и K. Степенот на точката A во однос на кружницата е еднаков на AB2BC2 и ACAK. Оттаму,

што е косинусната теорема.

Со користење на алгебарски мерки за линиски сегменти (што дозволуваат негативни броеви за должини на сегментите) случајот на тап агол (CK > 0) и остар агол (CK < 0) може да се третираат истовремено.

Со користење на синусната теорема[уреди | уреди извор]

Со користење на синусната теорема и знаејќи дека збирот на аглите во триаголник мора да биде 180 степени, се добива следниов систем равенки (трите непознати се аглите):

Потоа, со користење на третата равенка на системот, се добива систем од две равенки и две варијабли:

При што се користи тригонометриското својство дека синус од суплементен агол е еднаков на синус од аголот.

Користењето на идентитетот

Води до

Со делење на целиот систем со cos γ, се добива:

Следствено, од првата равенка на системот, се добива:

Со замена на овој израз во втората равенка и со користење на:

се добива една равенка со една непозната:

Множејќи со (bc cos α)2, се добива следнава равенка:

Ова имплицира

Повикувајќи го Питагоровиот идентитет се добива:

Рамнокрак случај[уреди | уреди извор]

Кога a = b, односно, кога триаголникот е рамнокрак со две еднакви страни кои го формираат аголот γ, косинусната теорема значително се поедноставува. Имено, бидејќи a2 + b2 = 2a2 = 2ab, косинусната теорема станува:

или

Аналогно за тетраедри[уреди | уреди извор]

Аналогно тврдење почнува земајќи α, β, γ, δ да се површини на четирите страни на тетраедар. Се означуваат диедралните агли со итн. Потоа[6]

Верзија погодна за мали агли[уреди | уреди извор]

Кога аголот, γ, е мал и соседните страни, a и b, се со слични должини, десната страна на стандардниот облик на косинусната теорема може многу да изгуби на точност на нумеричка загуба на значајност. Во ситуации кога ова има битно влијание, математичката еквивалентна верзија на косинусната теорема, слична на хаверсинусната формула, може да се покаже корисна:

Во границите на инфинитизимален агол, косинусната теорема дегенерира во формула на кружна должина на лак, c = a γ.

Во сферната и хиперболичната геометрија[уреди | уреди извор]

Сферен триаголник решен со косинусната теорема.

Верзии слични на косинусната теорема за Евклидова рамнина важат исто така за единична сфера и хиперболична рамнина. Во сферната геометрија, триаголник е дефиниран со три точки u, v и w на единична сфера, и лаците на големите кружници кои ги спојуваат овие точки. Ако овие големи кружници формираат агли A, B и C со спротивните страни a, b, c тогаш сферната косинусна теорема тврди дека важат следниве два односи:

Во хиперболичната геометрија, парот равенки е познат како хиперболична косинусна теорема. Првата е:

каде sinh и cosh се хиперболичен синус и косинус, а втората е:

Како во Евклидвата геометрија, може да се користи косинусната теорема за да се одредат аглите A, B, C од познавањето на страните a, b, c. Спротивно на Евклидовата геометрија, можно е и обратното во два неевклидови модели: аглите A, B, C ги определуваат страните a, b, c.

Унифицирана формула за површини со константна закривеност[уреди | уреди извор]

Со дефинирање две функции и како

and

Овозможува да се унифицираат формулите за рамнина, сфера и псевдосфера во:

Во ова обележување е комплексен број, кој го претставува радиусот на закривеност на површината.

  • за површината е сфера со радиус , а неговата константа на закривеност е
  • за површината е псевдосфера на (имагинарен) радиус со константа на закривеност еднаква на
  • за  : површината се стреми кон Евклидова рамнина, со нула константа на закривеност.

Верификација на формулата за неевклидова геометрија

Во првите два случаи, и се добро дефинирани во целата комплексна рамнина за сите и прибирањето на претходните резултати е едноставна.

Оттука, за сфера со радиус

.

Слично, за псевдосфера со радиус

Навистина, and

Верифицирање на формулата на границата на Евклидовата геометрија

Во Евклидовата рамнина мора да се пресметаат соодветните граници за горенаведената равенка:

and

.

Со примена на ова во општата формула за конечно се добива:

Со собирање на членовите, множење со и земајќи се добива очекуваната формула:

Поврзано[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. „Euclid, Elements Thomas L. Heath, Sir Thomas Little Heath, Ed“. 
  2. Clifford A. Pickover (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. стр. 106. https://books.google.co.in/books?isbn=148222741X. 
  3. Computing : a historical and technical perspective. Igarashi, Yoshihide,. Boca Raton, Florida. стр. 78. ISBN 9781482227413. OCLC 882245835. https://www.worldcat.org/oclc/882245835. 
  4. Ilija Baruk (2008). Causality I. A Theory of Energy, Time and Space, Volume 2. стр. 174. https://books.google.co.in/books?isbn=1409229521. 
  5. Java applet version by Prof. D E Joyce of Clark University.
  6. Casey, John (1889). A Treatise on Spherical Trigonometry: And Its Application to Geodesy and Astronomy with Numerous Examples. London: Longmans, Green, & Company. стр. 133. 

Надворешни врски[уреди | уреди извор]