Тангенсна теорема

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Триаголник

Тангенсна теорема – во тригонометријата претставува однос на два агли на триаголник и должината на спротивната страна.

На сликата a, b и c се должини на страните на триаголникот, а α, β и γ се агли на спроти трите страни. Тангенсната теорема гласи:

Иако тангенсната теорема не е позната како синусната или косинусната теорема, таа е еквивалентна на синусната теорема и може да се користи ако се познати должините на две страни и аголот меѓу нив, како и ако се познати два агли и должината на една страна. Тангенсната теорема кај сферните триаголници ја опишал во тринаесеттиот век персискиот математичар Насир ал-Дин ал-Туси (1201-1274), кој исто така ја дефинирал и синусната теорема на триаголник.

Доказ[уреди | уреди извор]

Доказ дека тангенсната теорема може да се изведе од синусната теорема:

Нека е:

Така да е:

Следи:

Користејќи ја тригонометриската функција за трансформација на збир и разлика во производ:

Следи:

Како алтернатива на користењето на функција на збир или разлика на два синуса, исто така може да се користи оваа тригонометриска функција:

Примена[уреди | уреди извор]

Со помош на тангенсната теорема може да се пресмета непозната должина на страна на триаголник и аглите на триаголник кај кој се познати две страни a и b и аголот меѓу нив. Од

Преостанатата страна c може да се пресмета од синусната теорема. Пред електронските калкулатори, овој начин на пресметување се користи почесто од косинусната теорема, бидејќи овој другиот начин изискува дополнително проверување во логаритамски таблици, за пресметување на квадратен корен.

Тангенсна теорема на полуагли[уреди | уреди извор]

Тангенсната теорема зборува за тангенсите на полуаглите изразени со помош на страните на триаголникот и полупречникот на опишаната кружница во дадениот триаголник.

Теорема 1
Тангенсот на полуаголот на триаголник е еднаков на количникот на полупречникот на впишаната кружница и разликата на полуобемот и спротивната страна, т.е.

каде A, B, C се агли на триаголникот ABC, r полупречник на впишаната кружница, полуобем, при што страните спроти темињата ABC, на сликата десно.

Доказ: Да повлечеме симетрали на внатрешните агли на триаголникот ABC. Од центарот на впишаната кружница О на дадениот триаголник спуштаме нормали OD, OE, OF на страните на триаголникот, со следниот ред CA = b, AB = c, BC = a. Секоја од тие нормали има должина еднаква на полупречникот r на впишаната кружница. За така добиените триаголници важат релациите за складност Добиваме:

Сега да ги изразиме AE, BF, DC со помош на страните на триаголникот. Прво имаме каде се делови на страната до допирните точки на впишаната кружница. Со собирање на овие равенки добиваме или Со одземање на секоја од претходните со последната равенка следи и со замена во појдовната равенка ги добиваме изразите кои требаше да се докажат. Крај на доказот.

Со замена на полупречникот на впишаната кружница со соодветни изрази со страните на дадениот триаголник ќе добиеме позгодни формули за истата теорема.

Теорема 2
За триаголникот ABC важат равенките:
каде a, b, c се страните на триаголникот ABC спроти истоимените темиња, , a p е полуобемот.
Доказ
Тргнувајќи од претходната теорема (1) и Хероновата формула за површина на триаголник и од изразот добиваме Потоа следата бараните еднаквости. Крај на доказот.

Поврзано[уреди | уреди извор]