Синусна теорема

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Триаголник означен со компонентите на синусната теорема. Големите A, B и C се аглите, а малите a, b, c се нивните спротивни страни. (a спротивна на A, итн.)

Синусна теорема, синусен закон, синусна формула или синусно правилоравенка во тригонометријата која ги поврзува должините на страните на триаголник (кој било облик) со синусите на неговите агли. Според теоремата,

каде a, b и c се должините на страните на триаголникот, а A, B и C се спротивните агли (види ја сликата десно), додека d е пречникот на опишаната кружница околу триаголникот. Кога последниот дел од равенката не се користи, теоремата понекогаш користи реципрочни вредности;

Синусната теорема може да се користи за пресметување на преостанатите страни на триаголник кога се познати два негови агли и една страна – техника позната како триангулација. Исто така може да се користи кога се познати две страни и еден од аглите кој не е меѓу страните. Во некои вакви случаи, триаголникот не е еднозначно определен со овие податоци (наречен случај на двозначно решение) и се добиваат две можни вредности за аголот меѓу дадените страни.

Синусната теорема е една од двете тригонометриски равенки која често се користи за наоѓање на должини и агли во разнострани триаголници, втората е косинусната теорема.

Синусната теорема може да се обопшти на повисоки дименизии на површини со константна закривеност.[1]

Доказ[уреди | уреди извор]

Површината T на триаголник може да се запише како половина од нејзината основа по нејзината висина. Ако се одбере една страна на триаголникот за негова основа, висината на триаголникот за оваа основа се пресметува како должината на друга страна по синус од аголот од избраната страна и основата. Така, во зависност од изборот на основата, површината на триаголникот може да се запише како кој било од:

Множењето на ова со 2abc дава

Случај на двозначно решение на триаголник[уреди | уреди извор]

Кога се користи синусната теорема за наоѓање на страна на триаголник, постои случај на двозначно решение кога два различни триаголници можат да бидат конструирани од дадените податоци (односно, можни се две решенија на триаголникот). Во долуприкажаниот случај тоа се триаголниците ABC и AB′C′.

PictureAmbitext.svg

За дадени општ триаголник, следните услови треба да бидат исполнети за да случајот биде со двозначно решение:

  • единствената позната информација за триаголникот е аголот A и страните a и c.
  • аголот A е остар агол (односно., A < 90°).
  • страната a е пократка од страната c (односно, a < c).
  • страната a е подолга од висината h од агол B, каде h = c sin A (односно, a > h).

Ако сите горенаведени услови се исполнети, тогаш секој од аглите C и C′ дава валиден триаголник, што значи дека се точни:

Оттука, ако се бара, може да се најдат соодветните B и b или B′ и b′, каде b е страната меѓу аглите A и C и b′ ограничен со A и C′.

Без дополнителна информација не е можно да се реши кој триаголник се бара.

Примери[уреди | уреди извор]

Подолу се дадени примери на решавање на проблем со користење на синусната теорема.

Пример 1[уреди | уреди извор]

Дадено: страна a = 20, страна c = 24 и агол C = 40°. Се бара аголот A.

Користејќи ја синусната теорема, може да се закучи дека

Треба да се забележи дека потенцијалното решение A = 147.61° е исклучено бидејќи тоа би дало A + B + C > 180°.

Пример 2[уреди | уреди извор]

Ако должините на две страни a и b на триаголникот се еднакви на x, должината на третата страна е c, а аглите спротивни на страните со должини a, b и c се A, B и C соодветно, тогаш

Врска со опишаната кружница[уреди | уреди извор]

Во идентитетот

Вредноста на трите дропки е пречникот на опишана кружница на триаголник што датира од времето на Птоломеј.[2][3]

Изведување на односот на синусна теорема еднаков на пречникот на опишана кружница. Треба да се забележи дека триаголниког ADB минува низ центарот на опишаната кружница.

Доказ[уреди | уреди извор]

Како што е покажано на сликата, нека во кржница е впишан триаголникот и триаголникот кој поминува низ центарот на кружницата O. има централен агол од следствено . Како е правоаголен триаголник,

каде е полупречник на опишаната кружница околу триаголникот.[3] Аглите и имаат ист централен агол, следствено тие се еднакви: . Затоа,

Со преуредување се добива

Повторувајќи го процесот на создавање на со другите точки, се добива

Врска со површината на триаголникот[уреди | уреди извор]

Површина на триаголник е дадена со , каде е аголот меѓу страните со должини a и b. Заменувањето на синусната теорема во оваа равенка дава

земајќи го за полупречник на опишаната кружница,[4]

Исто така може да се покаже дека равенството имплицира

каде T е површината на триаголникот и s е полупериметарот

Втората еднаквост дадена погоре лесно ја поедноставува Хероновата формула за површина.

Синусната теорема исто така може да се користи за изведување на следната формула за површина на триаголник: Ако со се обележи полузбирот од синусите на аглите, се добива [5]

каде D е пречникот на опишаната кружница: .

Закривеност[уреди | уреди извор]

Синусната теорема добива сличен облик во присуство на закривност.

Сферичен случај[уреди | уреди извор]

Во сферичниот случај, формулата е:

Тука, α, β и γ се аглите во центарот на сферата со трите лаци од сферичниот површински триаголник a, b и c, соодветно. A, B, and C се површинските агли спротивни на соодветните лаци.

Spherical trigonometry vectors.svg

Векторски доказ[уреди | уреди извор]

Нека разгледаме единична сфера со три единични вектора OA, OB и OC извлечени од извориштето до темињата на триаголникот. Така аглите α, β и γ се аглите a, b и c, соодветно. Лакот BC соодветствува на агол со големина a во центарот. Нека воведеме Декартов координатен систем со OA долж z-оската и OB во xz-рамнината што формира агол c со z-оската. Векторот OC се проектира во ON на xy-рамнината и аголот меѓу ON и x-оската е A. Оттаму, трите вектори имаат компоненти:

Тројниот скаларен производ, OA • (OB × OC) е зафатнината на паралопипедот образуван од позициските вектори на темињата на сферичниот триаголник OA, OB и OC. Оваа зафатнина е непроменлива за специфичен координатен систем кој се користи за претставување на OA, OB и OC. Вредноста на тројниот скаларен производ OA • (OB × OC) е детерминанта 3 × 3 со OA, OB и OC како нејзини редови.  Со z-оската долж OA квадратот од оваа детерминанта е

Повторувајќи ја оваа пресметка со z-оската долж OB дава (sin c sin a sin B)2, додека со z-оската долж OC дава (sin a sin b sin C)2. Со изедначување на овие изрази и со делење со (sin a sin b sin c)2 се добива

каде V е зафатнината на паралопипедот формиран од позициски вектор од темињата на сферичен триаголник.

Лесно е да се види како за мали сферични триаголници, кога полупречникот на сферата е многу поголем од страните на триаголникот, оваа формула станува рамнинска формула на границата, бидејќи

и истото за sin β и sin γ.

Sine law spherical small.svg

Геометриски доказ[уреди | уреди извор]

Нека разгледаме единична кружница со:

Нека конструираме точка и точка така што

Нека конструираме точка така што

Оттука може да се види дека и

Треба да се забележи дека е проекција на на рамнината . Значи

Од основна тригонометрија, имаме:

Но

Со нивно комбинирање се добива:

Со примена на слично размислување, се добива сферична синусна теорема:


Други докази[уреди | уреди извор]

Чисто алгебарски доказ може да се изведе од [[сферична косинусна теорема|сферичната косинусна теорема. Од идентитетот и експлицитниот израза за од сферичната косинусна теорема

Бидејќи десната страна е непроменлива при циклична пермутација на веднаш следува сферичната синусна теорема.

Користената слика за горниот геометриски доказ била користена и дадена во математичкиот весник Банерџи [6] (види ја слика 3 во оваа статија) за да се изведе синусната теорема користејќи елементарна линеарна алгебра и проектни матрици.

Хиперболичен случај[уреди | уреди извор]

Во хиперболичната геометрија кога закривеноста е −1, синусната теорема станува

Во специјален случај кога B е прав агол, се добива

што е аналогија на формулата во Евклидовата геометрија која го изразува синусот на агол како спротивната страна поделена со хипотенузата.

види и хиперболичен триаголник.

Унифицирана формулација[уреди | уреди извор]

Се дефинира обопштена синусна функција, која исто така зависи од реален параметар K:

Синусната теорема со константна закривеност K е[1]

Со замена за K = 0, K = 1 и K = −1, се добиваат соодветно Евклидовиот, сферичниот и хиперболичниот случај на синусната теорема опишани погоре.

Нека pK(r) ја означува обиколката на кружница со полупречник r во простор со константна закривеност K. Тогаш pK(r) = 2π sinK r. Следователно синусната теорема може исто така да се изрази како:

Оваа формулација ја открил Јанош Бојаи.[7]

Повисоки димензии[уреди | уреди извор]

За n-димензионален симплекс ( триаголник (n = 2), тетраедар (n = 3), пентатоп (n = 4), итн.) во n-димензионален Евклидов простор, апсолутната вредност на поларниот синус на нормални вектори од површини кои се спојуваат во теме, поделено со хиперповршината на површината спротивна на темето е независна од изборот на темето. Бележејќи V за хиперзафатнитната на n-димензионален симплекс и P за производот на хиперповршините на неговиот (n−1)-димензионални површини, општиот однос е

На пример, тетраедарот има четири триаголни површини. Апсолутната вредност на поларниот синус на нормалните вектори на трите површини што се спојуваат во едно теме, поделени со плоштината на четвртата површина нема да зависи од изборот на темето:

Историја[уреди | уреди извор]

Според Убиратан д'Амброзио and Хелејн Селин, сфирчната синусна теорема била откриена во 10 век. Припишувана им е на повеќемина Абу-Махмуд Хоџанди, Абул ал-Вафа Бузџани, Насир ал-Дин ал-Туси и Аби Наср Мансур.[8]

Книга на непознати лаци во сфера од Ибн Муаз ал-Џајани од 11 век ја содржи општата синусна теорема.[9] Рамнинската синусна теорема била формулирана од Насир ал-Дин ал-Туси во 13 век. Во неговата На секторска слика, тврдел дека синусната теорема за рамнински и сферични триаголници и истата ја докажал.[10]

Според Глен ван Брумелен, "Синусната теорема е навистина Региомонтанусова основа за неговите решенија на правоаголни триаголници во Книга 4 и овие решенија се основа за неговите решенија на општите триаголници."[11] Региомонтанус бил германски математичар од 15 век.

Поврзано[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. 1,0 1,1 „Generalized law of sines“. mathworld. 
  2. Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967
  3. 3,0 3,1 „Law of Sines“. www.pballew.net. конс. 2018-09-18. 
  4. Mr. T's Math Videos (2015-06-10), Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle, конс. 2018-09-18 
  5. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
  6. Banerjee, Sudipto (2004), „Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors“, The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 35: 375–381Text online 
  7. Katok, Svetlana (1992). Fuchsian groups. Chicago: University of Chicago Press. стр. 22. ISBN 0-226-42583-5. 
  8. Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1-4020-0260-2 
  9. Оконор, Џон Џ.; Робертсон, Едмунд Ф., „Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani“, Архив „Историја на математиката“ на MacTutor, Универзитет Сент Ендрус .
  10. Berggren, J. Lennart (2007). „Mathematics in Medieval Islam“. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. стр. 518. ISBN 978-0-691-11485-9. 
  11. Glen Van Brummelen (2009). "The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry". Princeton University Press. p.259. Шаблон:Isbn

Надворешни врски[уреди | уреди извор]