Хиперболични функции

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето

Sinh cosh tanh.svg

Хиперболични функции – во математиката функции аналогни на тригонометриските, или циркуларните функции.

Основни хиперболични функции се:

од кои се изведени:

кои соодветствуваат на изведените тригонометриски функции.

Инверзни хиперболични функции се:

  • аркус хиперболичен синус "arcsinh" (исто така се бележи како "sinh−1", "asinh" или "arsinh")[1][2][3]
  • и така следователно.
Зрак низ единична хипербола x2y2 = 1 во точката (cosh a, sinh a), каде a е двојна од површината меѓу зракот, хиперболата и x-оската. За точки на хиперболата под x-оската, површината се смета негативна (види анимираната верзија со споредба со тригонометриските (циркуларните) функции).

Токму како што точките (cos t, sin t) образуваат круг со единичен радиоу, точките (cosh t, sinh t) ја образуваат десната половина од еднаквостранична хипербола. Хиперболичните функции земаат реален аргумент наречен хиперболичен агол. Големината на хиперболичниот агол е двојна од површината на неговиот хиперболичен сектор. Хиперболичните функции може да се дефинираат врз основа на хиперболичниот триаголник кој го опфаќа овој сектор.

Хиперболични функции постојат во решенијата на многу линеарни диференцијални равенки (на пример, равенката која дефинира верижница), од некои кубни функции, во пресметките на агли и растојанија во хиперболичната геометрија, во Лапласовата равенка во Декартов координатен систем. Лапласовите равенки се битни во многу подрачја на физиката, како електромагнетната теорија, преносот на топлина, динамиката на флуиди и специјалната теорија на релативности.

Во комплексната анализа, хиперболичните функции се јавуваат како имагинарни делови на синус и косинус. Хиперболичниот синус и хиперболичниот косинус се цели функции. Како резултат, другите хиперболични функции се мероморфни во целата комплексна рамнина.

Според Линдеман-Вајерштрасовата теорема, хиперболичните функции имаат трансцендентална вредност за секоја ненулова алгебарска вредност на аргументот.[4]

Хиперболичните функции биле воведени во 1760-тите, независно од Винченцо Рикати и Јохан Хајнрих Ламберт.[5] Рикати ги користел Sc. и Cc. (sinus/cosinus circulare) за обележување на циркуларните функции и Sh. и Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) за обележување на хиперболичните функции. Ламберт ги прифатил имињата, но ги променил кратенките како што се денес.[6] Кратенките sh, ch, th, cth исто така се во оптек, нивното користење повеќе зависи од личните претпочитувања на влијателните математичари отколку од јазикот.

Дефиниции[уреди | уреди извор]

sinh, cosh and tanh
csch, sech and coth

Постојат различни еквиваленти начини за дефинирање на хиперболичните функции.

Дефиниции преку експоненцијална функција[уреди | уреди извор]

sinh x е половина од разликата од ex и ex
cosh x е аритметичка средина од ex и ex

Хиперболичните функции може да бидат изразени преку експоненцијалната функција:

  • Хиперболичен синус: непарниот дел од експоненцијалната функција, кој е
  • Хиперболичен косинус: парниот дел од експоненцијалната функција, кој е
  • Хиперболичен тангенс:
  • Хиперболичен котангенс: for x ≠ 0,
  • Хиперболичен секанс:
  • Хиперболичен косеканс: for x ≠ 0,

Дефиниции преку изводи[уреди | уреди извор]

Хиперболичните функции може да бидат дефинирани како решенија на диференцијални равенки: Хиперболичниот синус и хиперболичниот косинус се единствени решенија (s, c) на системот

како s(0) = 0 and c(0) = 1.

Исто така тие се единствено решение на равенката f ″(x) = f (x), како f (0) = 1, f ′(0) = 0 за хиперболичниот косинус и f (0) = 0, f ′(0) = 1 за хиперболичниот синус.

Тригонометриски дефиниции[уреди | уреди извор]

Хиперболичните функции исто така може да бидат изведени од тригонометриски функции со комплексни аргументи:

  • Хиперболичен синус:
  • Хиперболичен косинус:
  • Хиперболичен косинус:
  • Хиперболичен котангенс:
  • Хиперболичен секанс:
  • Хиперболичен косеканс:

каде i е имагинарна единица со својство дека i2 = −1.

Комплексните облици во дефинициите се изведуваат од Ојлеровата формула.

Својства[уреди | уреди извор]

Хиперболичен косинус[уреди | уреди извор]

Може да се покаже дека површината под кривата на хиперболичниот косинус на конечен интервал секогаш е еднаква на должината на соодветниот лак на тој интервал: [7]

Хиперболичен тангенс[уреди | уреди извор]

Хиперболичниот тангенс е решение на диференцијалната равенка f ′ = 1 − f2 со f (0) = 0 и нелинеарниот проблем на гранична вредност:[8][9]

Корисни врски[уреди | уреди извор]

Парни и непарни функции:

Оттука:

Може да се види дека cosh x и sech x се парни; другите се непарни функции.

Хиперболичните синус и косинус ги задоволуваат:

последниот од нив е сличен на Питагоровиот тригонометриски идентитет.

Исто така

за другите функции.

Збир од аргументи[уреди | уреди извор]

особено

Исто така:

Формули за разлика[уреди | уреди извор]

Исто така:[10]

Формули на половина аргумент[уреди | уреди извор]

каде sgn е функција сигнум.

Ако x ≠ 0, тогаш[11]

Инверзни функции како логаритми[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Инверзни хиперболични функции.

Изводи[уреди | уреди извор]


Втори изводи[уреди | уреди извор]

И sinh и cosh се еднакви на нивните втори изводи:

Сите функции со ова својство се линеарни комбинации од sinh и cosh, особено експоненцијалните функции и , нуловата функција .

Стандардни интеграли[уреди | уреди извор]

Следниве интеграли може да се докажат со користење на хиперболична супституција:

каде C е интеграциона константа.

Изрази со Тејлорови редови[уреди | уреди извор]

Горните функции може да се изразат како Тејлорови редови:

Функцијата sinh x се изразува преку Тејлоров ред само со непарни експоненти на x. Значи таа е непарна функција, па −sinh x = sinh(−x), и sinh 0 = 0.

Функцијата cosh x се изразува преку Тејлоров ред само со парни експоненти на x. Значи таа е парна функција, следствено, симетрична во однос на y-оската. Збирот од редовите на sinh и cosh е бесконечен ред од експоненцијалната функција.

каде:

е n-тиот Бернулиев број
е n-тиот Ојлеров број

Споредба со циркуларните функции[уреди | уреди извор]

Тангентата на кружницата и хиперболата во (1,1) ја изразуваат геометријата на циркуларните функции во однос на површината на кружниот сектор u и хиперболичните функции кои зависат од површината на хиперболичниот сектор u.

Хиперболичните функции претставуваат проширување на тригонометријаата преку циркуларните функции. Обата вида зависат од аргумент, кој е или кружен агол или хиперболичен агол.

Бидејќи површината на кружниот сектор со радиус r и агол u е r2u/2, истата ќе биде еднаква на u кога r = 2. На дијаграмот таквиот круг е тангента на хиперболата xy = 1 во (1,1). Жолтиот сектор претставува површина и големина на агол. Слично, жолтиот и црвениот сектор заедно претставуваат површина и агол на хиперболичниот сектор.

Краците на два правоаголни триаголници со хипотенуза на правата која ги дефинира аглите се со должина 2 пати од циркуларните и хиперболичните функции.

Хиперболичниот агол е неваријантна мерка во однос на контракцијата (хиперболична ротација), токму како што кружниот агол е непроменлив со ротацијата.[12]

Идентитети[уреди | уреди извор]

Хиперболичните функции задоволуваат многу идентитети и сите тие се слични по облик со тригонометриските идентитети. Всушност, Осборновото правило[13] тврди дека секој тригонометриски идентитет може да се конвертира во хиперболичен идентитет со промена на sine во sinh и cosine во cosh, и со менување на знакот на секој член која содржи производ од 2, 6, 10, 14, ... sinhs. На пример, теоремите за собирање ќе бидат

формулите за "двоен аргумент "

и формулите за "половина аргумент "[14]

   Забелешка: Ова е еквивалентно на неговиот циркуларен пандан помножен со −1.
   Забелешка: Ова е еквивалентно на неговиот циркуларен пандан.

Изводот од sinh x е cosh x, а изводот од cosh x е sinh x; ова е слично со тригонометриските функции, иако знакот е различен (извод од cos x е −sin x).

Гудермановата функција дава директна врска меѓу тригонометриските и хиперболичните функции кои не содржат комплексни броеви.

Графиконот на функција a cosh(x/a) е верижница, кривата образувана од униформен флексибилен синџир кој слободно виси помеѓу две фиксни точки под униформа гравитација.

Врска со експоненцијалната функција[уреди | уреди извор]

Разложувањето на експоненцијалната функција на парен и непарен дел ги дава идентитетите

и

Првиот е аналоген со Ојлеровата формула

дополнително,

Хиперболични функции за комплексни броеви[уреди | уреди извор]

Со оглед дека експоненцијалната функција може да биде дефинирана за кој било комплексен аргумент, дефинициите на хиперболичните функции може да се прошири исто така на комплексните аргументи. Функциите sinh z и cosh z тогаш се холоморфни.

Врските со обичните тригонометриски функции се дадени со Ојлеровата формула за комплексни броеви:

па:

Хиперболичните функции се периодични во однос на имагинарната компонента, со период ( за хиперболичен тангенс и котангенс).

Хиперболични функции во комплексната рамнина
Complex Sinh.jpg
Complex Cosh.jpg
Complex Tanh.jpg
Complex Coth.jpg
Complex Sech.jpg
Complex Csch.jpg

Поврзано[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. Woodhouse, N. M. J. (2003), Special Relativity, London: Springer, стр. 71, ISBN 978-1-85233-426-0 
  2. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., уред. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0 
  3. Some examples of using arcsinh found in Google Books.
  4. Niven, Ivan. Irrational Numbers. 11. Mathematical Association of America. doi:10.4169/j.ctt5hh8zn. 
  5. Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.
  6. Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.
  7. N.P., Bali (2005). Golden Integral Calculus. Firewall Media. стр. 472. ISBN 81-7008-169-6. https://books.google.com/books?id=hfi2bn2Ly4cC&pg=PA472. 
  8. Hyperbolic Tangent“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)
  9. „Derivation of tanh solution to 12f″ = f3f. Math StackExchange. конс. 18 March 2016. 
  10. Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (1st corr. издание). New York: Springer-Verlag. стр. 416. ISBN 3-540-90694-0. 
  11. „math.stackexchange.com/q/1565753/88985“. StackExchange (mathematics). конс. 24 January 2016. 
  12. Mellen W. Haskell, "On the introduction of the notion of hyperbolic functions", Bulletin of the American Mathematical Society 1:6:155–9, full text
  13. Osborn, G. (јули 1902 г). Mnemonic for hyperbolic formulae. „The Mathematical Gazette“ том  2 (34): 189. 
  14. Peterson, John Charles (2003). Technical mathematics with calculus (3rd издание). Cengage Learning. стр. 1155. ISBN 0-7668-6189-9. https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC. , Chapter 26, page 1155

Надворешни врски[уреди | уреди извор]

Тригонометриски и хиперболични функции
СинусКосинусТангенсКотангенсСекансКосеканс
Функцијаsin(x)cos(x)tg(x)ctg(x)sec(x)cosec(x)
Инверзнаarcsin(x)arccos(x)arctg(x)arcctg(x)arcsec(x)arccosec(x)
Хиперболичнаsinh(x)cosh(x)tgh(x)ctgh(x)sech(x)cosech(x)
Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)