Сфера

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Перспективна проекција на сфера во две димензии

Сфера (грчки: σφαῖρα — „топка“)[1] — совршено округло геометриско тело. Како и кај кружницата (во две димензии), сферата претставува множество точки, сите подеднакво оддалечени (r) од дадена точка во просторот. Растојанието r е радиус на кружницатта, а дадената точка е нејзиниот центар. Најголемото растојание помеѓу две точки на сферата се нарекува дијаметар. Тој минува низ центарот, и така е еднаков на два радиуса.

Геометријата прави разлика помеѓу сфера (која е впрочем дведимензионална затворена површина вметната во тридимензионален простор) и топка, која е вистинско тридимензионално тело бидејќи го вклучува и внатрешниот простор на сферата.

Основни формули[уреди]

Плоштина на сфера
S = \ 4\pi r^2 = \pi d^2.
Волиумен на сфера (топка)
V = \frac{4}{3}   \pi r^3.
Површина на отсечок на сфера
s = \ 2 \pi r H = 2 \pi r^2 ( 1 - \cos ( \alpha ) ) , каде H е висината на отсечокот, а  \alpha е зенитниот агол

Сферата во тридимензионален простор[уреди]

Равенката

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2,

где (x_0,y_0,z_0) се координатите на центарот на сферата, а R е радиусот.

Параметарска равенка на сфера со центар во точката (x_0,y_0,z_0):

\begin{cases}
x = x_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \cos \phi,\\
y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\\
z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\\
\end{cases}

каде \theta \in [- \pi/2, \pi/2] и \phi \in [0, 2\pi).

Делови на сферата[уреди]

Сферата се дели на две подеднакви „полусфери“ кога низ нејзиниот центар минува рамнина. Доколку низ центарот се сечат две рамнини, тогаш тие ја делат на два двоаголника (а топката на два „сферни клина“). Ако потсечеме една топка, добиваме одвоен дел наречен „калота“ (капа). Ако сферата ја сечат две рамнини, делот меѓу нив ќе биде „појас“, а во случај на топка, ќе биде „слој“.

Воопштување на сферата[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „n-сфера.

Сферата може да се воопшти на било колку димензии. За секој природен број n постои „n-сфера“, (се запишува Sn), која е мнножество од точки во (n + 1)-димензионален простор на подеднакво растојание r од централната точка во просторот, каде r е, како и претходно, позитивен реален број. Поконкретно:

  • 0-сферата е пар од крајни точки на интервал (−r, r) на реалната бројна оска
  • 1-сферата е кружница со радиус r
  • 2-сферата е обична сфера
  • 3-сферата е сфера во четиридимензионален Евиклидов простор.

Сферата каде n > 2 се нарекува и хиперсфера.

Сферна геометрија[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Сферна геометрија.

Основните елементи на планиметријата се точката и линијата. Кај сферата, точките се дефинираат исто, но линиите се поинакви. Ако мериме по лачна должина, накраткиот пат што поврзува две точки што лежат на сферата е дел од голема кружница што ги содржи тие две точки. За сферата важат многу теореми од класичната геометрија, но има многу што не важат (погл. аксиома за паралелноста). Во сферната тригонометрија, аглите се сместени помеѓу големи кружници, па затоа по многу нешта се разликува од обичната тригонометрија. На пример, збирот од внатрешните агли на сферниот триаголник е поголем од 180 степени. Исто така, секои два слични сферни триаголника се складни.

Единаесет својства на сферата[уреди]

Во делото „Геометријата и вообразбата“[2] Давид Хилберт и Стефан Кон-Фосен даваат единаесет својства. Неколку од нив важат и за рамнина, која може да се замисли како сфера со бесконечен радиус. Својствата се следниве:

  1. Точките не сферата се подеднакво оддалечени од дадената точка. Воедно, соодносот на оддалеченоста на точките од две дадени точки е непроменлив.
  2. Контурите и рамнинските пресеци на сферата се кружници.
  3. Сферата има постојана широчина и обем.
  4. Сите точки на сферата се точки на заокруженост.
  5. Сферата нема жаришни површини.
  6. Сите геодетски линии на сферата се затворени криви.
  7. Од сите тела при даден волумен, сферата има најмала плоштина; од сите тела при дадена плоштина, сферата има најголем волумен.
  8. Сферата има најмала вкупна средна закривеност од сите конвексни тела при дадена плоштина.
  9. Сферата има постојана средна закривеност.
  10. Сферата има постојана позитивна Гаусова закривеност.
  11. Сферата се трансформира сама во себе со трипараметарски несвитливи движења.

Поврзано[уреди]

Наводи[уреди]

  1. „сфера“ - Лексикон на македонскиот јазик, он.нет
  2. Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). „Geometry and the Imagination“ (II издание). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9. 
  • William Dunham. стр. 28, 226, The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities, ISBN 0-471-17661-3.

Надворешни врски[уреди]