Хиперсфера

Од Википедија — слободната енциклопедија
(Пренасочено од N-сфера)
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Хиперсфера во Евклидов простор со димензија 3, е сфера во вообичаена смисла.

Хиперсфера или n-сфера – во геометријата генерализација на сфера во Евклидов простор од која било димензија. Еден од наједноставните примери е сфера од n-та димензија или n-сфера, поточно хиперплоштина на Евклидов простор , со општа ознака .


Дефиниција[уреди | уреди извор]

Нека E е Евклидов простор со димензија n + 1, A точка во E, и R реален број стриктно позитивен. Множеството точки M чие растојание до A е R се нарекува хиперсфера со центар A и полупречник R.

Со дадени афини репери, можно е со транслација, со што воопшто не се менуваат геометриските својства, хиперсферата да се центрира во почетокот, чија равенка ќе биде:

.

На пример :

  • за n = 0, хиперсферата се состои од две точки на апсцисата R и –R ;
  • за n = 1, хиперсферата е круг ;
  • за n = 2, хиперсферата е сфера во вообичаена смисла.

Својства[уреди | уреди извор]

Зафатнина[уреди | уреди извор]

За зафатнина на просторот определен со хиперсфера со димензија n – 1 и полупречник R, што е Евклидова топка од n-та димензија, важи :

,

каде е гама-функција. Конкретно :

n парни n непарни

Во следната табела се дадени вредностите за зафатнина на првите 8 топки со димензија n и полупречник 1:

n Зафатнина
точна приближна
1
2
3
4
5
6
7
8

Зафатнината на една таква топка е максимална за n = 5. За n > 5, зафатнината опаѓа кога n расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула:

.

Хиперкоцка опишана околу единична хиперсфера има рабови со должина 2 и зафатнина 2n. Односот меѓу зафатнините на топка и впишана хиперкоцка е опѓачка во функција од n.

Плоштина[уреди | уреди извор]

Плоштината на хиперсфера со димензија n-1 и полупречник R може да се определи вадејќи извод во однос на полупречникот R од зафатнината Vn :

.
.
n парен n непарен

Значи плоштината на единичната n-сфера е:

Следната табела ги дава вредностите за плоштина на првите 7 n-сфери со полупречник 1:

n Плоштина на
точна приближна
1
2
3
4
5
6
7

Плоштината на единична n-сфера е максимална за n = 6. За n > 6, плоштината опаѓа кога n расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула :

.

Поврзано[уреди | уреди извор]