Димензија

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето

Во физиката и математиката, димензијата на математички простор (или објект) е дефиниран како неформално минималниот број на координати кои се потребни за да се определи која било точка во него. Така линијата има димензија еден (е еднодимензионална), бидејќи е потребна само една координата за да се одреди точка - на пример, точката 5 на бројната оска. Површина, како рамнина или површината на цилиндар или сфера има димензија два, бидејќи се потребни две координати за да се одреди точка на неа - на пример, потребни се и географската ширина и географска должина за да се лоцира точка на површината на некоја сфера. Внатрешноста на коцка, цилиндар или сфера е тридимензионална бидејќи потребни се три координати за да се лоцира точка во рамките на овие простори.

Во класичната механика, просторот и времето се различни категории и се однесуваат на апсолутниот простор и време. Тоа сфаќање на светот е четиридимензионален простор, но не е најден таков што би го опишал електромагнетизмот. Четирите димензии на време-просторот се состојат од настани кои не се апсолутно дефинирани просторно и временски, туку се познати во однос на движењето на набљудувачот. Минковскиевиот простор прв го апроксимира универзумот без гравитација;Псевдоримановата многуликост на општата релативност го опишува време-просторот со материјата и гравитацијата. Десет димензии се користат за опишување на теоријата на струните, а просторот на квантната механика е бесконечнодимензионален функционален простор.

Концептот на димензија не е ограничен на физички објекти. Високодимензионални простори често се јавуваат во областа на математиката и науката. Тие може да бидат параметарски простори или конфигурациони простори како на пример во Лагранжова или Хамилтонова механика; овие се апстрактни простори, независно од физичкиот простор во кој живееме.

Во математиката[уреди | уреди извор]

Во математиката, димензијата на објектот е автентично својство независно од просторот во кој е вграден објектот. На пример, една точка на единичната кружница во рамнината може да биде одредена од страна на две Декартови координати, но една поларна координата (агол) ќе биде доволна, така кругот е 1-димензионален и покрај тоа што постои во 2-димензионална рамнина. Овој интринсичен поим за димензија е еден од главните начини на кој математичкиот поим за димензија се разликува од вообичаеното користење на истиот.

Димензијата на Евклидовиот n-простор En е n. При обидот да се генерализираат други видови на простори, се поставува прашањето „што го прави En n-димензионален?“ Еден одговор е дека за да се покрие фиксната топка во En со мали топчиња со радиус ε, потребно е да се земат ε-n мали топчиња. Оваа опсервација води кон дефинирање на Минковскиева димензија и таа е пософистицирана верзија од димензијата Хаусдорф, но исто така има и други одговори на тоа прашање. На пример, границата на топката во En изгледа како Еn-1 и тоа доведува до идејата за индуктивна димензија. Додека овие поими одговараат за Еn, но изгледаат поинаку кога се гледа во поопшти простори.

Тесерактот е пример на четиридимензионален објект. Со оглед на тоа надвор од математиката употребата на терминот „димензија“ е како во: „Тесерактот има четири димензии“, математичарите обично го изразуваат ова како: „Тесерактот има димензија 4“, или: „Димензијата на тесерактот е 4“.

Иако идејата за повисоки димензии се сретнува уште кај Рене Декарт, значителен развој на високодимензионалната геометрија започнала дури во 19 век, со трудовите на Артур Кајлиј, Вилијам Роуан Хамилтон, Лудвиг Шафли и Бернхард Риман. Римановиот хабилитационен труд од 1854 година и Шафлиевата теорија Тheorie der vielfachen Kontinuität од 1852 година, Хамилтоновото откривање на кватернкион од 1843 година, и конструкцијата на Кајлиевата алгебра го означи почетокот на високодимензионалната геометрија.

Остатокот од овој дел ги разгледува некои од поважните математички дефиниции за димензии.

Комплексна димензија[уреди | уреди извор]

Комплекс на димензии се појавуваат во студија на комплексниот вод и алгебарските сорти. Комплексен број (x + iy) има вистински дел x и y имагинарен дел, каде што x и y се реални броеви. Еден комплексен координатен систем може да се примени на објект кој има две реални димензии. На пример, обичен дво-димензионална сферна површина, кога се дава комплекс метрички, станува Римановата сфера на едена комплексна димензија.

Векторски простори[уреди | уреди извор]

Димензија на векторски простор е бројот на вектори во која било основа за просторот, односно бројот на координати потребно да се наведе секој вектор. Овој поим на димензија (кардиналноста на основа) често се нарекува како димензија Хамел или алгебарска димензија за да се разликува од другите поими на димензија.

Вод[уреди | уреди извор]

Уникатно дефинирана димензија на секој поврзан тополошки вод може да се пресмета. Поврзаниот тополошки колектор е локално хомеофорички до Евклидовиот n-простор, во кои бројот n е димензија на колекторот.

За поврзани диференцијабилите водот, димензијата е, исто така, димензијата на тангентата на вектор- простор во кој било момент.

Во геометриската топологија, теоријата на водот се карактеризира со начинот на димензии 1 и 2 кои се релативно основни, на случаи на високодимензионални кога n> 4 се поедноставени по тоа што имаат екстра простор во кој можат да „работат“; и случаите кога n = 3 и 4 се во некои случаи најтешки. Оваа состојба на работите беше високо означена во различни случаи на претпоставката на Поенкаре, каде што се применуваат четири различни методи.

Видови[уреди | уреди извор]

Димензијата на алгебарскиот вид може да се дефинира на различни начини. На повеќето, интуитивниот начин е веројатно димензија на просторот на тангентата на секоја редовна точка на алгебарскиот вид. Друг интуитивен начин е да се дефинира димензија како и бројот на хиперрамнини кои се потребни со цел да се има вкрстување со вид кој е сведен на ограничен број на поени (димензија нула). Оваа дефиниција се базира на фактот дека на раскрсницата од различни хиперрамнини ја намалува димензијата по еден, освен ако хиперрамнина содржи алгебарски вид.

Алгебарски збир претставува ограничен сојуз на алгебарски видови, чија димензија е максимум од димензиите на неговите компоненти. Таа е еднаква на максималната должина од синџирите V 0 ⊊ V 1 ⊊ ... ⊊ V d на подвидови на дадениот алгебарски сет (должината на тој ланец е бројот на "⊊ ).

Секоја варијанта може да се смета како алгебарски збир, а неговите димензии како различни се согласуваат со неговата димензија како основа. Постојат меѓутоа многу купишта кои не одговараат на видовите, а некои од нив имаат негативна димензија. Поточно, ако V е различни димензија m и G е алгебарски група на димензија, n делува на V, а потоа количникот [V / G] има димензија m-N.

Крулова димензија[уреди | уреди извор]

Крулова димензија на комутативен прстен е максимална должина на синџири на главните видови во него, еден синџир на должина n е секвенца од P 0 ⊊ P 1 ⊊ ... ⊊ P n кои се главните видови поврзани со вклучувањете. Тоа е силно поврзано со димензијата на алгебарски видови, бидејќи на природната коресподенција помеѓу подвидови и главниот вид на прстенот на полиноми од сортата.

За алгебра во просторот, димензијата како векторски простор е ограничен, ако и само ако неговата Крул димензија е 0.

Лебескјуова покривна димензија[уреди | уреди извор]

За секој нормален тополошки простор Х, Лебескју покривната димензија го дефинира X да биде n ако n е најмалиот број за кои наредното држи: секој отворен капак има отворен втор капак (втор отвор каде секој елемент е подмножество на елемент во првиот капак) така што не се повеќе точки вклучени во повеќе од n + 1 елементи. Во овој случај X = n. За X вод, ова се совпаѓа со димензија споменатa погоре. Ако не постои такoв цел број n, тогаш димензијата X се вели дека е бесконечна, и X = ∞. Покрај тоа, X има димензија -1, односно X = -1, ако и само ако X е празно. Оваа дефиниција опфаќа димензија која може да се прошири од класата на нормалните места за сите Тикноф места само со замена на терминот „отворен“ во дефиницијата на поимот функционално отворен.

Индуктивната дефиниција на димензија може да се создаде како што следува. Вклучете дискретен збир на поени (како конечен збир на поени) да биде 0-димензионална. Со влечење на 0-димензионален објект во некоја насока, се добива 1-димензионален објект. Со влечење на 1-димензионален објект во нова насока, се добива 2-димензионален објект. Генерално се добива еден (n + 1) димензионални објектот со влечење n-димензионален објект во нова насока.

Индуктивна димензија на тополошки простор може да се однесува на мали индуктивни димензиии или голема индуктивна димензија, и се базира на аналогија која

(n + 1)-димензионални топки имаат n-димензионални граници, што му овозможува индуктивна дефиниција врз основа на димензијата на границите на отворени сетови.

Хаусдорфова димензија[уреди | уреди извор]

Димензијата Хаусдорф е корисна за проучување структурно сложени сетови, особено фрактали. Димензијата Хаусдорф се дефинира за сите метрички простори и за разлика од димензии, разгледани погоре, исто така, може да имаат право на не цели вистински вредности. Димензијата кутија или Минковскиевата димензија е варијанта на истата идеја. Во принцип, постојат повеќе дефиниции на фрактална димензија, кои работат за нередовно поставување и постигнување на не цели позитивни реални вредности. Фракталите ќе се најдат корисени за да се опише многу природни објекти и појави.

Хилбертов простор[уреди | уреди извор]

Секој Хилбертов простор претставува ортонормална основа, и било кои два такви основи за одреден простор имаат иста кардиналност. Ова се нарекува кардиналност на димензијата на просторот Хилберт. Оваа димензија е конечна ако и само ако Хамел димензијата на просторот е ограничена, и во овој случај двете димензии се совпаѓаат.