Квадратна равенка

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Во математиката, полиномната равенка од втор степен се вика квадратна равенка. Општиот облик на равенката е:

ax^2+bx+c=0

Во равенката a, b и c се коефициенти, при што a ≠ 0, додека самата равенка е равенка по променлива x. Името е дадено според степенот на водечкиот коефициент.

Квадратните равенки често се јавуваат во математиката, но и во другите природни и технички науки.

Решавање на квадратната равенка[уреди]

Решението на квадратната равенка е целосно определено со изразот:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

што значи дека квадратната равенка има две решенија. Решението се добива на следниов начин:

Дадена ни е равенката:

ax^2+bx+c=0

Ја делиме равенката со a. Ова е дозволено бидејќи по услов a ≠ 0 и добиваме:

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

Согласно формулата за бином на квадрат:

(A+B)^2=A^2+2AB+B^2

на левата страна на равенката додаваме и одземаме \frac{b^2}{4a^2}:

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}=0


\left( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2} \right) +\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0


\left( x^2+\frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4a^2}=0

од каде се добива:

\left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}

Ја коренуваме равенката и конечно се добива:

x+\frac{b}{2a} = \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}


x = \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Дискриминанта и зависност на решенијата од дискриминантата[уреди]

Во решението на квадратната равенка фигурира изразот:

D=b^2-4ac

кој се нарекува дискриминанта на квадратната равенка. Според нејзиниот знак може да се одреди природата на решенијата на равенката. Имено:

  • ако D>0, равенката има две реални и различни решенија,
  • ако D<0, равенката има комплексно-конјугирани решенија, и
  • ако D=0, равенката има двојно реално решение, т.е. има две идентични решенија.

Факторизација на квадратната равенка[уреди]

Ако е зададена квадратната равенка:

ax^2+bx+c=0

која има решенија условно означени со x1 и x2, тогаш равенката може да ја запишеме како:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Ваквото презапишување на равенката се вика факторизација на квадратната равенка или разложување на квадратната равенка на линеарни множители. Овој процес е често пати корисен при решавање на конкретни задачи и проблеми.

Виетови формули[уреди]

За решенијата на квадратната равенка важат следниве равенства:

x_1+x_2 = -\frac{b}{a}
x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}

кои се нарекуваат виетови формули за квадратна равенка (т.е. полином од втор степен) и претставуваат специјален случај на општата Виетова теорема.

Равенки кои се сведуваат на квадратни[уреди]

Равенките од облик:

ax^{2n}+bx^n+c=0

може да се сведат на квадратни, ако се стави смената:

y=x^n

цо која првичната равенка се сведува на равенка од облик:

ay^2+by+c=0

која се решава според погорните формули. Решенијата на почетната равенката се добиваат кога ќе се пресмета n-ти корен од обете решенија на трансформираната равенка. На овој начин се добиваат 2n решенија, онолку колку што и треба да има. Специјално, за n=2, равенката е од облик:

ax^4+bx^2+c=0

и таа се нарекува биквадратна равенка, која јасно има четири решенија.

Примери[уреди]

  • Да се реши равенката: 2x^2+4x-6=0

Според формулата имаме:

x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2} = \frac{-4\pm \sqrt{64}}{4}=\frac{-4\pm 8}{4}
x_1=\frac{-4+8}{4}=\frac{4}{4}=1
x_2=\frac{-4-8}{4}=\frac{-12}{4}=-3

Значи решенија на равенката се: x1=1 и x2=-3


  • Да се реши равенката: x^2-6x+13=0

Имаме:

x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{16\cdot \mathrm{i}^2}}{2}=\frac{6\pm 4\mathrm{i}}{2}=3\pm 2\mathrm{i}
x_1 = 3 + 2\mathrm{i}
x_2 = 3 - 2\mathrm{i}

Добиените решенија се комплексно конјугирани.


  • Да се реши равенката: x^4-24x^2-25=0

Оваа равенка е биквадратна. Ставаме замена:

y=x^2

и равенката се сведува на квадратна равенка од облик:

y^2-24y-25=0

За решенијата на оваа равенка имаме:

y_{1,2}=\frac{24\pm \sqrt{576+100}}{2}=\frac{24\pm 26}{2}
y_1 = \frac{24+26}{2}=25
y_2 = \frac{24-26}{2}=-1

Ова се решенијата на квадратната равенка (т.е. на трансформацијата на биквадратната равенка). Но, бидејќи:

y=x^2,

тогаш:

x=\sqrt{y}

Така се добиваат четири решенија, и тоа:

x_{1,2} = \sqrt{y_1}
x_{3,4} = \sqrt{y_2}

Конечно, решенијата на биквадратната равенка се:

x_1=+\sqrt{y_1} = \sqrt{25} = 5
x_2=-\sqrt{y_1} = -\sqrt{25} = -5
x_3=+\sqrt{y_2} = \sqrt{-1} = \mathrm{i}
x_4=-\sqrt{y_2} = -\sqrt{-1} = -\mathrm{i}

Поврзано[уреди]