Квадратна равенка

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Во математиката, полиномната равенка од втор степен се вика квадратна равенка. Општиот облик на равенката е:

Во равенката a, b и c се коефициенти, при што a ≠ 0, додека самата равенка е равенка по променлива x. Името е дадено според степенот на водечкиот коефициент.

Квадратните равенки често се јавуваат во математиката, но и во другите природни и технички науки.

Решавање на квадратната равенка[уреди | уреди извор]

Решението на квадратната равенка е целосно определено со изразот:

што значи дека квадратната равенка има две решенија. Решението се добива на следниов начин:

Дадена ни е равенката:

Ја делиме равенката со a. Ова е дозволено бидејќи по услов a ≠ 0 и добиваме:

Не можев да расчленам (MathML со SVG или PNG за резерва (препорачано за современи прелистувачи и олеснителни алатки): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}

Согласно формулата за бином на квадрат:

на левата страна на равенката додаваме и одземаме Не можев да расчленам (MathML со SVG или PNG за резерва (препорачано за современи прелистувачи и олеснителни алатки): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}} :



од каде се добива:

Ја коренуваме равенката и конечно се добива:

Не можев да расчленам (MathML со SVG или PNG за резерва (препорачано за современи прелистувачи и олеснителни алатки): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle x+\frac{b}{2a} = \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}


Не можев да расчленам (MathML со SVG или PNG за резерва (препорачано за современи прелистувачи и олеснителни алатки): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle x = \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}

Дискриминанта и зависност на решенијата од дискриминантата[уреди | уреди извор]

Во решението на квадратната равенка фигурира изразот:

кој се нарекува дискриминанта на квадратната равенка. Според нејзиниот знак може да се одреди природата на решенијата на равенката. Имено:

  • ако D>0, равенката има две реални и различни решенија,
  • ако D<0, равенката има комплексно-конјугирани решенија, и
  • ако D=0, равенката има двојно реално решение, т.е. има две идентични решенија.

Факторизација на квадратната равенка[уреди | уреди извор]

Ако е зададена квадратната равенка:

која има решенија условно означени со x1 и x2, тогаш равенката може да ја запишеме како:

Ваквото презапишување на равенката се вика факторизација на квадратната равенка или разложување на квадратната равенка на линеарни множители. Овој процес е често пати корисен при решавање на конкретни задачи и проблеми.

Виетови формули[уреди | уреди извор]

За решенијата на квадратната равенка важат следниве равенства:

кои се нарекуваат виетови формули за квадратна равенка (т.е. полином од втор степен) и претставуваат специјален случај на општата Виетова теорема.

Равенки кои се сведуваат на квадратни[уреди | уреди извор]

Равенките од облик:

Не можев да расчленам (MathML со SVG или PNG за резерва (препорачано за современи прелистувачи и олеснителни алатки): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle ax^{2n}+bx^n+c=0}

може да се сведат на квадратни, ако се стави смената:

цо која првичната равенка се сведува на равенка од облик:

која се решава според погорните формули. Решенијата на почетната равенката се добиваат кога ќе се пресмета n-ти корен од обете решенија на трансформираната равенка. На овој начин се добиваат 2n решенија, онолку колку што и треба да има. Специјално, за n=2, равенката е од облик:

и таа се нарекува биквадратна равенка, која јасно има четири решенија.

Примери[уреди | уреди извор]

  • Да се реши равенката:

Според формулата имаме:

Не можев да расчленам (MathML со SVG или PNG за резерва (препорачано за современи прелистувачи и олеснителни алатки): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2} = \frac{-4\pm \sqrt{64}}{4}=\frac{-4\pm 8}{4}}

Значи решенија на равенката се: x1=1 и x2=-3


  • Да се реши равенката: Не можев да расчленам (MathML со SVG или PNG за резерва (препорачано за современи прелистувачи и олеснителни алатки): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle x^2-6x+13=0}

Имаме:

Не можев да расчленам (MathML со SVG или PNG за резерва (препорачано за современи прелистувачи и олеснителни алатки): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle x_2 = 3 - 2\mathrm{i}}

Добиените решенија се комплексно конјугирани.


  • Да се реши равенката:

Оваа равенка е биквадратна. Ставаме замена:

и равенката се сведува на квадратна равенка од облик:

Не можев да расчленам (MathML со SVG или PNG за резерва (препорачано за современи прелистувачи и олеснителни алатки): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle y^2-24y-25=0}

За решенијата на оваа равенка имаме:

Не можев да расчленам (MathML со SVG или PNG за резерва (препорачано за современи прелистувачи и олеснителни алатки): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle y_1 = \frac{24+26}{2}=25}
Не можев да расчленам (Грешка во претворањето. Опслужувачот („https://mk.wikipedia.org/api/rest_“) го пријави следново: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y_{2}={\frac {24-26}{2}}=-1}

Ова се решенијата на квадратната равенка (т.е. на трансформацијата на биквадратната равенка). Но, бидејќи:

тогаш:

Така се добиваат четири решенија, и тоа:

Не можев да расчленам (MathML со SVG или PNG за резерва (препорачано за современи прелистувачи и олеснителни алатки): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle x_{1,2} = \sqrt{y_1}}

Конечно, решенијата на биквадратната равенка се:

Не можев да расчленам (Грешка во претворањето. Опслужувачот („https://mk.wikipedia.org/api/rest_“) го пријави следново: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {y_{2}}}=-{\sqrt {-1}}=-\mathrm {i} }

Поврзано[уреди | уреди извор]