Равенка

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Првата употреба на знакот за равенство. Запишана на современ начин, равенката би гласела: 14x+15=71

Равенка е математички израз со една или повеќе променливи величини наречени непознати[1] Равенката изгледа како равенство, но има многу поинаква смисла и значење: Равенството е исказ што вели дека левата и десната страна на знакот за равенство (=) се истоветни или претставуваат ист математички објект. Пример за равенство би бил 2 + 2 = 4. Равенката пак, не е исказ, туку проблем кој бара наоѓање на вредностите, т.е. решение. Кога непознатите ќе се решат (заменат со точните вредности), равенката стаува равенство. На пример, 2 е решението на равенката x + 2 = 4, каде непозната е x.

Равенка може да значи и заемен однос на некои променливи што се изразува со равенствата на вредностите на нивните изрази. На пример, равенката на единичната кружница гласи x2 + y2 = 1, што значи дека точката ѝ припаѓа на кружницата ако и само ако нејзините координати се во однос во оваа равенка. Со вакви равенки се претставуваат законите на физиката. Меѓу најпрепознатливите е Ајнштајновата равенка за еднаквост на масата и енергијатаE=mc2“.

Изумител на симболот „=“ е велшкиот математичар Роберт Рекорд, кој го претставил во делото „Острило за умот“ (1557).[2] Рекорд сметал дека ништо не може да биде поеднакво од две напоредни отсечки со иста должина.

Параметри и непознати[уреди]

Илустрација на графичкиот метод на решавање на равенката  x = f(x)

Равенката содржи и други променливи освен непознатите. Овие можат да се наречат „познати“, „постојани“ (константи), „коефициенти“ или „параметри“. Непознатите се означуваат со последните букви од латиницата како x, y, z, w, …, додека пак коефициентите се бележат со букви од почетокот како a, b, c, d и тн. На пример, општата квадратна равенка обично се запишува како ax2 + bx + c = 0. Наоѓањето на решението, или во случај на параметри, изразување на непознатите со параметри се нарекува решавање на равенката.

Систем на равенки е склоп од истовремени равенки (обично со неколку непознати) за кои се бара заедничко решение. Така, решение на системот е склоп на вредности (по една за секоја непозната), кој е решение за секоја равенка од системот. На пример, системот

\begin{align}
3x+5y&=2\\
5x+8y&=3
\end{align}

го има единственото решение x = -1, y = 1.

Видови на равенки[уреди]

Равенките се делат според видовите на операции и величини. Поважни видови на равенки се:

Идентитети[уреди]

Идентитет е исказ сличен на равенка што е точен (вистинит) за сите можни вредности на променливите што ги содржи. Познати се многу идентитети, особено во тригонометријата. Веројатно најпознат пример е: \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1,, кој е точен за сите вредности на θ.

При решавање на некоја равенка, таа може да се здружи со идентитет за да се добие равенка која е полесна за решавање. На пример, за да ја решимне равенката:

3\sin(\theta) \cos(\theta)= 1, каде се знае дека θ изнесува помеѓу 0 и 45 степени,

го применуваме идентитетот: \sin(2 \theta)=2\sin(\theta) \cos(\theta), со што равенката станува:

\frac{3}{2}\sin(2 \theta) = 1

Оттука:

\theta = \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right), што дава околу 20,9 степени.

Својства[уреди]

Две равенки или два система се „еквивалентни“ ако имаат ист збир решенија. Претворањето на една равенка (или систем) во еквивалента се врши со следниве операции:

  • собирање или одземање на истата величина на двете страни од равенката. Од ова се гледа дека секоја равенка е еквивалентна на равенка чијашто десна страна е нула.
  • множење или делење на двете страни на равенката со ненуларна постојана.
  • примена на идентитет за претворање на една страна од равенката. На пр. со разложување на производ или со факторирање на износ.
  • кај системите: на двете страни им се придодаваат соодвените страни од друга равенка, помножено со истата величина.

Поврзано[уреди]

Наводи[уреди]

  1. „равенка“ - Дигитален речник на македонскиот јазик
  2. Robert Recorde, The Whetstone of Witte, London 1557, стр. 238

Надворешни врски[уреди]

Македонски[уреди]

Странски[уреди]

  • EqWorld — Решенија и постапки за многу разни видови на равенки (англиски) (руски) (германски) (француски) (италијански) (шпански)
  • „Равенка“ (уравнение) — Математичка енциклопедија, И.М. Виноградов (1977-1985) (руски)