Нормалност (математика)

Од Википедија — слободната енциклопедија
(Пренасочено од Нормални прави)
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето

Во геометријата, две прави во рамнина се (меѓусебно) нормални ако се сечат под прав агол, т.е. под агол со 90°.[1] Оваа дефиниција има два дела: (а) нормални прави се сечат и (б) четирите агли кои се формираат со пресекот се по 90°.

  • Две отсечки во рамнина се нормални ако правите на кои лежат отсечките се нормални. На истиот начин се дефинира нормалност на сите комбинации на права, полуправа и отсечка.[2]
  • При цртање, за да се означи дека две прави се нормални се црта симбол за прав агол кај пресекот на двете прави. Во РМ се користи мал лак со точка, а друго означување е со мало квадратче.[3].
Normalni pravi1.svg Normalni pravi 4.svg Normalni otsecki1.svg Normalni otsecki2.svg Normalni pravi oznaki.svg
Нормални прави. Нормални прави
формираат 4 прави агли.
Нормални отсечки. Означување на прав агол (нормалност).

Означување[уреди | уреди извор]

Симбол за нормалност е   . На пример, значи дека правите AB и CD се нормални. Симболот се совпаѓа со Буловиот симбол за невистинит, но контекстот е сосема различен така што не се мешаат.

  • Нормалност како паралелност е симетрична особина, односно    е еквивалентно со   , па затоа едноставно велиме дека AB и CD се нормални.
  • За разлика од паралелност, нормалност не е транзитивна особина. На против, ако    и    тогаш    .

Во уникод, симболот за нормалност на вашиот тековен прелистувач се прикажува со и е уникод бројот 8869. Соодветните хексадецимален број се 22а5. На веб страна, т.е. во ХТМЛ се внесува ⊥ или &#x22а5;.[4] За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x.[5] Во уникод има и симболи ⊾ () и ∟ ().

Во LaTeX, симболот     за нормалност се добиваат со командата \perp која е дел од пакетот wasysym.

Во Геогебра, симбол при цртање на прав агол се менува во Опции -> Напредно -> Ознака за прав агол, па се избере точка.

Нормални прави и наклон[уреди | уреди извор]

Во алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик y=ax+b, тогаш коефициентот a на x е наклонот на правата.

Основна поставка: Две прави се нормални ако и само ако производот на нивните наклони е -1. [6]

Пример: Правите y= -3x+2 и y =x/3+2 се нормални бидејќи наклонот на првата права е a1= -3, а наклонот на втората права е a2=1/3 така што a1·a2= -3·1/3 = -1.

Пример: Правите 2x-y+3=0 и x-2y-1=0 не се нормални бидејќи производот на нивните наклони е 2·1/2=1 (а не -1).

  • Две прави се нормални само ако едната има позитивен наклон, а другата има негативен наклон.
  • Ако правата m е нормална на правата n, a правата n е нормална на правата p, тогаш правите m и p или се паралелни или се совпаѓаат (т.е. наклоните им се исти).
Доказ: Нека наклон на m e a. Од нормалноста на m и n, наклонот на n е -1/a. Од нормалноста на n и p, наклонот на p е
.

Нормала на права низ точка во рамнина[уреди | уреди извор]

Normala.gif
Конструкција на нормала на права низ точка која не лежи на правата со Геогебра. Види и навода![7]

Конструкција со шестар и линијар[уреди | уреди извор]

Една од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права нормална со дадена права m која минува низ дадена точка C која лежи/не лежи на m.[8]

  1. Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата (види наводи за точка на права).
  2. Означи ја точката со буквата С.
  3. Доколку нема, означи две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
  4. Со шестар нацртај една кружница со радиус АС и центар А.
  5. Со шестар нацртај друга кружница со радиус ВС и центар В.
  6. Означи ја другата пресечна точка D на двете кружници (едната пресечна точка е С).
  7. Нацртај ја правата CD која минува низ двете пресечни точки.

Правата CD врви низ С и е нормална на правата АВ.

Алгебарска равенка[уреди | уреди извор]

Нека е дадена точка C со координати С=(p,q) и права

Равенката на права која минува низ С(p,q) и е нормална на дадената права е

Доказ: Наклонот на дадената права е a. Според основната поставка, наклонот на (која било) нормала е -1/a. Значи бараната нормала го има тој наклон, а минува низ точката (p,q). (Види и Формули за равенка на права.)

Пример: Равенката на нормалата на правата y=3x+2 која минува низ точката (-1,-1) е: y=-x/3-4/3.

Нормала и растојание[уреди | уреди извор]

Нормали се користат за пресметување на растојание помеѓу геометриски објекти.

Растојание помеѓу точка и права во рамнина[уреди | уреди извор]

За да се пресмета растојание помеѓу точка C=(p,q) и права m, најпрво треба да се најде равенката на правата n која е нормална на правата m, а минува низ точката C. Потоа треба да се најдат координатите на прeсечната точка D на правите n и m. Тогаш растојанието помеѓу С и m е растојанието помеѓу точките С и D.

Пример: Нека точката C=(-4,2), a правата m нека е дадена експлицитно y=x/2-1. Тогаш наклонот на правата m e ½, така што наклонот на нормалата n е

со што равенката на n e

Пресекот на правите m и n е решение на систем линеарни равенки

Решението е D(-2,-2). Растојанието помеѓу точките С и D е

Следува дека растојанието помеѓу точката С и правата m е ≈4,47

Растојание помеѓу две паралелни прави во рамнина[уреди | уреди извор]

Види паралелни прави

Растојание во 3Д простор[уреди | уреди извор]

Види аналитичка геометрија

Нормали на крива[уреди | уреди извор]

Во математичката дисциплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод. Да претпоставиме дека y=f(x) е реална функција од една реална променлива и е диференцијабилна во точката xo и дека вредноста на функцијата во таа точка е yo=f(xo), а вредноста на изводот во таа точка е y'o=y'(xo).

Тогаш равенката на тангентата на функцијата во таа точка е

а равенката на нормалата на функцијата во таа точка е[9]

Нормалност и вектори[уреди | уреди извор]

Основна поставка: Во аналитичка геометрија, два радиус-вектори се нормални ако и само ако нивниот скаларен производ е 0. (Види и аналитичка геометрија.)

Нормалност во 3Д простор[уреди | уреди извор]

  • Во 3-димензионален простор, права и рамнина се нормални ако правата и рамнината се сечат во една точка А и правата е нормална со секоја права од рамнината која минува низ А.

Права зададена во параметарски (векторски, вектор-параметарски) облик е

 ,  

Рамнина зададена во општ облик е

Поставка: Правата и рамнината се нормални ако радиус-векторите <a,b,c> и <A,B,C> се колинеарни (линеарно зависни), односно ако

Формула: Равенка на рамнина која е нормална со радиус-векторот <a,b,c>, а врви низ точката C(xo,yo,zo) e

Нека се дадени две рамнини во општ облик, односно

Поставка: Рамнините се нормални ако радиус-векторите <A,B,C> и <A1,B1,C1> се нормални, односно ако нивниот скаларен производ е 0.

Обопштување[уреди | уреди извор]

Нормалност како поим во елементарна геометрија се обопштува во поимот ортогоналност во класична математика.

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. Math Open Reference (2009). „Perpendicular lines“ (на англиски). http://www.mathopenref.com/pеrpendicular.html. посет. септември 2013 г.  интерактивен }
  2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Perpendicular“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 599. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. посет. мај 2014 г. 
  3. Pierce, R. (2012). „Symbols in Geometry“ (на англиски). Math is Fun. http://www.mathsisfun.com/geometry/symbols.html. посет. септември 2013 г. 
  4. „Unicode Entity Codes for Math“ (на англиски). 2013. http://symbolcodes.tlt.psu.edu/bylanguage/mathchart.html. посет. септември 2013 г. 
  5. „Unicode Input“ (на англиски). Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Unicode_input. посет. септември 2013 г. 
  6. Math Open Reference. „Perpendicular lines (Coordinate geometry)“ (на англиски). http://www.mathopenref.com/coorpеrpendicular.html. посет. септември 2013 г.  интерактивен
  7. Институт за Геогебра на МКД. „Конструкција на нормала низ точка која лежи на права“ (на македонски). http://geogebramkd.wikispaces.com/Конструкција+на+нормала. посет. септември 2013 г. 
  8. Math Open Reference (2009). „Constructing a perpendicular line through a given point with compass and straightedge“ (на англиски). http://mathopenref.com/constperplinepoint.html. посет. септември 2013 г.  интерактивно
  9. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 555. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. посет. септември 2013 г. 

Поврзано[уреди | уреди извор]

Надворешни врски[уреди | уреди извор]