Извод

Графиконот на функцијата, нацртан со црно, и тангентната црта на таа функција, нацртана со црвено. Наклонот на тангентата на -оската е еднаков на изводот на функцијата во означената точка.

Во математичката анализа, гранка на математиката, изводот е мерка за тоа како (колку брзо) функцијата ги менува своите вредности кога се менуваат нејзините влезни вредности. Изводот на крива во точка го претставува коефициентот на насоката на допирката/тангентата на дадената крива во таа точка.

Изводот на функцијата во точката „a“ се дефинира како:

$f'(x)|_{x=a}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}$

ако постои гранична вредност. Во спротивно, можеме да го разбереме изводот како линеарен оператор.

Постапката на пронаоѓање на изводот на функцијата се нарекува диференцирање. Диференцирањето е спротивно на интегрирањето.

Запис на изводот

Лајбницово обележување

Симболите $dx$, $dy$ и ${\frac {dy}{dx}}$ ги смислил Готфрид Вилхелм Лајбниц во 1675 година. Сè уште често се користи кога функцијата y = f(x) се гледа као однос на зависни и независни промениви. Во тој случај првиот извод се обележува како:

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ или }}{\frac {d}{dx}}f,$

и некогаш се гледал како инфинитезимален количник. Изводите од повисок ред се обележуваат со следната нотација:

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ или }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f$

за n-тиот извод на функцијата $y=f(x)$. Тие претставуваат скратен запис за повторување на операторот извод, на пример:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

Со Лајбницовата нотација можеме да запишеме извод на функција $y$ во точка $x=a$ на два начина:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).$

Лајбницовата нотација дозволува прецизирање на променливата по која се врши извод, што е важно кај парцијалните изводи. Исто така, го олеснува помнењето на формулата за изводот на сложена функција:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

Лагранжово обележување

Најчестиот начин за запишување на изводот е со Лагранжова нотација која ја користи ознаката прим ('), така што изводот на функцијата $f$ се запишува како $f'$. Слично на тоа, вториот и третиот извод се обележуваат како:

$(f')'=f''$ и $(f'')'=f'''.$

За да се означи редот на изводот над 3, некои автори користат римски бројки во натписот, а некои арапски бројки во загради:

$f^{\mathrm {iv} }$ или $f^{(4)}.$

n-тиот извод се означува како $f^{(n)}$, оваа нотација се користи кога се однесува на изводот како за сопствена функција.

Њутново обележување

Њутновата нотација обично се користи кога независната променлива означува време. Ако локацијата y е функција од t, тогаш i ${\dot {y}}$ означува брзина, a ${\ddot {y}}$ укажува на забрзување.

Њутновата нотација за диференцирање (исто така наречена точкеста нотација за диференцирање) става точка над зависната променлива. Односно, ако y е функција од t, тогаш изводот на y е во однос на

${\dot {y}}$

Равенката на нормалата во дадената точка Т ќе биде:

${\ddot {y}},{\overset {...}{y}}$

Користење на изводи за цртање графикони на функции

Во секоја точка, изводот е наклонот на тангентата на кривата. Црвената линија е секогаш тангента на сината крива; неговиот наклон е извод.

Изводите се корисна алатка за испитување на графикони на функции. Сите точки во доменот на реалните функции кои претставуваат локални екстреми имаат нула како свој прв извод. Сепак, не сите критични точки се локални екстреми; на пример има критична точка во, но нема ниту локален максимум ниту локален минимум во оваа точка.

Вториот извод на функцијата може да се користи за тестирање на конвексноста на функцијата. Превојните точки (точките каде функцијата се менува од конвексен во конкавен облик) имаат нула како втор извод.

Геометриска интерпретација на изводот

Ако функцијата f е диференцијабилна во точката, тогаш коефициентот на насоката на тангентата на кривата во точката ќе биде еднаков на, каде α е аголот кој тангентата го склопува со позитивниот дел од -оската, а равенката на истата тангента ќе гласи:

y - y₀ = f ' (x₀) · ( x − x₀ ),

каде y₀ = f (x₀).

Равенката на нормала во дадена точка Т ќе биде:

y −y₀ = −1/f ' (x₀) · ( x−x₀ )

Пресметување на извод

Изводите може теоретски да се пресметуваат по дефиниција во секој пример, но во пракса често се користат готови пресметки на попознати, поедноставни функции. Изводите на посложени функции се пресметуваат со користење на одредени правила.

Изводи на едноставни функции

${\bigl (}x^{n}{\bigr )}'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}{\Bigr )}$ ; $a^{n}-b^{n}={\bigl (}a-b{\bigr )}{\bigl (}a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\ldots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}{\bigr )}$

$(x+\Delta x)^{n}-x^{n}={\bigl (}(x+\Delta x)-x{\bigr )}{\bigl (}(x+\Delta x)^{n-1}+(x+\Delta x)^{n-2}x+(x+\Delta x)^{n-3}x^{2}+\ldots +(x+\Delta x)^{2}x^{n-3}+(x+\Delta x)x^{n-2}+x^{n-1}{\bigr )}$$(x+\Delta x)^{n}-x^{n}\thickapprox n\Delta xx^{n-1}$

${\bigl (}x^{n}{\bigr )}'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {n\Delta xx^{n-1}}{\Delta x}}{\Bigr )}=nx^{n-1}$ ; n - кој било број

${\Bigl (}e^{x}{\Bigr )}^{,}=\ lim_{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {e^{(x+\Delta x)}-e^{x}}{\Delta x}}{\Bigr )}$ ; $e=\lim _{n\to \infty }{\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}^{n}=\lim _{h\to 0}{\bigl (}1+h{\bigr )}^{\frac {1}{h}}$

${\frac {e^{(x+\Delta x)}-e^{x}}{\Delta x}}=e^{x}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$ ; $e^{\Delta x}-1=h{\xrightarrow[{\Delta x\rightarrow 0}]{}}0$ => $\Delta x=ln(1+h)$

${\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}={\frac {h}{ln(1+h)}}={\frac {1}{ln(1+h)^{\frac {1}{h}}}}$ = 1, ln(e) = 1

Конечно: ${\Bigl (}e^{x}{\Bigr )}^{,}=e^{x}$

${\Bigl (}ln(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x}}{\Bigr )}$ ; $ln(x+\Delta x)-ln(x)=ln{\bigl (}{\frac {x+\Delta x}{x}}{\bigr )}=ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}$

${\frac {ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x}}={\frac {1}{x}}{\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{\frac {\Delta x}{x}}}$ ; $\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{\frac {\Delta x}{x}}}{\Bigr )}=1$

${\Bigl (}ln(x){\Bigr )}^{,}={\frac {1}{x}}$

${\Bigl (}a^{x}{\Bigr )}^{,}=\ lim_{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {a^{(x+\Delta x)}-a^{x}}{\Delta x}}{\Bigr )}$ ; ${\frac {a^{(x+\Delta x)}-a^{x}}{\Delta x}}=a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$

$a^{\Delta x}-1=h$ => $\Delta x=log_{a}(1+h)={\frac {ln(1+h)}{lna}}$

${\Bigl (}a^{x}{\Bigr )}^{,}=a^{x}ln(a)$

${\Bigl (}log_{a}(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {log_{a}(x+\Delta x)-log_{a}(x)}{\Delta x}}{\Bigr )}$ ; $log_{a}(x+\Delta x)-log_{a}(x)=log_{a}{\bigl (}{\frac {x+\Delta x}{x}}{\bigr )}=log_{a}{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}$

$log_{a}{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}={\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{lna}}$

${\Bigl (}log_{a}(x){\Bigr )}^{,}={\frac {1}{xlna}}$

${\Bigl (}sin(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {sin(x+\Delta x)-\sin {x}}{\Delta x}}{\Bigr )}$

$sin(\alpha )-sin(\beta )=2sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})cos({\frac {\alpha +\beta }{2}})$ => ${\frac {sin(x+\Delta x)-\sin {x}}{\Delta x}}=2{\frac {sin{\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})$ . Како ${\frac {\sin x}{x}}{\xrightarrow[{x\rightarrow 0}]{}}1\Rightarrow$

${\Bigl (}sin(x){\Bigr )}^{,}=\cos x$

${\Bigl (}cos(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {cos(x+\Delta x)-\cos {x}}{\Delta x}}{\Bigr )}$

$cos(\alpha )-cos(\beta )=-2sin({\frac {\alpha -\beta }{2}}sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})$ =>

${\frac {cos(x+\Delta x)-\cos {x}}{\Delta x}}=-2{\frac {sin{\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})$ =>

${\Bigl (}cos(x){\Bigr )}^{,}=-\sin x$

${\Bigl (}tan(x){\Bigr )}^{,}={\Bigl (}{\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}{\Bigr )}^{,}$ = ${\frac {{\Bigl (}\sin {x}{\Bigr )}^{,}\cos {x}-\sin {x}{\Bigl (}\cos {x}{\Bigr )}^{,}}{\cos {x}^{2}}}$ = ${\frac {\sin {x}^{2}+\cos {x}^{2}}{\cos {x}^{2}}}={\frac {1}{\cos {x}^{2}}}$

${\Bigl (}cot(x){\Bigr )}^{,}={\Bigl (}{\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}{\Bigr )}^{,}$ = ${\frac {{\Bigl (}\cos {x}{\Bigr )}^{,}\sin {x}-\cos {x}{\Bigl (}\sin {x}{\Bigr )}^{,}}{\sin {x}^{2}}}$ = ${\frac {-\sin {x}^{2}-\cos {x}^{2}}{\sin {x}^{2}}}={\frac {-1}{\sin {x}^{2}}}$

Таблица на изводи на елементарни функции

Функција $f(x)$	Извод $f'(x)$			Функција $f(x)$	Извод $f'(x)$
$\sin x$	$\cos x$			${\text{sh}}\,x$	${\text{ch}}\,x$
$\cos x$	$-\sin x$			${\text{ch}}\,x$	${\text{sh}}\,x$
${\text{tg}}\,x$	${\frac {1}{\cos ^{2}x}}$			${\text{th}}\,x$	${\frac {1}{{\text{ch}}^{2}x}}$
${\text{ctg}}\,x$	$-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$			${\text{cth}}\,x$	$-{\frac {1}{{\text{sh}}^{2}x}}$
$\arcsin x$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$			${\text{Arsh}}\,x$	${\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
$\arccos x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$			${\text{Arch}}\,x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\text{arctg}}\,x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$			${\text{Arth}}\,x$	${\frac {1}{1-x^{2}}}$
${\text{arcctg}}\,x$	$-{\frac {1}{1+x^{2}}}$			${\text{Arcth}}\,x$	${\frac {1}{1-x^{2}}}$
$e^{x}$	$e^{x}$			$a^{x}$	$a^{x}\ln a$
$\ln(x)$	${\frac {1}{x}}$			${\frac {1}{x}}$	$-{\frac {1}{x^{2}}}$
$\log _{a}x$	${\frac {1}{x\ln a}}$			$|x|$	${\frac {x}{|x|}}$
${\sqrt {x}}$	${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$			$x^{n}$	$nx^{n-1}$

Извод на сложена функција

Дадена е сложена функција $y=f(u)$, при што $u=g(x)$

Изводот е еднаков на производот на изводите на поединечните делови: $(f\circ g)'(x)=(f(g(x))'=f'(u)g'(x)$

Пример:

$[sin(x^{2})]'=sin'(x^{2})*(x^{2})'=2xcos(x^{2})$

Особини на изводот

Збир на изводи е извод на збирот:

$u'(x)\pm v'(x)=[u(x)\pm v(x)]'$

Извод на производ:

$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

Посебен случај е извод на функција помножена со константа:

$[cu(x)]'=c'u(x)+cu'(x)=0*u(x)+cu'(x)=cu'(x)$

Извод на количник:

${\bigl [}{\frac {u(x)}{v(x)}}{\bigr ]}'={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}}$

Втор извод и изводи од повисок ред

Вториот извод се дефинира како извод на првиот извод:

$f''(x)|_{x=a}=(f'(x)|_{x=a})'\,$

Истото важи и за секој нареден извод:

$f'''(x)|_{x=a}=(f''(x)|_{x=a})'\,$

$f^{(n)}(x)|_{x=a}=(f^{(n-1)}(x)|_{x=a})'\,$

Поврзано

• Таблица на изводи
• Извод на сложена функција