Таблица на изводи

Една од главните операции во математичката анализа е наоѓање на извод. Подолу се дадени изводи од многу функции. Ознаките f и g претставуваат диференцијабилни функции од реални броеви, а c е реален број. Овие формули се доволни за да се диференцира која било елементарна функција. Напомена: Во понатамошниот текст извод од функцијата f ќе се означува на вообичаен начин: ${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)$, за да се назначи дека се диференцира по параметарот $x$.

Општи правила за изводи

Линеарност

$\left({cf}\right)'=cf'$

$\left({f+g}\right)'=f'+g'$

Извод од производ

$\left({fg}\right)'=f'g+fg'$

Извод од количник

$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0$

Извод од сложена функција

$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'$

Извод од инверзна функција

$(f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}.\,$

Изводи од прости функции

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}c=0$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}x=1$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}cx=c$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}|x|={|x| \over x}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}x^{c}=cx^{c-1}$ каде што и x^c и cx^c-1 се дефинирани

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left({1 \over x}\right)={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left({1 \over x^{c}}\right)={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\sqrt {x}}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

Изводи од експоненцијални и логаритамски функции

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}e^{x}=e^{x}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\ln x={1 \over x},\qquad x>0$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\ln |x|={1 \over x}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}x^{x}=x^{x}(1+\ln x)$

Изводи од тригонометриски функции

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\sin x=\cos x$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\cos x=-\sin x$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\tan x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\sec x=\tan x\sec x$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\cot x=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\csc x=-\csc x\cot x$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\arccos x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\arctan x={1 \over 1+x^{2}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\operatorname {arccot} x={-1 \over 1+x^{2}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\operatorname {arccsc} x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Изводи од хиперболични функции

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\sinh x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\cosh x=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}\,x$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {sech} \,x=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {coth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {arcsinh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {arccosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {arctanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {arcsech} \,x={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {arccoth} \,x={1 \over 1-x^{2}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {arccsch} \,x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$