Подмножество

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Ојлеров дијаграм:
A is a вистинско подмножество of B and conversely B is a вистинско superset of A

Во математиката, особено во теоријата на множествата, множество A е подмножество на множество B ако A „се содржи“ во B. A и B може да се совпаѓаат. Ваквата релација се нарекува содржајна релација или инклузија[1]. Така, множестово B е надмножество на A бидејќи сите елементи на A се воедно и елементи на B.

Дефиниции[уреди]

Ако A и B се множества, и секој елемент на A е воедно и елемент на B, тогаш:

  • A е подмножество на (се содржи во) B, што се означува со A \subseteq B,
or equivalently
  • B е надмножество на (го содржи) A, што се означува со B \supseteq A.

Ако A е подмножество на B, но A не е еднакво на B (т.е. B има барем еден елемент што го нема во A), тогаш

  • A е исто така вистинско[1] (или строго) подмножество на B; this is written as A\subsetneq B.
или еквивалентно
  • B е вистинско надмножество на A; се запишува како B\supsetneq A.

За секое множество S, содржајната релација ⊆ е делумен поредок на множеството \mathcal{P}(S) на сите подмножества на S (партитивното множество на S).

Знаците ⊂ и ⊃[уреди]

Напати се среќаваат знаците ⊂ и ⊃ за „подмножество“ и „надмножество“ како истоветни на ⊆ and ⊇. На пр. за секое множество A важи дека A ⊂ A.

Други автори ги користат знаците ⊂ и ⊃ со значење на „вистинско“ подмножество и надмножество, наместо знаците ⊊ и ⊋ Со ова ⊆ и ⊂ се аналогни на знаците за неравенство ≤ и <. На пример, ако x ≤ y тогаш x може да е еднакво на y, но ако x < y, тогаѓ x сигурно не е еднакво на y, туку помало од y. Вака имаме и „⊂ значи вистинско подмножество“, ако A ⊆ B, тогаш A може да е еднакво на B, но ако A ⊂ B, тогаш A сигурно не е еднакво на B.

Примери[уреди]

  • Множеството {1, 2} е вистинско подмножество на {1, 2, 3}.
  • Секое множество е подмножество самото на себе, но не вистинско подмножество.
  • Празното множество (симбол: ∅) исто така е и подмножество на секое дадено множество X. Празното подмножество секогаш е вистинско подмножество на сите множества, освен на самото себе.
  • Множеството {x: x е прост број поголем од 2000} е вистинско подмножество на {x: x е немапрен број поголем од 1000}
  • Множеството на природни броеви е вистинско подмножество на множеството на рационални броеви и множеството на точки на една отсечка е вистинско подмножество на множеството од точки на една линија. Ова се навидум нелогични примери, каде и делот и целината се бесконечни, а делот има ист број на елементи како целината.

Други својства на содржајноста[уреди]

Содржајноста (инклузијата) претставува канонски делумен поредок во смисла дека секое делумно подредено множество (X, \preceq) е изоморфно на некој збир множества подредени со содржајност. Прост пример се редните броеви: ако секој реден број n го постоветиме со множество [n] на сите редни броеви помали или еднакви на n, тогаш ab ако и само ако [a] ⊆ [b].

За партитивно множество \mathcal{P}(S) на множеството S, содржајниот делумен поредок е (до поредочен изоморфизам) Декартов производ на k = |S| (кардиналноста на S) слики на делумниот поредок на {0,1} за кој 0 < 1. Ова може да се покаже набројувајќи S = {s1, s2, …, sk} и сврзувајќи со секое подмножество TS (т.е. се секој елемент на 2S) k-кратноста од {0,1}k чијашто i-та координата е 1 ако и само ако si е член на T.

Поврзано[уреди]

Наводи[уреди]

  1. 1,0 1,1 Андреевски, Венцислав П. (2007). „1. Елементи на теоријата за множества“. „Прирачник за математички поими и формули“. Скопје: Винсент графика. ISBN 978-9989-2474-4-6. 

Надворешни врски[уреди]