Подмножество

Од Википедија — слободната енциклопедија
Ојлеров дијаграм:
A is a вистинско подмножество of B and conversely B is a вистинско superset of A

Во математиката, особено во теоријата на множествата, множество A е подмножество на множество B ако A „се содржи“ во B. A и B може да се совпаѓаат. Ваквата релација се нарекува содржајна релација или инклузија[1]. Така, множестово B е надмножество на A бидејќи сите елементи на A се воедно и елементи на B.

Дефиниции[уреди | уреди извор]

Ако A и B се множества, и секој елемент на A е воедно и елемент на B, тогаш:

  • A е подмножество на (се содржи во) B, што се означува со .
  • B е надмножество на (го содржи) A, што се означува со

Ако A е подмножество на B, но A не е еднакво на B (т.е. B има барем еден елемент што го нема во A), тогаш

  • A е исто така вистинско[1] (или строго) подмножество на B; се запишува како (може да се сретне како )
или еквивалентно
  • B е вистинско надмножество на A; се запишува како (може да се сретне како )

За секое множество S, содржајната релација ⊆ е делумен поредок на множеството на сите подмножества на S (партитивното множество на S).

Знаците ⊂ и ⊃[уреди | уреди извор]

Некои автори во своите дела знаците ⊂ и ⊃ ги третираат како ⊆ и ⊇.

  • Во рамки на нивните дела, за секое множество е точно дека .

Знаците ⊂ и ⊃ може да се сретнат и во функција на знаци за вистинско подмножество и вистинско надмножество наместо знаците ⊊ и ⊋. Односно, ⊆ и ⊂ се земаат како аналогни на знаците за неравенство ≤ и <.

  • Ако x ≤ y тогаш x може да е еднакво на y, но ако x < y, тогаш x сигурно не е еднакво на y, туку е помало од y.
  • Ако A ⊆ B, тогаш A може да е еднакво на B, но ако A ⊂ B, тогаш A сигурно не е еднакво на B.

Примери[уреди | уреди извор]

  • Множеството {1, 2} е вистинско подмножество на {1, 2, 3}.
  • Секое множество е подмножество самото на себе, но не и вистинско подмножество.
  • Празното множество (симбол: ∅) е исто така и подмножество на секое дадено множество X. Празното подмножество е секогаш вистинско подмножество на сите множества, освен на самото себе.
  • Множеството {x: x е прост број поголем од 2000} е вистинско подмножество на {x: x е неапрен број поголем од 1000}.
  • Множеството на природни броеви е вистинско подмножество на множеството на рационални броеви исто така множеството на точки на една отсечка е вистинско подмножество на множеството од точки на една линија.
  • Множеството на рационални броеви претставува вистинско подмножество на множеството реални броеви. Во овој пример и двете множества се бесконечни, но множеството на реални броеви има поголема кардиналност од множеството рационални броеви.

Други својства на содржајноста[уреди | уреди извор]

Содржајноста (инклузијата) претставува канонски делумен поредок, односно секое делумно подредено множество (X, ) е изоморфно на некој збир множества подредени со содржајност. Прост пример се редните броеви: ако секој реден број n го поистоветиме со множество [n] на сите редни броеви помали или еднакви на n, тогаш ab ако и само ако [a] ⊆ [b].

За партитивно множество на множеството S, содржајниот делумен поредок е (до поредочен изоморфизам) Декартов производ на k = |S| (кардиналноста на S) слики на делумниот поредок на {0,1} за кој 0 < 1. Ова може да се покаже набројувајќи S = {s1, s2, …, sk} и сврзувајќи со секое подмножество TS (т.е. се секој елемент на 2S) k-кратноста од {0,1}k чијашто i-та координата е 1 ако и само ако si е член на T.

Поврзано[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. 1,0 1,1 Андреевски, Венцислав П. (2007). „1. Елементи на теоријата за множества“. Прирачник за математички поими и формули. Скопје: Винсент графика. ISBN 978-9989-2474-4-6.

Надворешни врски[уреди | уреди извор]