Апсолутно тврдо тело

Позиција на апсолутното тврдо тело се утврдува со позицијата на центарот на масата и степенот на закривеност (со најмалку шест параметри).

Во физиката, апсолутно тврдо тело е тврдо тело кај кое деформацијата е нула или толку мала, што може да се занемари. Растојанието меѓу кои било две дадени точки на апсолутното тврдо тело останува константно во кое било време, без оглед на надворешни сили. Апсолутното тврдо тело обично се смета како континуирана дистрибуција на маса.

Во теоријата на специјална релативност, совршено апсолутно тврдо тело не постои; и може само да се претпоставува дека предметите се апсолутно тврди, ако тие не се движат приближно со брзината на светлината. Во квантната механика, апсолутно тврдо тело обично се смета за збир на точкести маси. На пример, во квантната механика молекулите (се состојат од точкести маси: електрони и јадра) се гледаат како апсолутни тврди тела (види класификација на молекули, како апсолутно тврди ротори).

Кинематика

Линеарна и аголна позиција

Позицијата на апсолутно тврдо тело е позицијата на сите честички од кои е составено. За да се поедностави описот на оваа позиција, испитуваме дали телото е апсолутно тврдо, имено дека сите негови честички одржуваат иста дистанца едни во однос со други. Ако телото е апсолутно тврдо, доволно е да се опише позицијата од најмалку три неколинеарни честички. Ова овозможува да се реконструира позицијата од сите други честички, под услов нивната временски неменлива позиција во однос на три избрани честички да е позната. Сепак се користи, различен и математички поубедлив, но еднаков пристап. Позицијата на апсолутното тврдо тело е претставена од страна на:

1. линеарната позиција или положбата на телото, односно на позицијата на една од честичките на телото, специјално избрана како референтна точка (обично соодветствува со центарот на масата или центарот на геометрија на телото), заедно со
2. аголната позиција (исто така позната како ориентација, или степен на закривеност) на телото.

Според тоа, позицијата на апсолутното тврдо тело има две компоненти: линеарна и аголна, соодветно. Истото важи и за други кинематички и кинетички количини за опишување на движење на апсолутно тврдо тело, како што се линеарни и аголна брзина, забрзување, импулсот, моментот на импулсот и кинетичка енергија.

Линеарната позиција може да биде претставена со вектор со својата опашка на произволно референтна точка во просторот (центарот на избран координатен систем) и неговиот врв во некоја произволна точка од интерес на апсолутно тврдо тело, која обично се совпаѓа со неговиот центар на маса или центар на геометрија. Оваа референтна точка може да се дефинира како центар на координатен систем поставен на телото.

Постојат неколку начини бројно да се опише ориентацијата на апсолутно тврдо тело, вклучувајќи сет од три Ојлерови агли, кватерниони, или насока на косинусна матрица (исто така позната како вртежна матрица). Сите овие методи, всушност,ја дефинираат ориентацијата на основниот сет (или координатен систем) кој има фиксна ориентација во однос на телото (т.е. ротира заедно со тело), во однос на друг основен сет (или координатен систем), од кои се набљудува движењето на апсолутно тврдо тело. На пример, еден основен сет со фиксна ориентација во однос на авион може да се дефинира како збир на три ортогонални единични вектори b₁, b₂, b₃, така што b₁ е паралелен со акордната линија на крилото и е насочен напред, b₂ е нормален на рамнината на симетричност и насочен надесно, и b₃ е даден од страна на вкрстен производ $b_{3}=b_{1}\times b_{2}$.

Во принцип, кога апсолутно тврдо тело се движи, неговата позиција и ориентација варираат со време. Во кинематичка смисла, овие промени се нарекуваат транслација и вртење, соодветно. Всушност, положбата на апсолутно тврдо тело може да се гледа како хипотетичка транслација и вртење (рототранслација) на телото почнувајќи од хипотетичка референтна позиција (не мора да се совпаѓа со позиција во која може да се најде телото за време на своето движење).

Линеарна и аголна брзина

Брзина (исто така наречена линеарна брзина) и аголна брзина се мерат во однос на појдовен систем.

Линеарната брзина на апсолутно тврдо тело е вектор, еднаков на временската стапка на промена на линеарната позиција. На тој начин, тоа е брзината на референтна точка прицврстена за телото. За време на транслаторно движење (движење без вртење), сите точки на апсолутното тврдо телото се движат со иста брзина. Сепак, кога движењето вклучува вртење, моментната брзина од кои било две точки на телото генерално нема да биде иста. Две точки на вртечко тело ќе имаат иста моментна брзина само ако се случи да лежат на некоја оска паралелна со моментната оска на вртење.

Аголна брзина е вектор кој ја опишува аголната брзина за која ориентацијата на апсолутното тврдо телото се менува и моментната оска околу која ротира (постоењето на оваа моментна оска е загарантирана со Ојлеровата теорема за вртење). Сите точки на апсолутно тврдо тело имаат иста аголна брзина во сите времиња. За време на чисто вртежно движење, сите точки на телото ја менуваат позицијата, освен оние кои лежат на моментната оска на вртење. Односот помеѓу ориентација и аголна брзина не е директно аналоген на односот помеѓу позицијата и брзината. Аголната брзина не е временска стапка на промена на ориентација, бидејќи не постои таков концепт како ориентационен вектор кој може да се диференцира за да се добие аголна брзина.

Кинематички равенки

Адициона теорема за аголна брзина

Аголната брзина на апсолутно тврдо тело B во појдовниот систем N е еднаква на збирот на аголната брзина на апсолутно тврдо тело D во N и аголната брзина на B во однос на D:

${}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }={}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {D} }+{}^{\mathrm {D} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }.$

Во овој случај, апсолутните тврди тела и референтните рамки не се разликуваат и се целосно менливи помеѓу себе.

Адициона теорема за позиција

За секој сет на три точки P, Q, и R, позицијата на векторот од P до R е збир на позицијата на векторот од P до Q и на позицијата на векторот од Q до R:

$\mathbf {r} ^{\mathrm {PR} }=\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }+\mathbf {r} ^{\mathrm {QR} }.$

Математичка дефиниција на брзина

Брзината на точката P во појдовниот систем N е дефинирана како временски извод во N од позицијата на векторот од О до P:

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }={\frac {{}^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {OP} })$

каде О е која било произволна точка која е фиксна во појдовниот систем на N, и N на лево од d/dt операторот покажува дека изводот е земен во појдовниот систем N. Резултат е независен од изборот на О сè додека О е фиксна во N.

Математичка дефиниција на забрзување

Забрзувањето на точка P во појдовниот систем N е дефинирано како временски извод во N на сопствената брзина:

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }={\frac {^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }).$

Брзина на две фиксни точки на апсолутно тврдо тело

За две точки P и Q кои се фиксирани на апсолутно тврдо тело B, каде B има аголна брзина $\scriptstyle {^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}$ во појдовниот систем N, брзината на Q во N може да се изразува како функција од брзината на P во N:

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\!\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }.$

Забрзување на две фиксни точки на апсолутно тврдо тело

Со диференцијација на равенката за Брзина на две фиксни точки на апсолутно тврдо тело во N во однос на времето, забрзувањето во однос на појдовниот систем N во точка Q фиксна на апсолутно тврдо тело B може да се изрази како

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \left({}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }\right)+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }$

каде $\scriptstyle {{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }}$ е аголно забрзување на B во појдовниот систем N.

Аголна брзина и забрзување на две фиксни точки на апсолутно тврдо тело

Како што споменавме погоре, за сите точки на апсолутното тврдо тело B имаат иста аголна брзина ${}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }$ во фиксниот појдовен систем N, и на тој начин исто аголно забрзување ${}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }.$

Брзина на една движечка точка на апсолутно тврдо тело

Ако точката R се движи во апсолутно тврдо тело B, а B се движи во појдовниот систем N, тогаш брзината на R во N е

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }$

каде Q е утврдена во B која  моментално се совпаѓа со Р во моментот од интерес. Овој однос често се комбинира со односот на Брзината на две фиксни точки на апсолутно тврдо тело.

Забрзување на една движечка точка на апсолутно тврдо тело

Забрзувањето во појдовниот систем N на точката R која се движи во телото B додека B се движи во појдовниот систем N е дадена од

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }+2{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times {}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }$

каде Q е утврдена точка во B, кои моментално се совпаѓа со R во моментот од интерес. Оваа равенка е често во комбинација со Забрзување на две фиксни точки на апсолутно тврдо тело.

Други количини

Ако C е центар на локален координатен систем L, прикачен на телото,

• просторното или завртувачко забрзување на апсолутно тврди тела е дефинирано како просторно забрзување на C (што е спротивно на материјалното забрзување погоре);

${\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})-{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})={\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)+{\boldsymbol {\alpha }}(t)\times A(t)\mathbf {r} _{0}$

каде

• $\mathbf {r} _{0}$ претставува позицијата на точка/честички во однос на референтната точка на телото во однос на локалниот координатен систем L (цврстината на телото значи дека тоа не зависи од времето)
• $A(t)\,$ е ориентациската матрица, ортогонална матрица со детерминанта 1, која ја претставува ориентацијата (аголната позиција) на локален координатен систем L, во однос на произволната референтна ориентација на друг координатен систем G. Мисли на оваа матрица како три ортогонални единечни вектори, по еден во секоја колона, кои ја дефинираат ориентацијата на оските на L во однос на G.
• ${\boldsymbol {\omega }}(t)$ претставува аголна брзина на апсолутно тврдо тело
• $\mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})$ претставува вкупната брзина на точка/честичка
• $\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})$ претставува вкупното забрзување на точка/честичка
• ${\boldsymbol {\alpha }}(t)$ претставува аголното забрзување на апсолутното тврдо тело
• ${\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})$ претставува просторното забрзување на точка/честичка
• ${\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)$ претставува просторно забрзување на апсолутното тврдо тело (т.е. просторно забрзување на центарот на L).

Во 2D, аголната брзина е скалар, и матрицата A(t) едноставно ја претставува вртењето во xy-рамнината од агол кој е интеграл на аголната брзина со текот на времето.

Возила, луѓе кои пешачат, итн., обично ротираат според промени во насока на брзината: тие се движат напред во однос на сопствената ориентација. Потоа, ако телото следи затворена орбита во рамнина, аголната брзина интегрирана над временски интервал во кој орбитата е завршена еднаш, е цел број помножен со 360°. Овој цел број е ликвидациски број во однос на центарот на брзината. Спореди го износот на вртење поврзан со темињата на многуаголник.

Кинетика

Главна статија: Динамика на апсолутно тврдо тело

Која било точка која е строго поврзана со телото може да се користи како референтна точка (центар на координатен систем L) за да се опише линеарно движење на телото (линеарната позиција, векторите на брзина и забрзување зависат од изборот).

Сепак, во зависност од апликацијата, лесен избор можат да бидат:

• центарот на маса на целиот систем, кој генерално го има наједноставното движење на тело кое се движи слободно во просторот;
• точка таква што транслаторното движење е нула или поедноставено, на пр. на некоја оска или зглоб, во центарот на топката и заеднички приклучок, итн.

Кога центарот на маса се користи како референтна точка:

• (Линеарниот) импулс е независен од вртежното движење. Во секое време, тоа е еднаков на вкупната маса на апсолутното тврдо тело помножено со транслаторната брзина.
• Момент на импулсот во однос на центарот на масата е иста како и без транслација: во секое време е еднаков на тензор инерција помножено со аголната брзина. Кога аголната брзина е изразена во однос на координатен систем кој се совпаѓа со главните оски на телото, секоја компонента на моментот на импулсот е производ на моментот на инерција (главна вредност на инерцијалниот тензор) помножен со соодветната компонента на аголната брзина; вртежниот момент е тензор инерција помножен со аголното забрзување.
• Можни движења во отсуство на надворешни сили се транслација со постојана брзина, стабилна вртење околу фиксна главна оска, а исто така и слободен вртежен момент на прецесија.
• Нето надворешната сила на апсолутно тврдо тело секогаш е еднаква на вкупната маса помножено со транслаторното забрзување (т.е. вториот Њутнов закон важи за транслаторно движење, дури и кога нето надворешниот вртежен момент не е нула, и/или телото ротира).
• Вкупната кинетичка енергија е едноставно збир на транслаторната и вртежна енергија.

Геометрија

Две апсолутно тврди тела се различни (не копии) ако не постои сопствено вртење од едно до друго. Апсолутно тврдо тело се нарекува хирал ако неговата слика е различена во таа смисла, т.е., ако или нема симетрија или неговата симетрична група содржи само правилни ротации. Во спротивен случај телото се нарекува ахирал: сликата е копија, не различно тело. Таков објект може да има симетрична рамнина, но не секогаш: може да има и рамнина на рефлексија во однос на кој сликата на телото е ротирана верзија. Последното се однесува за [[S_2n]], за кој во случај n = 1 е инверзна симетрија.

За (апсолутно тврд) правоаголен транспарентен лист, инверзна симетрија одговара со од една страна слика без вртежна симетрија и од друга страна слика таква што тоа што сјае низ е сликата на горната страна, свртена наопаку. Може да се разликуваат два случаи:

• површината на листот со сликата да не е симетрична - во овој случај двете страни се различни, но сликата на објектот е иста, по вртење од 180° околу оската нормално на пресликаната рамнина.
• површината на листот со сликата има оска на симетрија - во овој случај двете страни се исти, и сликата на објектот исто така е иста, повторно по вртење од 180° околу оската нормална на пресликаната рамнина.

Лист со слика која поминува низ е ахирал. Разликуваме повторно два случаи:

• површината на листот со сликата нема оска на симетрија - двете страни се различни
• површината на листот со сликата има оска на симетрија - двете страни се исти

Конфигурациски простор

Конфигурацискиот простор на апсолутно тврди тела со една фиксна точка (т.е., тело кое нема транслаторно движење) е даден со основниот манифолд на вртежната група SO(3). Конфигурацискиот простор на нефиксирано (без транслаторно движење) апсолутно тврдо тело е [[E⁺(3)]], подгрупа на директна изометрија на Евклидовата група во три димензии (комбинации на транслации и ротации).

Поврзано

• Аголна брзина
• Динамика на апсолутно тврдо тело
• Ојлерови равенки
• Ојлерови закони
• Борнова апсолутна тврдост
• Апсолутно тврд ротор
• Геометриска механика

Наводи

• Roy Featherstone (1987). Robot Dynamics Algorithms. Springer. ISBN 0-89838-230-0. This reference effectively combines screw theory with rigid body dynamics for robotic applications. The author also chooses to use spatial accelerations extensively in place of material accelerations as they simplify the equations and allow for compact notation.
• JPL DARTS page has a section on spatial operator algebra (link: [1] Архивирано на 15 октомври 2011 г.) as well as an extensive list of references (link: [2] Архивирано на 21 јуни 2007 г.).