Леонард Ојлер

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Леонард Ојлер
Leonhard Euler
Leonhard Euler 2.jpg
Роден 15 април 1707
Базел, Швајцарија
Починал 18 септември 1783)
Санкт Петербург, Русија
Живеалиште Прусија
Русија
Швајцарија
Националност Швајцарец
Полиња Математичар и физичар
Установи Царска Руска Академија на Науките
Берлинска Академија
Образование Базелски универзитет
Докторски ментор Јохан Бернули
Докторанти Јохан Хенерт
Жозеф Лагранж
Познат по Ојлеров број
Потпис

Леонард Паул Ојлер (германски: Leonhard Paul Euler; 15 април 170718 септември 1783) — швајцарски математичар и физичар, еден од пронаоѓачите на чистата математика. Не само што открил и докажал важни теореми во предметите како геометрија, калкулус, механика и теоријата на броеви, туку и развил методи за решавање на проблеми во набљудувачката астрономија и демонстрирал практична примена на математиката во технологијата и во секојдневниот живот.

Основите на математиката, Ојлер ги изучил од Јохан Бернули, еден од првите математичари во Европа во тоа време. Ојлер бил близок пријател со неговите синови Даниел и Николас. Во 1727 година се преселил во Петроград каде што се вклучил во Академијата на науки во 1733.

Биографија[уреди]

Леонард Ојлер е роден во Базел, Швајцарија, како син на Паул Ојлер, свештеник во реформистичката црква, и на Маргарет Брукер, ќерка на свештеник. Имал две помлади сестри, Ана Марија и Марија Магдалена. Набрзо по раѓањето на Леонард, Ојлерови се преселиле од Базел во градот Рихен, каде што Ојлер го поминал најголем дел од своето детство. Паул Ојлер бил пријател на Бернулиевото семејство, кој тогаш се сметал за европски водечки математичар, кој веројатно најмногу влијаел на младиот Леонард. Ојлеровите први значајни школувања започнале во Базел, каде што бил испратен да живее со својата баба од мајка. На возраст од тринаесет години, Ојлер дипломирал на Универзитетот на Базел и во 1723 година се здобил со дипломата магистер по философија за тезата „Споредба на философиите на Декарт и Њутн“. Во тоа време следел постојани саботни часови од Јохан Бернули, кој набрзо открил дека неговиот ученик поседува неверојатен талент за математика.[1]

Ојлер во тоа време студирал теологија, грчки и хебрејски по наговор на неговиот татко, со цел да стане свештеник, но Јохан Бернули го убедил Паул Ојлер дека судбината на неговиот син е да стане математичар.

Во 1726 година, Ојлер ја завршил својата докторска теза со наслов De Sono[2] и во 1727 година се пријавил на натпреварот на Париската академија, каде што проблемот таа година бил да се најде најпогодниот начин да се сместат јарболите на брод. На натпреварот, Ојлер го освоил второто место, зад Пјер Бугер, познат како „таткото на морнарската архитектурата“. Ојлер веднаш потоа ја освоил оваа долго посакувана годишна награда, која ја добивал уште 12 пати подоцна во неговата кариера.[3]

Леонард Ојлер

Творештво[уреди]

Ојлер се смета за ненадминат математичар на XVIII век и еден од најдобрите на сите времиња. Тој е, исто така, еден од најпродуктивните математичари: неговите собрани дела исполнуваат 60-80 четвороделни тома. Има направено многу важни откритија во различни полиња, како што се: калкулус и графичка теорија. Исто така, тој е творец на најголемиот дел од модерната математичка терминологија и нотација, особено во делот на математичката анализа, како на пример, нотацијата за математичка функција.[4] Исто така, Ојлер е познат и по својата работа во областа на механиката, оптиката и астрономијата.

Придонеси за математиката[уреди]

Ојлер работел на скоро сите области во математиката: геометрија, калкулус, тригонометрија, алгебра, теорија за броевите, како и во физиката, месечевата теорија и други области од физиката. Меѓу математичарите, единствено Унгарецот Пал Ердеш, математичар на XX век, бил слично продуктивен како Ојлер.

Математичка нотација[уреди]

Ојлеровата нотација е многу блиска на современата. Извадок од Диференцијално сметање, објавено во 1755 година

Ојлер претставил и популаризирал неколку нотациони конвенции низ многубројни негови распространети учебници. Најважно од сè е објавувањето на концептот на функцијата,[4] т.е. тој бил првиот кој напишал f(x), каде што f е функција на аргументот x. Тој, исто така, ја преставил модерната нотација на тригонометриските функции, буквата e како база на природен логаритам (денес познат и како Ојлеров број), грчката буква Σ (сигма) за сумирање и буквата i како имагинарна единица.[5] Употребата на грчката буква π ≈ 3,14159 (пи) која го изразува односот на должината на кружницата со нејзиниот дијаметар, исто така, била популаризирана од Ојлер, иако не потекнува од неговото творештво.[6]

Математичка анализа[уреди]

Во XVIII век, математичките истражувања се темелеле на достигнувањата во областа на анализата, а членовите на семејството Бернули, кои биле блиски пријатели на семејството Ојлер биле заслужни за голем број откритија во ова поле. Благодарение на нивното влијание, Ојлер се фокусирал на изучување на математичката анализа. Иако некои негови докази според современите стандарди не биле прифатливи,[7] неговите идеи биле основа за многу понатамошни достигнувања.

Ојлер е познат по големиот придонес во областа на степеновите редови, прикажувањето на функција во облик на збир на бесконечно многу собироци, како што е:

e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)

и нивната честа употреба.

Значајно Ојелрово откритие е и развојот на бројот e и инверзната тангенсна функција во степеновиот ред. Неговата слободна употреба на степновите редови му овозможила да го реши познатиот Базелски проблем во 1735 година:[7]

\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}.

Ојлер ја вовел и употребата на експоненцијалната функција и логаритмите во аналитилчките докази. Тој открил начин како да се изразат различни логаритамски функции со помош на степеновите редови и успешни ги дефинирал логаритмите од бегативните и комплексни броеви, со што го проширил доменот на математичката примена на логаритмите.[5] Тој, исто така, ја дефинирал и експоненцијалната функција за комплексните броеви и ја открил нејзината поврзаност со тригонометриските функции. За произволен реален број φ, според Ојлеровата формула важи еднаквоста

e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi.\,

Во случај кога \varphi = \pi, настанатата формула е позната како Ојлеров идентитет,

e^{i \pi} +1 = 0 \

Оваа формула во книгата на Ричард Фајнман е наречена „најзначајна математичка формула“, бидејќи во еден израз со користење на операциите собирање, множење и степенување, наведени се 5 значајни константи: 0, 1, e, i и π.[8] Читателите на математичкото списание Математикал Интелиџенсер (Mathematical Intelligencer) во 1988 година, овој идентитет го прогласиле за најубавата математичка формула на сите времиња.[9] Интересно е дека меѓу првопласираните формули на тоа гласање се нашле три кои ги открил Ојлер.[9]

Меѓу останатото, Ојлер ја разработил и теоријата на трансцедентална функција, воведувајќи ја гама-функцијата и нови методи за решавање на степените. Откривајќи начин за пресмнетка на определен интеграл со комплексни граници, тој го навестил развојот на комплексната анализа. Тој работел на полето на функционалната анализа и ја дал познатата Ојлер-Лагранжова формула.

Ојлер бил првиот математичар кој користел аналитички методи за решавање на проблемите од теоријата на броеви. На тој начин, тој соединил две различни математички гранки и вовел нова област во истражувањето - аналитичка теорија на броеви.Во процесот на воведување на новото поле, Ојлер ги создал теориите на хипергеометриски редовиа, хиперболична тригонометриска функција и аналитичката теорија на верижните отстапувања. Ојлер докажал дека има бесконечно многу прости броеви, користејќи ја дивергентноста на хармониските редови и употребувајќи аналитички методи за да дојде до одредени сознанија за начинот на кој простите броеви се распоредени во групата на природните броеви. Ојлеровите придонеси на ова поле овозможиле да се открие теоремата за прости броеви.[10]

Теорија на броеви[уреди]

Ојлеровиот интерес за теоријата на броеви го поттикнал Кристијан Голдбах, негов пријател од Петроградската академија. Доста негови работи на ова поле биле засновани на делата на Пјер де Ферма. Ојлер развил некои негови идеи и утврдил неколку хипотези.

Ојлер ја поврзал природата на простите броеви со идејата на математичката анализа. Тој дошол до доказот дека сумата на реципрочната вредност на простите броеви дивергира, при што е откриена врска меѓу Римановата зета-функција и простите броеви, денес позната како Ојлерова формула за Римановата зета-функција.

Ојлер ги докажал Њутновите идентитети, малата Фермаова теорема, Фермаовата теорема за збир на квадратите и дал значаен придонес во Лагранжовата теорема за четири квадратиа. Покрај тоа, тој тој ја вовел функција φ(n), која го дава бројот на сите позитивни цели броеви помали од цел број n, кои со него се заемно прости. Со користењето на особините на оваа функција, Ојлер ја воопштил малата Фермаова теорема, а тој резултат денес е познат како Ојлерова теорема. Тој дал значаен придонес и во разбирањето на совршените броеви, кои ги фасцинирале математичарите уште од времето на Евклид, направил очигледен напредок во формулирањето на торемата за прости броеви и ја поставил хипотезата која подоцна е докажана како закон на квадратни реипротитети. Денес, тие концепти се сметаат за основни за теоремата за теорија на броеви, а Ојлер со своите идеи укажал на патот по кој подоцна продолжил Карл Фридрих Гаус.[11]

До 1772 година, Ојлер докажал дека 2^{31}- 1 = 2147483647 е (Мерсенов) прост број. Тоа бил најголемиот пресметан прост број сѐ 1867 година.[12]

Теорија на графови[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Кенигсбершки мостови.
Географска карта на Кенигсберг од Ојлерово време, која која прикажува вистински распоред на седум мостови со нагласување на текот на реката Прегел и самите мостови.

Во 1736 година, Ојлер го решил проблемот познат како Седум мостови на Кенигсберг.[13] Главниот град на Прусија, Кенигсберг, денес Калининград се наоѓал на реката Прегел и на негова територија се наоѓале и два големи речни острова, кои биле поврзани со остатокот од градот и меѓусебно со помош на седум мостови. Се поставувало прашањето дали е можно да се појде од една точка и да се врати на неа, така што секој мост да се помине точно еднаш. Тоа, според дадените услови не е можно, што значи дека Ојлеровиот пат не постои. Ова решение се смета за прва теорема на теоријата на графови, односно теоријата на планарни графови.[13]

Формулата, која ги поврзува бројот на темиња (V), рабови (E) и страни (F) на конвексен полиедар,

V-E+F=2,

исто така, е заслуга на Ојлер.[14] Константата, која се јавува во наведената формула е позната како Ојлерова карактеристика на графовите или било кој друг објект и е во блиска врска со неговиот род.[15] Изучувањето и генерализацијата на наведените формули кои ги истражувале и Коши[16] и Л'Улије,[17] биле основа на топологијата.

Аналитичка геометрија[уреди]

Ојлеровиот придонес во аналитичката геометрија се состои во формулација на равенства кои опишуваат конус, цилиндар и различни ротациони површини. Пред тоа, тој докажал дека најкраткото растојание меѓу две точки на искривена површина се претвора во отсечка, доколку таа површина се претстави на рамнина. Ојлер бил првиот математичар којшто ги проучувал сите криви заедно и темелно се занимавал со трансцеденталната функција (на пр. синусоидата).

Ојлер напишал книга за поделбата на кривите и површините. Во Вовед во анализата на бесконечно величини се наоѓа комплетна и исцрпна дискусија за поларните координати, кои се дадени во современ облик. Тој докажал и неколку теореми во општата геометрија, меѓу кои и тврдењето дека тежиштето, ортоцентарот и центарот на опишаната кружница во триаголник секогаш и припаѓаат на една иста права. Во негова чест, таа права е наречена Ојлерова права.

Применета математика[уреди]

Некои од Ојлеровите значајни достигувања ги вклучуваат: решавањето на реалните проблеми со примена на аналитички методи и опишување на многубројната примена на Бернулиевите броеви, Фуриеовите редови, Веновите дијаграми, Ојлеровите броеви, константитеe и π, верижните разложувања и интегралите. Тој направил целина од Лајбницовото диференцијално сметање и Њутновите методи на флуксија и измислил начин со кој била многу полесна примената на методите на анализата во решавањето на физичките проблеми. Ојлер направил и големи чекори во зголемувањето на нумеричката апроксимација на интегралите, така што ја вовел и употребил Ојлеровата апроксимација. Меѓу најзначајните методи се Ојлеровата метода и Ојлер-Малореновата формула. Најпосле, тој ја олеснил употребата на диференцијалните равенки, водени од т.н. Ојлер-Маскерониева константа:

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right).

Зборовите на Лаплас за Ојлер се следниве:

Читајте го Ојлер, читајте го Ојлер, тој е наш заеднички учител.[18]

Физика и астрономија[уреди]

Ојлер помогнал во развивањето на Ојлер-Бернулиевата равенка за гредата, која станала срж на инженерството. Покрај успешната примена на аналитичките алатки за проблемите во класичната математика, Ојлер, исто така, ги применувал овие техники за проблемите со небесни тела. Низ текот на неговата кариера, неговата работа во астрономијата била забележана од неколку луѓе од Париската академија. Неговите достигнувања вклучуваат дефинирање на орбитите на кометите и други небесни тела со огромна точност, а разбирајќи ја природата на кометите, тој ја пресметал паралаксата на Сонцето. Неговите пресметки, исто така, придонеле за развивање на точни табели за географска должина.[19]

Покрај тоа, Ојлер направил важни придонеси и во оптиката. Не се согласувал со Њутновата корпускуларна теорија за светлината во Opticks (Оптика), каде што тоа била главната идеја. Неговата работа од 1740 година во врска со оптиката помогнала за тоа теоријата на бранот на светлината предложена од Кристијан Хејгенс, да стане доминантен начин на размислување, сѐ до развивањето на квантната теорија на светлината.[20]

Лична философија и религиозни верувања[уреди]

Ојлер и неговиот пријател Даниел Бернули биле противници на Лајбницовиот монизам и философијата на Кристијан Волф. Ојлер инсистирал дека знаењето е пронајдено во оној дел на основата на прецизните квантитативни права, нешто што монизмот и науката на Волф не можеле да го направат. Ојлеровите потпирања на религијата можеби, исто така, придонесле за неговата одбивност кон доктрината. Тој отишол толку далеку, што идеите на Волф да ги нарекувал „пагански и атеистички“.[21]

Повеќето што се знае за религиските верувања на Ојлер е извлечено од писмата до една германска принцеза и неговата претходна работа Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (Одбрана на божественото откровение против критиките на слободните мислители). Овие дела го претставуваат Ојлер како чесен христијанин со големи познавања од та.[22] Во тој поглед, постои позната анегдота, инспирирана од аргументите на Ојлер во секуларната битка на философијата и религијата, која била одржана за време на Oјлеровото второ исклучување од академијата Св. Петербург:

Францускиот философ Дени Дидро бил во посета на Русија на покана од царицата Катарина. Но, таа била известена дека аргументите за атеизам на философот влијаат на некои членови од судот, па така го замолила Ојлер да му се спротивстави на Французинот. Дидро подоцна бил известен дека еден образован математичар пронашол доказ за постоењето на Бог и се сложил да го види доказот. Ојлер се појавил пред самиот Дидро и со тон на огромна убедливост објавил: „Господине, оттука Бог постои“. Дидро, за кој целата математика била глупост, стоел глувонемо додека звуците на кикотење се наслушнувале од судот. Засрамен, побарал да ја напушти Русија, барање коешто великодушно го одобрила царицата. Колку и да е забавна оваа анегдота, во секој случај таа е лажна, поради тоа што Дидро бил многу способен математичар, кој подоцна објавил расправа на темата претходно дискутирана со Ојлер.

Дела[уреди]

Насловна страница на Ојлеровото делоMethodus inveniendi lineas curvas (1744)
Година Дело
1736 Mechanica
1739 Tentamen novae theoriae musica
1744 Methodus inveniendi lineas curvas
1748 Introduction to Analysis of the Infinite
1755 Institutiones calculi differentialis
1756 Theoria motus corporum solidorum

Наводи[уреди]

  1. James, Ioan (2002). „Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann“. Cambridge. стр. 2. ISBN 0-521-52094-0. 
  2. Превод на Ојлеровата диплома на англиски од Иан Брус PDF (232 KiB)
  3. Calinger, Ronald (1996). „Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)“. „Historia Mathematica“ 23 (2): 156. 
  4. 4,0 4,1 Dunham, William (1999). „Euler: The Master of Us All“. The Mathematical Association of America. стр. 17. 
  5. 5,0 5,1 Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach. „A History of Mathematics“. John Wiley & Sons. стр. 439–445. ISBN 0-471-54397-7. 
  6. Wolfram, Stephen. „Mathematical Notation: Past and Future“. http://www.stephenwolfram.com/publications/talks/mathml/mathml2.html. конс. август 2006. 
  7. 7,0 7,1 -{Gerhard Wanner, Ernst Harrier}-, -{Analysis by its history}-, -{Springer}-, 2005, стр. 62
  8. -{Richard Feynman}-, -{The Feynman Lectures on Physics: Volume I}-, 1970, глава 22: Алгебра
  9. 9,0 9,1 -{David Wells}-, -{Are these the most beautiful?}-, -{Mathematical Intelligencer}-, 1990, бр. 12, стр. 37-41
    -{David Wells}-, -{Which is the most beautiful?}-, -{Mathematical Intelligencer}-, 1988, бр. 10, стр. 30-31
    Видете уште: Ivars Peterson. The Mathematical Tourist. http://www.maa.org/mathtourist/mathtourist_03_12_07.html. конс. 19 јуни 2008. 
  10. -{William Dunham}-, -{Euler: The Master of Us All}-, -{The Mathematical Association of America}-, 1999, глава 3-4
  11. Dunham, William (1999). „1,4“. „Euler: The Master of Us All“. The Mathematical Association of America. 
  12. Chris Caldwell. The largest known prime by year: A Brief History. http://primes.utm.edu/notes/by_year.html. конс. 20 јуни 2008. 
  13. 13,0 13,1 -{Gerald Alexanderson}-, -{Euler and Königsberg's bridges: a historical view}-, -{Bulletin of the American Mathematical Society}-, јули 2006, бр. 43, стр. 567
  14. -{Peter R. Cromwell}-, -{Polyhedra}-, -{Cambridge University Press}-, Кембриџ, 1997 стр. 189-190
  15. -{Alan Gibbons}-, -{Algorithmic Graph Theory}-, -{Cambridge University Press}-, Кембриџ, 1985, стр. 72
  16. -{A.L. Cauchy}-, -{Recherche sur les polyèdres—premier mémoire}-, -{Journal de l'Ecole Polytechnique}-, 1813, бр. 9, стр. 66-86
  17. -{S.A.J. L'Huillier}-, -{Mémoire sur la polyèdrométrie}-, -{Annales de Mathématiques}-, 1861, бр. 3, стр. 169-189
  18. name=strojk
  19. Youschkevitch, A P; Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970–1990).
  20. Home, R.W. (1988). „Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light“. „Annals of Science“ 45 (5): 521–533. 
  21. Calinger, Ronald (1996). „Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)“. „Historia Mathematica“ 23 (2): 153–154. 
  22. Euler, Leonhard (1960). Orell-Fussli. уред. „Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister“. „Leonhardi Euleri Opera Omnia (series 3)“ 12. 

Надворешни врски[уреди]

Wikisource
Викиизвор има оригинални дела од или за:
Wikiquote-logo.svg
Викицитат има збирка цитати поврзани со:


Ова е избрана статија. Стиснете тука за повеќе информации.
Статијата „Леонард Ојлер“ е избрана статија. Ве повикуваме и Вас да напишете и предложите избрана статија (останати избрани статии).