Транслација (геометрија)

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Транслација на четириаголникот ABCD за вектор v (Креиран со Геогебра)

Во геометријата, транслација на една фигура за даден вектор е паралелно поместување на фигурата така да секоја точка од фигурата се поместува за векторот (види анимацијата).[1]

Основна регулатива: При транслација, фигурата не е ротирана, не е превртена, и не е растегната. Само се лизга паралелно.[2]

Пресметување на координатите на фигура по транслација

Означување и пресметување[уреди]

Често пати трансформацијата транслација за вектор v се означува со: Tv.

Во рамнина: нека F е множеството на сите точки на една геометриска фигура, a нека v е вектор со почетна точка P=(xp,yp) и крајна точка Q=(xq,yq).

Го формираме соодветниот радиус вектор rv на v, т.е. r е вектор со почетна точка (0,0) и крајна точка R=Q-P:

\vec{r}_v=  каде што  r_x=x_q-x_p  и  r_y=y_q-y_p , т.е. крајната точка на r e   R=(r_x,r_y)  .

Тогаш:

T_v(F)=F+(r_x,r_y)=F+R=F' \,, \,\,\,\,F'= \{(x+r_x,y+r_y)|(x,y)\in F \} .


Пример: Нека F е триаголникот со темињата A=(2,0), B=(6,-2), C=(4,3) и v нека е векторот со почетна точка P=(1,4) и крајна точка Q=(4,8). Тогаш

\vec{r}_v=<4-1,8-4>=<3,4>  ,  R=(3,4)  и  F'=T_v(F)  е триаголникот со темињата: A'=(2,0)+(3,4)=(5,4), B'=(6,-2)+(3,4)=(9,2), C'=(4,3)+(3,4)=(7,7) (види слика).


Особини на транслација[уреди]

Транслација како трансформацијата ги има следните особини:[3]

  • Транслација е т.н. крута трансформација, т.е. по транслација, фигурата останува со иста големина и образ. Другите две крути трансформации се ротација и рефлекција.
  • Tранслацијата на една геометриска фигура и самата фигура се складни фигури.
  • По транслација, сите должини (растојанија) на фигурата остануваат не променати, т.е. транслација е изометрија.
  • По транслација, сите агли на фигурата остануваат не променати.
  • По транслација, ориентацијата на фигурата не е промената. На пример, доколку темињата на еден многуаголник се означени во правецот на часовникот, тогаш темињата на неговата транслација остануваат во правецот на часовникот.
  • По транслација, паралелни прави сеуште се паралелни и соодветните страни (отсечки) на една фигура и нејзината транслација се паралелни.
  • Две последователни транслации е повторно транслација: TuTv=Tu+v.
  • Транслација е комутативна трансформација, т.е. TuTv=TvTu.
  • Инверзната транслација на Тv е Т-v каде што -v е вектор со истата должина и правец како v, а обратната насока, т.е. Тv-v0 (нема поместување).


Обопштување[уреди]

Нека v е вектор во евклидов просторn, a r нека е соодветниот радиус вектор со крајната точка R.

  • Транслација на ℝn за v може да се разгледа како поместување на координатниот почеток во точката R.
    • На пример, за n=3, ако A е произволна точка, Тv(A)=A+R. Ова важи и за A=(0,0,0) така да Тv((0,0,0))=R.


Претставување на транслација со матрици[уреди]

Секоја транслација Tv за вектор v може да се претстави со т.н. транслациона матрица.

Множење на матрица со матрица-од-точка секогаш ја прескликува координатниот почеток во координатниот почеток. Меѓутоа, има стандарден начин како да се избегнува ова.[4]

Нека v е вектор во евклидов простор ℝ3, a r=<rx,ry,rz> нека е соодветниот радиус вектор. Ја формираме 4х4 транслациона матрица:

 T_{\mathbf{v}} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & r_x \\
0 & 1 & 0 & r_y \\
0 & 0 & 1 & r_z \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{bmatrix}

Потоа, нека A=(ax,ay,az) е произволна точка. Формираме проширана матрица-од-точка, односно 4х1 матрица:


\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
a_x \\ a_y \\ a_z \\ 1
\end{bmatrix}

Тогаш:


T_{\mathbf{v}} \mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & r_x \\
0 & 1 & 0 & r_y\\
0 & 0 & 1 & r_z\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_x \\ a_y \\ a_z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_x + r_x \\ a_y + r_y \\ a_z + r_z \\ 1
\end{bmatrix}

Значи, (како што треба) имаме:

T_v(A)=A+R=(a_x + r_x \,,\, a_y + r_y \,,\, a_z + r_z)


Наводи[уреди]

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Translation"“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 787. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  2. „Translate“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/translate.html. конс. Септември 2013.  интерактивен
  3. Bogomolny, A. (2010). „Translation Transform“ (на англиски). http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Translation.shtml. конс. Септември 2013.  интерактивeн
  4. Richard, Paul (1981). „Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators“. MIT Press, Cambridge, MA. ISBN 978-0262160827. http://books.google.com/books?id=UzZ3LAYqvRkC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false. 


Поврзани теми[уреди]

а ==Надво шни линкови==