Биномна распределба

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Биномна распределба
Binomial distribution pmf.svg
Закон на распределба (pdf)
Binomial distribution cdf.svg
Кумулативна распределба (cdf)
Тип Дискретна
Означување B(n, p )
Параметри

p∈[0,1] = веројатност успех по опит,

n∈ℕ = број повторување на опитот
Поддршка k∈{0,1,2,...,n}
PDF

f(k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}} \right){p^k}{{(1 - p)}^{n - k}}

k=0,1,2,...,n
CDF F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0\,\,\,\,\,x < 0}\\{\sum\limits_{k = 0}^{k \le x} {f(k)\,\,\,\,\,x \ge 0} }\end{array}} \right.
μ np
σ2 np(1 − p)
Асиметрија \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}
Сплоснатост \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}


Биномна распределба B(n, p ), n∈ℕ, p∈(0,1) — случаен опит во веројатностa и статистиката, кој се повторува n пати Бернулиев опит со веројатностa на успех p запишувајќи го бројот k на успеси во n-тите повторувања. [1]

Карактеристики на биномната распределба B(n,p)[уреди]

Пример: B(5,0.8).

B(5,0.8) значи биномен опит каде што се повторува n=5 пати Бернулиев опит со p=0.8. Има n+1=5+1=6 исходите, т.е. случајната променлива е X={0,1,2,3,4,5}. Елементот k=0 на Х е исходот каде што во 5-тите повторувања на Бернулиевиот опит, немали ниту еден успех, елементот k=1 е каде што имало точно еден успех, ..., а елементот k=5 е каде што во 5-тите повторувања на опитот сите биле успеси.

Во табелата се наведени сите подредени исходи (пишувајќи 0 за неуспех, а 1 за успех како обичајно за Бернулиев опит). Овие не се исходи на биномниот опит, бидејќи во опитот редоследот не е важно. Тука само гледаме на колку начини можат да се добиваат k успеси во n повторувања. На пример, има само еден начин да се добие k=0, односно сите исходи на опитот да се неуспеси 00000.

k 0 1 2 3 4 5
  00000 10000 11000 00111 01111 11111
    01000 10100 01011 10111  
    00100 10010 01001 11011  
    00010 10001 01110 01110  
    00001 01100 10011 11110  
      01010 10101    
      01001 10110    
      00110 11001    
      00101 11010    
      00011 11100    
# 1 5 10 10 5 1
  • Во последниот ред од табелата e запишан бројот на подредените исходи во таа колона. Гледаме дека тој број го следи т.н. биномниот коефициент
\# = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}
каде што знакот ! значи факторијал, т.е. n!=n·(n-1)·(n-2)...·(2)·(1) (види и комбинаторика).
  • Од друга страна, бидејќи секое повторување на Бернулиев опит е независно од минати и од идни повторувања, веројатноста на секој подреден исход со k успеси во n повторувања е
p^k \cdot(1-p)^{n-k}.

Следува дека веројатноста на секоја елемент k на Х e производот на овие два броеви, односно

Pr(X=k)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}} \right) p^k (1-p)^{n-k}

Се разбира дека може да се докаже дека збирот на веројатностите е 1.[2]

\sum\limits_k {\Pr (X = k)}  = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}} \right)} \,{p^k}{(1 - p)^{n - k}} = 1

Распределби на биномна распределба[уреди]

Закон на распределба - PDF на B(n,p)[уреди]

PDF на B(n,p)
X=k Биномен коефициент Pr(X=k)=f(k)
0 \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\0\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{0!(n - 0)!}} = 1 1 \cdot p^0 \cdot (1-p)^n=(1-p)^n
1 \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\1\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} = n n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1}=n p(1-p)^{n-1}
2 \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\2\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = \frac{n \cdot (n-1)}{2} \frac{n \cdot (n-1)}{2} \cdot p^2 \cdot p(1-p)^{n-2}
... ... ...
n \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\n\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{n!(n - n)!}} = 1 1 \cdot p^n \cdot (1-p)^0=p^n

Кумулативна распределба - CDF на B(n,p)[уреди]

Бидејќи при собирање на соодветните веројатности во општа форма не доаѓа до некоја скратена форма ги даваме само неколку.

CDF на B(n,p)
x∈ℝ F(x)
x<0 0
0≤x<1 (1-p)n
... ...
x≥n 1

Мерки на биномен опит[уреди]

E(x) = \sum\limits_j {{x_j} \cdot {p_j} = \sum\limits_{k = 0}^n {k \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}} \right)} } \,{p^k}{(1 - p)^{n - k}} = np
\sigma ^2 = \sum\limits_j  {{{({x_j} - E(x))}^2} \cdot {p_j} = np(1 - p)}

Примери[уреди]

Пример (прод.): B(5,0.8) Приказ на разпределбите, ...

PDF-от на B(5,0.8)
X=k f(k)=Pr(X=k)
0  1 · 0.80·0.25=0.0003
1  5 · 0.81·0.24=0.0064
2 10 · 0.82·0.23=0.0512
3 10 · 0.83·0.22=0.2048
4  5 · 0.84·0.21=0.4096
5  1 · 0.85·0.20=0.3277
Σ 1.0000
CDF-от на Б(5,0.8)
x F(x)
x<0 0
0≤x<1 0.0003
1≤x<2 0.0067
2≤x<3 0.0579
3≤x<4 0.2627
4≤x<5 0.6723
x≥5 1
Binomial pdf 5 80.png
Binomial cdf 5 80.png


Очекуваната вредност: E(x)=np=5·0.8=4
Дисперзијата е: σ2=np(1-p)=5·0.8·0.2=0.8
Стандарното отстапување е: σ ≈ 0.89


Пример: Еден стрелец има веројатност p=0.8 да ја погоди целта. Колку е веројатноста да во пет стрелања стрелецот ќе ја погоди целта барем 3 пати? Одговор: B(5,0.8) и 1-Pr(x<3)=1-0.0579=0.9421=94,2%.


Претставување на биномната распределба со Геогебра[уреди]

За графички приказ на PDF-от, т.е. Законот на распределба и на CDF-от, т.е. Кумулативна распределба на Биномна распределба може да се користи безплатниот софтвер Геогебра.[5]

Дефиниции специфични за биномната распределба се:

n=10    (или соодветен лизгач)

p=0.8  (или соодветен лизгач)

N=n+1

list1=Sequence[k-1,k,1,N]   Ја дефинира list1 со елементите на случајната променлива.

list2=Sequence[BinomialCoefficient[n, k] p^(k) (1 - p)^(n - k), k, 0, n]   Ја дефинира list2 со веројатностите.

Соодветните наредби на македонски (внимавате на кирилица и латиница) се:

листа1=Низа[k-1,k,1,N]

листа2=Низа[БиноменКоефициент[n, k] p^(k) (1 - p)^(n - k), k, 0, n]

Понатамошните дефиниции се исти за сите дискретни случајни променливи (види дискретна случајна променлива).


Наводи[уреди]

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Binomial distribution"“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 92. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  2. „Proof of PMF of Binomial Distribution“ (на англиски). http://www.proofwiki.org/wiki/Binomial_Distribution_PMF. конс. Ноември 2013. 
  3. „Proof of Expectation of Binomial Distribution“ (на англиски). http://www.proofwiki.org/wiki/Expectation_of_Binomial_Distribution. конс. Ноември 2013. 
  4. „Proof of Variance of Binomial Distribution“ (на англиски). http://www.proofwiki.org/wiki/Variance_of_Binomial_Distribution. конс. Ноември 2013. 
  5. Стојановска, Л. (2013). „Биномна Распределба“ (на македонски). http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/BinomnaRas. конс. октомври 2013.  интерактивен

Поврзано[уреди]

Надворешни врски[уреди]