Прејди на содржината

Прекината случајна променлива

Од Википедија — слободната енциклопедија

Во веројатноста, прекината случајна променлива (дискретна случајна променлива) е случајна променлива со конечен број или со изброив број елементи. (Случајна променлива e непрекината ако нејзиното множество на вредности е интервал или унија од интервали.)[1][2][3]

Подолу ја користиме буквата Х како „генерична ознака“ на случајна променлива. Вообичаено е да се користат големи букви од латиница како X, Y и Z за случајни променливи, а соодветните мали букви за нивни елементи.

Веројатноста на елементот х од Х се означува со Pr(Х=х) или со P(Х=х) или со P(х) или со p(х). Од основните принципи на веројатноста (види веројатност, случајна променлива):

   и   

Прекинати распределби

[уреди | уреди извор]

Случаен опит или експеримент со прекината случајна променлива се вика прекината распределба. Неколку познати прекинати распределби се:

Закон на распределба

[уреди | уреди извор]

Распределба на веројатностите кај прекината случајна променлива се вика Закон на распределба.[1] Значи Законот на распределба е приказ на веројатностите за секоја вредност на Х. Приказот може да биде табеларен, функциски или графички.

  • Кратенка за Законот на распределба е PDF (анг. Probability Distribution Function) (обично). Оваа кратенка важи и кај непрекинати прекинати променливи (анг. Probability Density Function).
  • Кај прекинатата случајна променлива, се дефинира PDF-от само за вредностите на случајната променлива, а за други реални броеви законот е недефиниран (обично).
    • За табеларен приказ на PDF-от со случајна променлива Х како насловни имиња во табелата се користат Х=х и Pr(Х=х) (за веројатностите).
    • За функциски приказ на PDF-от се користи мала буква f за функцијата, а за променливата се користи мала буква од случајната променлива. На пример, ако Х е случајната променлива, со f(x) се означува соодветниот PDF. Доколку елементите на X се подредени цели броеви, честопати се користи k наместо x и пишуваме f(k).
  • За графички приказ на PDF-от, едноставно се внесуваат точките користејќи го табеларниот приказ (веројатностите се на y-оската).
  • Од основните принципи на веројатност, збирот на сите веројатности на елементите на случајната променлива Х е 1, т.е.

Кумулативна распределба

[уреди | уреди извор]

Кумулативна распределба на една прекината случајна променлива Х е приказ на збирот на веројатностите на елементите помали и еднаква на x∈ℝ.[1] Приказот може да биде табеларен, функциски или графички.

  • Кратенка за кумулативна распределба е CDF (анг. Cummulative Distribution Function) (обично). И називот и кратенката важат и кај непрекинати прекинати променливи.
  • Се дефинира CDF-от за сите реални броеви, а не само за вредностите на Х.
    • За функциски приказ на CDF-от се користи голема буква F за функцијата, а мала буква од случајната променлива за променливата. На пример ако Х е случајната променлива, со F(x) се означува соодветниот CDF.
  • При прекината случајна променлива Х, секој елемент на Х има ненегативна веројатност, па се појавува скок во CDF. Значи CDF-от не е мазна непрекината функција!
  • Од основните принципи на веројатноста,
    • Вредноста на CDF-от пред првиот (најмал) елемент на Х е 0.
    • Вредноста на CDF-от во и после последниот (најголем) елемент на Х е 1.

Означување

[уреди | уреди извор]

Кардиналноста на едно множество А е бројот на (различните) елементи на множеството и се означува со #A.

  • Конечна случајна променлива Х: Значи #Х=N, за позитивен цел број N, N≥2.
  • Изброива случајна променлива Х: Значи Х≅ℕ

Елементите на множеството Х се реални броеви и се подредени од најмал кон најголем број.

  • Првиот елемент на Х се означува со х1, вториот елемент со х2, итн.
  • Соодветно се означуваат веројатностите, односно Pr(х1)=p1, веројатноста Pr(х2)=p2, итн.

За конечна случајна променлива X со #X=N, општа форма на табелата на Законот на распределба на X е:

PDF на X со #X=N
...
...

За изброива случајна променлива X со #X=ℕ, општа форма на табелата на Законот на распределба на X е:

PDF на X со #X=ℕ
... ...
... ...

Мерки на прекината случајна променлива

[уреди | уреди извор]

Очекувана вредност

[уреди | уреди извор]

Очекувана вредност E(x)

 односно 

Поради соодветноста на формулите, честопати наместо „очекувана вредност“ се користи и терминот аритметичка средина од статистиката како и означување μ.

Дисперзија (варијанса)

[уреди | уреди извор]
 односно 

Стандардно отстапување

[уреди | уреди извор]

Пример: Опитот е: Фрлање на фер коцка со десет страни и запишување на резултатот (на горната страна).

Соодветна прекината (конечна) случајна променлива е X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Бидејќи е фер коцка, сите исходи, т.е. сите N=10 елементи на Х се еднаквоможни со веројатност 1/10=0,1. (Ова е рамномерната распределба U(10).)

PDF на опитот CDF на опитот
X=x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f(x) 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
x∈ (-∞,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9,10) [10,∞)
F(x) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
PDF-от на опитот (Геогебра)
PDF-от на опитот (Геогебра)
CDF-от на опитот (Геогебра)
CDF-от на опитот (Геогебра)
Очекуваната вредност: E(x) = N+1/2=10+1/2 = 11/2 = 5,5
Дисперзијата: σ2 = (N²-1)/12 = (10²-1)/12 = 99/12 = 8,25
Стандардното отстапување: σ ≈ 2,87

Забелешка: floor е математичка функција од ℝ во ℤ со floor(x)=„најголемиот цел број не поголем од х“.[4]

Пример: Опитот е: Гаѓање по цел сè додека не погоди со веројатност на погодок p=0,6. Се запишува бројот на гаѓања.

Соодветен прекината (изброива) случајна променлива е: X={1,2,3,...,n,...}, т.е. X=ℕ. Веројатноста е: Pr(X=n)=0,4n-1·0,6. (Ова е геометриската распределба G(0,6).)

PDF на опитот CDF на опитот
X=k 1 2 3 ... 12 ...
Pr(X=k)=f(k) 0,6 0,24 0,096 ... 0,000 ...
x∈ (-∞,1) [1,2) [2,3) [3,4) ... [12,13) ...
Pr(X<x)=F(x) 0 0,6 0,84 0,936 ... 1,000 ...
PDF-от на опитот (Геогебра)
PDF-от на опитот (Геогебра)
CDF-от на опитот (Геогебра)
CDF-от на опитот (Геогебра)
Очекуваната вредност: E(x) = 1/p=1/0,6 = 1,667
Дисперзијата: σ2 = (1-p)/p² = (1-0,6)/0,6² = 1,111
Стандардното отстапување: σ = 1,054

Претставување на прекината распределба со Геогебра

[уреди | уреди извор]

Првите три дефиниции зависат од опитот. Сите дефиниции се внесуваат во полето за внос.

  • N=кардиналноста на Х (доколку е изброив, се избере некој конечен број).
  • list1=„X“
  • list2=„Pr(Х=x)“

Следните дефиниции се исти за сите прекинати случајни променливи.[5]

  • list3=Sequence[(Element[list1,k],Element[list2,k]),k,1,N] Точките од Законот на распределбата. (PDF)
  • list4=Sequence[Sum[Take[list2, 1, k]], k, 1, N] Кумулативните вредности.
  • list5=Sequence[(Element[list1,k], Element[list4, k]), k, 1, N] Левите точки на отсечките. (CDF)
  • list6=Sequence[(Element[list1,k+1], Element[list4, k]), k, 1, N-1] Десните точки на отсечките.
  • list7=Sequence[Segment[Element[list5, k], Elementlist6, k, k, 1, N-1] Внатрешните отсечки. (CDF)
  • a=Segment[(Element[list1,1]-5,0),(Element[list1,1],0)] Почетната отсечка. (CDF)
  • b=Segment[(Element[list1, Length[list1]], 1), (Element[list1, Length[list1]] + 5, 1)] Крајната отсечка. (CDF)

Соодветните наредби на македонски (внимавајте на латиница и кирилица).

  • N=кардиналноста на Х (доколку е изброив, се избира некој конечен број).
  • листа1=„X“
  • листа2=„Pr(Х=x)“
  • листа3=Низа[(Елемент[листа1,k],Елемент[листа2,k]),k,1,N] PDF[6][7]
  • листа4=Низа[Сума[ПодЛиста[листа2, 1, k]], k, 1, N] Кумулативните вредности.[8][9]
  • листа5=Низа[(Елемент[листа1,k], Елемент[листа4, k]), k, 1, N] Левите точки на отсечките. (CDF)
  • листа6=Низа[(Елемент[листа1,k+1], Елемент[листа4, k]), k, 1, N] Десните точки на отсечките.
  • листа7=Низа[Отсечка[Елемент[листа5,k],Елементлиста6,k, k, 1, N-1] Внатрешните отсечки. (CDF)[10]
  • a=Отсечка[(Елемент[листа1,1]-5,0),(Елемент[листа1,1],0)] Почетната отсечка. (CDF)
  • b=Отсечка[(Елемент[листа1, Должина[листа1]],1),(Елемент[листа1, Должина[листа1]]+5,1)] Крајната отсечка. (CDF)[11]
  1. 1,0 1,1 1,2 Montgomery, D.; Runger, G. (2010). Applied statistics and probability for engineers, 5th ed., Chapter 3 (англиски). Wiley. стр. 784. ISBN 978-0470053041.
  2. Yates, D.; Moore, D.; Starnes, D. (2010). The practice of statistics, 4th ed., Chapter 7 (англиски). Freeman,NY. стр. 728. ISBN 978-1429245593.
  3. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Discrete random variable“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 660. Посетено на 1 септември 2013.
  4. „Floor and ceiling functions“ (англиски). Wikipedia.org. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
  5. Стојановска, Л (2013). „Рамномерна Распределба - Дискретена“. Архивирано од изворникот на 2016-03-05. Посетено на October 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
  6. Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Низа“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
  7. Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Елемент“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
  8. Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Сума“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
  9. Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Подлиста“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
  10. Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Отсечка“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
  11. Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Должина“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

Поврзани теми

[уреди | уреди извор]

Надворешни врски

[уреди | уреди извор]
  • Leemis, L. (2007). „Univariate distribution relationships“ (англиски). William and Mary, VA, USA. Посетено на October 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
  • Bogomolny, Alexander (2007). „Sample Spaces“ (англиски). cut-the-knot.org. Посетено на October 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)[мртва врска] интерактивен