Паралелограм

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Паралелограм
Romboid std.svg
Во паралелограм спротивни страни се исти.
Тип Четириаголник
Рабови и темиња 4
Симетриска група C2
Плоштина a·h
Својства конвексен

Во геометријата, паралелограм е четириаголник со два пара паралелни страни.

  • Основна регулатива: Еден паралелограм е потполно определeн со должините на две соседни страни и големината на аголот помеѓу нив.
Четириаголник е паралелограм ако и само ако спротивните страни се исти (складни).[1]

Овој факт се користи при стандардно означување на четирите типови паралелограми.[2][3]

  • Ромбоид: паралелограм каде што соседни страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
  • Ромб: паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина.
  • Правоаголник: паралелограм каде што четирите внатрешни агли се прави, т.е. по 90°.
  • Квадрат: паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина и четирите агли се прави, т.е. по 90°.
Romboid std.svg Romb std.svg Pravoagolnik std.svg Kvadrat std.svg
Ромбоид Ромб Правоаголник Квадрат


Формули и особини за паралeлограм[уреди]

  • Eдниот пар на паралелни страни се "земат" за основи и (обично) се ознвачуваат со a. Обичајно е да се земаат хоризонталните (или најхоризонталните или најдолгите) страни за основи. Често пати се користи зборот должина.
  • Другиот пар на паралелни страни се викаат краци и (обично) се ознвачуваат со b.
  • Растојанието помеѓу основите се вика висина и (обично) се означува со h (или ha за да се разликува од другата висина hb меѓу краците). Растојанието помеѓу краците исто така е висина на паралелограмот, но во однос на краците, па затоа специјално се означува со hb.


Нека е даден паралелограм со основа a, крак b, висина h (меѓу основите) и агол α помеѓу а и b.

Romboid vis.svg
Висина h меѓу основите

Периметар

L = 2a + 2b

Плоштина е: должина по висина односно основа по висина

P = a \cdot h .    Попрецизно: P = a \cdot h_a  и  P = b \cdot h_b


  • Плоштина на еден паралелограм се одредува со основа и висина. Меѓутоа, само со тие информации, паралелограм не е еднозначно определен, односно постојат безбројно многу различни паралелограми со иста основа и висина. Иститие ја имаат истата плоштина, а различни периметари. [4]
  • Бидејќи секоја страна на паралелограм е и трансверзала на другите паралелните страни, според Претпоставката за паралелност секој пар соседни внатрешни агли се суплементни, т.е. се собираат до 180°.[2]
  • Бидејќи секој паралелограм е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
  • Од сумплементност на соседни агли следува дека спротивни агли се исти (складни).
  • Секоја дијаголнала е и трансверзала, па го дели паралелограмот на два складни триаголници. Следува дека двата пара паралелни страни се склади (со иста должина).[1]
  • Пресечната точка на дијаголналите е средината на двете дијагонали. Со други зборови,
Дијагоналите на паралелограм се преполовуваат.[5]
Kарактеристики на паралелограми
Romboid paralelni.svg Romboid agli sup w.svg Romboid diag prep.svg Romboid ha.svg
Два пара паралелни страни. Соседни агли се суплементни. Дијагоналите меѓусебно се преполовуваат. Висина h=ha меѓу основите.
Romboid def.svg Romboid diag.svg Romboid triagolnik8.svg Romboid hb.svg
Спротивни страни се складни. Спротивни агли се складни. Дијагонали на паралелограм. Дијагонали и средни линии на паралелограм. Висина h=hb меѓу краците

Висина

h_a= b \cdot \sin(\alpha)   и   h_b= a \cdot \sin(\alpha)


Дијагонали (каде што дијагоналата d1 минува низ аголот α)

d_1 = \sqrt{ a^2+b^2+2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) }   и   d_2 = \sqrt{ a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) } [6]


Пример: Нека е даден паралелограм со основа a=5km, и крак b=3km и агол α=30° помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2a+2b=16km, висина е h=b·sin(α)=1,5km и плоштината е P=ah=7,5km2.


Пример: Нека е даден паралелограм со основа a=5km, и крак b=2.5km и агол α=37° помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2a+2b=15km, висина е h=b·sin(α)≈1,5km и плоштината е P=ah≈7,5km2.


Карактеризации на паралелограм[уреди]

Конвексен четириаголник е паралелограм ако и само ако било кој од следните искази е вистинит[7][8]

  • Двата пара на спротивни страни се еднакво должни.
  • Двата пара на спротивни агли се со еднаква големина.
  • Дијагоналите се сечат во нивните средни точки.
  • Еден пар на спротивни страни се паралелни и се еднакво должни.
  • Соседните агли се суплементни.
  • Секоја дијаголална го дели четириаголникот во два склади триаголници.
  • Збирот на квадрати на страните е еднаков на збирот на квадратите од дијагоналите (закон на паралелограм).


Впишана и опишана кружница на паралелограм[уреди]

  • Паралелограм нема впишана кружница освен ако е ромб (или квадрат).[9]
  • Паралелограм нема опишана кружница освен ако е правоаголник (или квадрат).[8]


Симетрија[уреди]

Осна симетрија[уреди]

Види ги поедничните типови на паралелограми.

Вртежна симетрија[уреди]

Паралелограм при ротација 360°/2=180° се добива истиот паралелограм.

  • Ромбоид, ромб и паравоаголник има вртежна симетрија од 2-ри ред (180°).
  • Квадрат има вртежна симетрија од 4-ти ред (90°).


Обопштување на паралелограм[уреди]


Paralelogram vektori.gif
Пресметување плоштина на паралелограм со детерминанта

Паралелограми и вектори, матрици, детерминанти[уреди]

  • Еден паралелограм е потполно определен со два вектори со истата почетна точка. (Четвртата точка е крајната точка на збирот на векторите.)


Во линеарна алгебра, апсолутната вредност на детерминанта на 2х2 матрица A е плоштина на паралелограм формиран со соодветните радиус-вектори.

{{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}} & {{a_{12}}} \\ {{a_{21}}} & {{a_{22}}} \end{array}} \right]
Соодветните радиус-вектори се
{{\vec r}_1} =  < {a_{11}},{a_{12}} > , \,\,\,{{\vec r}_2} =  < {a_{21}},{a_{22}} >
Соодветните темиња на паралелограмот се
A=(0,0),\,\, B=(a_{11},a_{12}),\,\, C=(a_{11}+a_{21},a_{12}+a_{22}),\,\, D=(a_{21},a_{22})
Плоштина Р на паралелограмот со темиња A, B, C, D e (апсолутната вредност на)
 det(A) = \left| {\begin{array} {*{20}{c}} {{a_{11}}} & {{a_{12}}} \\ {{a_{21}}} & {{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}} \cdot {a_{22}} - {a_{21}} \cdot {a_{12}}

Доколку имаме паралелограм ABCD каде што А≠(0,0), формираме складен паралелограм EFGH со транслација -А така да Е=А-А=(0,0), F=B-A, G=C-A и H=D-A. Потоа со детерминанта се пресмета плоштината на EFGH која е иста со плоштината на паралелограмот ABCD (плоштините на складни 2-димензионални геометриски фигури се исти).

Ова својство се обопштува до 3-димензии, односно за волумен на паралелопипед преку мешан производ како и во повисоки димензии.


Наводи[уреди]

  1. 1,0 1,1 Kleyn, I.. „Opposite sides of a parallelogram are equal“ (на англиски). algebra.com. http://www.algebra.com/algebra/homework/Parallelograms/Opposite-sides-of-a-parallelogram-are-equal.lesson. конс. Септември 2013. 
  2. 2,0 2,1 C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (на англиски). Addison-Wesley. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  3. „Parallelogram“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/parallelogram.html. конс. Септември 2013.  интерактивен
  4. Стојановска, Л. (2010). „Паралелограм“ (на македонски). http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Paralelogram. конс. Септември 2013.  интерактивен
  5. Kleyn, I.. „Properties of the diagonals of parallelograms“ (на англиски). algebra.com. http://www.algebra.com/algebra/homework/Parallelograms/Properties-of-diagonals-of-parallelograms.lesson. конс. Септември 2013. 
  6. Kleyn, I.. „The length of diagonals of a parallelogram“ (на англиски). algebra.com. http://www.algebra.com/algebra/homework/word/geometry/The-length-of-diagonals-of-a-parallelogram.lesson. конс. Септември 2013. 
  7. Byer, Owen; Lazebnik, Felix; Smeltzer, Deirdre (2010). „Methods for Euclidean Geometry“. Mathematical Association of America. стр. 51-52. 
  8. 8,0 8,1 Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), „10. Cyclic quadrilaterals“, „The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition“, Research in mathematics education, IAP, стр. 22, ISBN 978-1-59311-695-8 
  9. Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006). „Mathematical Olympiad Treasures“. Birkhäuser. стр. 64–68. ISBN 978-0817682521. .


Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]