Трансверзала (геометрија)

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Нека a и b се две прави во рамнина. Трета права која ги пресекува a и b во две посебни точки се вика трансверзала (или пресечка) на a и b.

Во Евклидова геометрија, Претпоставката за паралелност вели дека две прави се паралелни само ако пар ненапоредни, внатрешни агли од истата страна на било која трансверзала се суплементни.[1] (Ваков пар агли се викаат соседни агли на трансверзала.)
Transverzala def.svg Transverzala 8.svg   Transverzala nonparallel.svg Transverzala parallel.svg
Трансверзала t на две прави Осум агли на трансверзала.
(Накрсни агли секогаш се складни.)
  Трансверзала на непаралелни прави. Соседни агли не се суплементни. Трансверзала на паралелни прави. Соседни агли се суплементни.


Агли на трансверзала[уреди]

Со трансверзала се формираат 8 агли.

  • 4 со секоја од двете прави, имено α, β, γ и δ па α1, β1, γ1 и δ1.
  • 4 се внатрешни (помеѓу двете прави), имено α, β, γ1 и δ1 и 4 се надворешни, имено α1, β1, γ и δ.
  • Има два пара соседни агли, имено парот α и δ1 и парот β и γ1. Како што рековме, Евклидова претпоставка за паралелност веле дека правите се паралелни ако било кој од ова пара на агли се дадени и се докажуваат дека се суплементни. (Потоа од дефиниција на права и особини на накрсни агли и аглите на другиот пар исто така е суплементни.)
  • Трансверзала која ги пресекува паралелни прави под прав агол се вика нормална трансверзала. Во овој случај сите 8 агли се прави агли. [2]


Кога правите се паралелни, трансверзала дава повеќе пара на складни и суплементни агли. Некои од овие пара имаат свои имиња.[3] Од ова, следува дека аглите формирани со трансверзала низ паралелни прави имаат значително важни особини. Од друга страна, трансверзала низ непаралелни прави нема никакви посебни особини во елементарна математика, па затоа често пати со самиот збор трансверзала се претпоставуа дека пресечните прави се паралалелни.[4]


Paralelni transverzala cor.svg
Еден пар согласни агли. Со паралелни прави, аглите се складни.

Согласни агли[уреди]

Согласни агли ги викаме оние парови аглите кои:

  • немаат заедничко теме
  • лежат на иста страна од трансверзалата
  • едниот е внатрешен, а другиот надворешен агол. [5]

Во нашиов пример, согласни агли се следниве парови агли:

  • α и α1
  • β и β1
  • γ и γ1
  • δ и δ1

Кога правите не се паралелни, овие парови немаат меѓусебна врска.

Основна регулатива: Правите се паралалени ако и само ако било кој пар согласни агли формиран од било која трансверзала се складни, т.е. се со иста големина.

Ова следува од Претпоставката за паралелност користејќи ги особините на накрсни и суплементни агли. Исто така доколку аглите од еден пар согласни агли се складни, тогаш и аглите од сите други парови се складни. Значи со паралелни прави: α=α1, β=β1, γ=γ1 и δ=δ1.


Paralelni transverzala alt.svg
Еден пар наизменични агли. Со паралелни прави, аглите се складни.

Наизменични агли[уреди]

Наизменични агли ги викаме оние парови аглите кои:

  • немаат заедничко теме
  • лежат на различни страни од трансверзалата
  • двата се внатрешни, или двата се надворешни агли [6]

Во нашиов пример, наизменични агли се следниве парови агли:

  • Двата агли се внатрешни:
    • α и γ1
    • β и δ1
  • Двата агли се надворешни:
    • δ иβ1
    • γ и α1

Кога правите не се паралелни, овие парови немаат меѓусебна врска.

Основна регулатива: Две прави се паралалени ако и само ако било кој пар наизменични агли формиран од било која трансверзала се складни, т.е. се со иста големина.

Ова следува од Претпоставката за паралелност користејќи ги особините на накрсни и суплементни агли. Исто така доколку аглите од еден пар наизменични агли се складни, тогаш и аглите од сите други парови се складни. Значи со паралелни прави: α=γ1, β=δ1, γ=α1 и δ=β1.


Paralelni transverzala4.svg
Еден пар соседни агли. Со паралелни прави, аглите се сумплементни.

Соседни агли[уреди]

Соседни агли ги викаме оние парови аглите кои:

  • немаат заедничко теме
  • лежат на иста страна од трансверзалата
  • двата се внатрешни

Во нашиов пример, соседни агли се следниве парови агли:

  • α и δ1
  • β и γ1

Кога правите не се паралелни, овие парови немаат меѓусебна врска.

Основна регулатива: Две прави се паралалени ако и само ако било кој пар соседни агли формиран од било која трансверзала се суплементни, т.е. се собираат до 180°.

Оваа регулатива е всушност Претпоставката за паралелност. Значи, со паралелни прави: α+δ1=180° и β+γ1=180°.


Други карактеристики на трансверзали[уреди]

Ако три прави во општа положба формираат триаголник, тогаш шести отсечки формирани од трансверзала која минува низ нив ја задоволуваат Теоремата на Менелаус.


Поврзани теореми[уреди]

Претпоставката 5 на Евклид е Претпоставка за паралелност и вели: Ако збирот на големините на две внатрешни ненапоредни агли кои лежат на истата страна на една трансверзала се собираат до помалку од две прави агли, тогаш правите некаде се сечат. [7]

Претпоставката 27 на Евклид е следната: Ако трансверзала пресекува две прави така на внатрешните наизменични агли се складни, правите се паралелни. Доказот е со доведување до противречност: Ако правите не се паралелни, тогаш се сечат и се формира триаголник. Во тој случај, еден од еднаквите наизменичните агли е надворешен агол на триаголникот и е еднаков на спротивниот внатрешен агол на триаголник. Оваа е противречност на Претпоставката 16 која вели дека надворешен агол на триаголник секогаш е поголема од спротивниот внатрешен агол.[8][9]

Претпоставката 28 на Евклид го обопштува овој резултат на два начини. Прво, ако трансверзала минува низ две прави така да согласните агли се складни, правите се паралелни. Второ, ако трансверзала минува низ две прави така да соседни агли, т.е. внатрешните агли на истата страна од трансверзала се суплементни, правите се паралелни. Ова следува од фактот дека накрсни агли се складни (Претпоставка 15) и напоредните агли на една права се суплементни (Претпоставка 13). Како што забележи Proclus, Евклид даде само три од можните шест вакви критериуми за паралелни прави.[10][11]

Претпоставката 29 е спротивниот изказ на претходните две. Прво, ако трансверзала минува низ две паралелни прави, тогаш наизменичните внатрешни агли се складни. Доказот е со доведување до противречност: Ако аглите не се складни, тогаш еден е поголем од другиот. Од ова следува дека суплементниот агол на едниот е помал од суплементниот агол на другиот и има два соседни агли, т.е. внатрешните агли на истата страна од трансверзала се суплементни, кои се собираат до помалку од две прави агли, што е противречност на Претпоставката 5 (претпоставката за паралелелност). Претпоставката продолжува со изказ дека со трансверзала на паралелни прави и согласните агли се складни. Доказот е аналоген.[12][13]

Се гледа дека доказите на Евклид значително ја користат претпоставката на паралелност (Претпоставка 5). Меѓутоа, современа геометрија ја користат Аксиомата на Плејфер Playfair's axiom која вели „За дадена права m и точка А која не лежи на правата, постој една единствена права која минува низ А и е паралелна со m“. На пример, за да се докаже Претпоставката 29 користејќи ја Аксиомата на Плејфер исто така претпоставиме дека на две паралелни прави, наизменичните внатрешни агли на трансверзала не се складни. Конструираме трета права која минува низ пресечната точка А на првата права со трансверзала таква да наизменичните внатрешни агли на третата и втората се складни. Значи и третата права е паралелна со втората права, а првата и третата права минува низ А која е противречност на единственоста на таква права од Аксиомата[14][15]


Литература[уреди]

  1. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“. Addison-Wesley. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf.  стр.582 (англиски)
  2. „Transversal“. Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/transversal.html.  интерактивен (англиски)
  3. Rod Pierce (2011). „Parallel Lines“. MathisFun. http://www.mathsisfun.com/geometry/parallel-lines.html.  интерактивен (англиски)
  4. „Transversal“. Math Open Reference. http://mathopenref.com/transversal.html.  (англиски)
  5. http://mathematicspace.pbworks.com/Согласни-агли (македонски)
  6. http://mathematicspace.pbworks.com/Наизменични-агли (македонски)
  7. Heath стр.308, забелешка 1
  8. Heath стр.307
  9. Види и Holgate статија 88
  10. Heath стр.309-310
  11. Види и Holgate статија. 89-90
  12. Heath стр.311-312
  13. Види и Holgate статија. 93-95
  14. Heath стр.313
  15. Сличен доказ е даден во Holgate статија 93
  • Holgate, Thomas Franklin (1901). „Elementary Geometry“. Macmillan. 
  • Thomas Little Heath, T.L. (1908). „The thirteen books of Euclid's Elements“. The University Press. 


Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]