Права (геометрија)

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Означување на права
Бројна оска - права во 1Д

Во геометрија, права или права линија се опишува како бесширинска, бескрајно долга, совршено права линија, на која лежат бесконечно многу точки.[1]

  • Геометриско права е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина. Права цртана со молив има мала ширина и висина, па затоа велиме дека таа претставува геометриско права.
  • Геометриско права нема краеви, т.е. таа продолжува на двата смерови бескрајно. Ова својство може да се означува цртeјќи стрелки на двете краеви од правата (но не мора). Поради ова својство, права има бескрајна должина.
  • Во Евклидовата геометрија, права потполно се определува со две посебни точки А и B на неа, т.е. по цртање или дефинирање на две точки, постои една единствена права која врви низ нив.
  • Три или повеќе точки кои лежат на една (иста) права се нарекуваат колинеарни.
  • Најчесто цртаме права во 2-димензионален простор односно рамнина, на пример, на лист хартија која по своја природа е 2-димензионален простор (рамнина). Меѓутоа, прави постојат и во 3-димензионално простор и нивно реално претставување ни е јасно. За да претставиме права од 3-димензионален простор на 2-димензионална површина, на пример за "цртаме" коцка на хартија користиме т.н. проекција. Можеби најпознатата ваква проекција е изометрична проекција која е користена на оваа страница секаде каде што се црта 3-димензионален простор.
  • Потаму, права може математички, т.е. само со броеви и математички симболи, да се дефинира како објект, не само во 2-димензионален и 3-димензионален простор, туку и во 4-ти и повисоко димензионални простори каде што неможеме да цртаме (види подолу).
  • Единствената права во 1-димензионален простор е бројната оска.
  • Права нацртана во 2-димензионален простор (рамнина) може да биде вертикална, хоризонтална или коса, а права во рамнина која не е вертикална се вика линеарна функција. Во 2-димензионален простор, две прави можат да бидат паралелни, што значи дека не можат да се сретнат, да се совпаѓаат во сите точки, или пак да се сечат во една и само една точка. Види систем линеарни равенки.


Означување на права[уреди]

Означување на права, полуправа и отсечка
  • Права која врви низ точките А и В се означува со:  \overset{\longleftrightarrow}{AB}  или само со АВ. Права нацртана без посебно да се означаат две точки, на пример права цртана со линијар обично се означува со мала буква како у или p. Меѓутоа, да забележиме дека ваква линиарска права неможе да се нацрта со математички софтвер (на пример Геогебра). Со нив најпрво мора да се определат две точки, па потоа правата која врви низ нив. Доколку сакаме правата да изгледа линиарска, треба да се кријат точките, со што изгледа дека нема определувачки точки. Меѓутоа, доколку се брише било која од определувачките точки, автоматско и правата ќе се брише.
  • Дел од права помеѓу две посебни (дистинктни) точки А и В на една права се вика отсечка и се означува со \overline{AB} . Отсечка има одредена должина која е и најкраткото растојанието помеѓу точките А и В. За објаснување околу вклучување (или не) на крајните точки А и В во самата отсечка (види и отсечка).
  • Дел од права која започнува во една точка А, врви низ друга (дистинктна) точка В, па потоа продолжува во тој смер безкрајно се вика полуправа и обично се означува со \overrightarrow{AB}  (види и полуправа).



Голем круг како најкраток пат од Њујорк до Лисабон [2] [3][4]

Прави во други простори[уреди]

Идејата на права како геометриски објект со која дадени две точки се поврзуваат по најкраткиот пат се проширува и во други простори освен стандардните правоаголни простори како што е рамнина. На пример, простор може да биде сфера како површината на земјата (без внатрешноста). Прави линиии во овој простор се т.н. големи кругови т.е. кругови чиј центар е центарот на земјата (сферата). Вакви геометрии имаат многу интересни спроти-иннтуитивни последици. На пример, правата помеѓу два градови, односно најкраткиот пат е по големиот круг кој врви низ двата градови, а не e „директниот“ пат како што се гледа на 2Д карта. Види Голем круг[5]


Три прави во рамнина(црвената и кафеавата го имаат истиот наклон; црвената и зелената ја имаат истата пресечна точка со у-оската.

Формули за равенка на права во правоаголни координати[уреди]

Во рамнина: вертикална права[уреди]

Равенка на вертикална права во рамнина која врви низ точката (с,0) на х-оската е: x = c . Меѓутоа, равенката x=c нацртана во 3Д простор не е права, туку е рамнината која врви низ точката (с,0,0) и е паралелна со y-z рамнината. Види линеарна равенка.


Во рамнина: хоризонтална права[уреди]

Равенка на хоризонтална права која врви низ точката (0,с) на у-оската е: y = c . Меѓутоа, равенката y=c нацртана во 3Д простор е рамнината паралелна со x-z рамнината која врви низ точката (0,с,0). Види линеарна равенка.


Во рамнина: низ две точки[уреди]

Равенката на права која врви низ две точки: А(x1,y1) и B=(x2,y2) во експлицитен облик e:     y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x - x_1) + y_1


Во рамнина: низ точка и е паралелна со права со наклон а[уреди]

Равенката на права која врви низ една точки: А(x1,y1) и е паралелна со правата y=ax+b односно со наклон а:     y= a \cdot (x - x_1) + y_1


Во рамнина: низ точка и е нормална со права со наклон а[уреди]

Равенката на права која врви низ една точки: А(x1,y1) и е нормална со правата y=ax+b односно со наклон а:     y=\frac{-1}{a} \cdot (x - x_1) + y_1


Забелешка: Бидејќи погорните равенки се во експлицитен облик (т.е. решени по y), по заменување на координатите на дадените точки и средување, само една равенка е можна.


3Д права во векторски облик
3Д права како пресек на две рамнини

Во 3Д простор: низ точка и е паралелна со радиус вектор <a,b,c>[уреди]

Равенката на права која врви низ точка: А(x1,y1,z1) и е паралелна со (ненулти) радиус вектор < a, b, c > задена во векторски облик e:    {\mathbf{X}(t)} = <{x_1},{y_1},{z_1}> + t \cdot <{a},{b},{c}>  ,   t \in \Re  


Радиус векторот    \overrightarrow{v}=< a , \,  b ,  \, c >   се вика насочен вектор на правата. Насочен вектор не е уникатен, односно за било кој реален број k, k≠0 и   k \cdot \overrightarrow{v}=< k \cdot a , \,  k \cdot b ,  \, k \cdot c >   исто така e насочен вектор на истата права. Од тоа следува дека ниту една равенка на права во 3-димензионален простор не е уникатна.


Во 3Д простор: низ две точки[уреди]

Равенката на права која врви низ две точки: А(x1,y1,z1) и B=(x2,y2,z2). Се пресметуваат компонентите на насочен вектор на правата:    \overrightarrow{v}=<a,b,c>, \,\,\, { a = (x_2-x_1)}, \, { b = (y_2-y_1)} , \, { c = (z_2-z_1)}.

  • Параметарски облик е:   \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x(t) = {x_1}+{a}t }\\ {y(t) = {y_1}+{b}t }\\{z(t) = {z_1}+{c}t } \end{array}} \right.  ,  t \in \Re[6][7]


  • Облик на симетрични равенки е:     \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}

Потаму, често пати во 3Д простор се дефинира права како пресек на две рамнини, односно како систем на две линеарни равенки во три променливи (x,y,z). [8]


Во n-димензионален правоаголен простор[уреди]

Равенката на права која врви низ две точки: A(x1,1,x1,2,...,x1,n) и B(x2,1,x2,2,...,x2,n) во параметарски облик и во векторски облик е:
   Параметарски: \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x_1(t) = x_{1,1} + {a_1} t } \\ {x_2(t) = x_{1,2} + {a_2} t } \\ \vdots \\ {x_n(t) = x_{1,n} + {a_n} t }  \end{array}} \right.    или Векторски: \mathbf{X}(t) = <{x_{1,1}},{x_{1,2}},...,{x_{1,n}}> + t \cdot <{a_1},{a_2},\, ...,{a_n}>    каде што    { a_j = (x_{2,j}-x_{1,j})}, \, j=1,...,n.


Историја на права[уреди]

Идејата на права или права линија беше воведена од древни математичари за да претставуваат прави објекти со занемарлива ширина и висина. Прави се идеализација на такви објекти. Поради тоа, пред седумнаестиот век, прави се дефинирале на следниот начин: "Права е прв вид на квантитет, која има само една димензија, имено должина, без ширина или висина и не е ништо повеќе од тек на точката која […] ќе замина од свој имагинарен почеток движејќи некоја должина, без да се шири. […] Права е тоа што равномерно се шири помеѓу свои точки."[9][10]


Наводи[уреди]

  1. Math Open Reference (2009). „Lines“ (на англиски). http://www.mathopenref.com/line.html. конс. септември 2013.  интерактивен
  2. Vaness, Chris (2010). „Calculate distance, bearing and more between Latitude/Longitude points“ (на англиски). http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html. конс. септември 2013. 
  3. „Length Of A Degree Of Latitude and Longitude Calculator“ (на англиски). CSG, Computer Support Group, Inc. and CSGNetwork.Com. 1973-2013. http://www.csgnetwork.com/degreelenllavcalc.html. конс. септември 2013. 
  4. Duisenberg, Ken. „Ken's Puzzle of the Week: Formula for calculating disatnce along a fixed latitude“ (на англиски). http://ken.duisenberg.com/potw/archive/arch01/010821sol.html. конс. септември 2013. 
  5. Rodrigue, Jean-Paul Rodrigue (2010). „The Geography of Transportation“ (на англиски). Dept. of Global Studies & Geography , Hofstra University, New York, USA. http://people.hofstra.edu/geotrans/eng/ch1en/conc1en/greatcircle.html. конс. септември 2013. 
  6. Dawkins, P. (2009). „Paul's Online Math Notes“ (на англиски). стр. 138. http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/EqnsOfLines.aspx. конс. септември 2013. 
  7. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 822. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. септември 2013. 
  8. Стојановска, Л. (2011). „Равенка на права како пресек на две рамнини (YouTube)“ (на македонски). YouTube. http://www.youtube.com/watch?v=YiGk-bM9juY&list=PL796F1A70718C5085. конс. септември 2013. 
  9. In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude. […] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses poincts." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
  10. „Line (geometry)“ (на англиски). Wikipedia. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Line_(geometry). конс. септември 2013. 


Поврзани теми[уреди]


Надворешни врски[уреди]