Линеарна равенка

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај


Во математиката, линеарна равенка е полиномна равенка од прв степен. Истата може да има 1, 2, 3, или повеќе променливи. Меѓутоа, бидејќи е полином од прв степен, секој член од равенката е или константа или константа по променлива (без никакви експоненти). [1][2][3]

На пример: Ax=B \,\, , А≠0 е линеарна равенка во една променлива х. Коефициентите А и В се константи, односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а останува само x како променлива.

Зборот линеарна се однесува на тоа дека степенот на полиномот е еден, а не на графикот на множеството решенија на равенката. На пример, 3x=6 e линеарна равенка во една променлива со решение х=2, т.е. точка на бројната оска. Множеството решенија на линеарна равенка во две променливи е права во рамнина (2-димензионален простор), а множеството решенија на линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор (3-димензионален простор). Множеството решенија на линеарна равенка во повеќе од три променливи е т.н. (n-1)-димензионална хиперрамнина во n-димензионален хиперпростор (што значи дека неможеме да го цртаме).[4]

Забелешка: Линеарна равенка во 2 променливи е линеарна функција (во стандарден облик), па поради тоа често пати доаѓа до заблуда помеѓу поимите.


Линеарни равенки и нивни решенија
Една променлива х Две променливи х и у Три променливи х, у и z
Ax=B
А ≠0
Ax+By=C
А, B ≠0
Ax+By+Cz=D
А, B, C ≠0
2x=6 -x+2y=6 3x-2y+3z=6
точка на бројна оска права во рамнина рамнина во 3Д простор
Wiki linearna ravenka 1va.png Wiki linearna ravenka 2va.png Wiki linearna ravenka 3va.png

Множеството решенија на една линеарна равенка го дели „просторот“ на две полупростори: Во првиот пример бројот х=3 ја дели бројната оска на два дела (лево од х=3 и десно од х=3), во вториот пример правата -x+2y=6 ја дели рамнината на два дела (над и под правата) и во третиот пример рамнината 3x-2y+3z=6 го дели тридимензионалниот простор на два дела (лево и десно од жолтата рамнина. Ова својство се користи при решавање на линеарни неравенки.

Поформално, линеарнa равенкa во n променливи x1, x2, ..., xn е имплицитна зададена функција A1x1+A2x2+...+An-1xn-1+Bxn=C, која може на единствен начин да се напише во експлицитен облик xn:Rn-1R каде што xn=1B(C-A1x1+A2x2+...+An-1xn-1).

Векторски облик на линеарна равенка во n променливи е: \mathbf{A} \cdot \mathbf{X}=C    односно   [\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1}}&{{A_2}}&{...}&{{A_n}]}\end{array}  \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1}}\\{{x_2}}\\ \vdots \\{{x_n}}\end{array}} \right] = C.

Означување: Во зависност од дисциплината во која се работи, во општата равенка, константниот коефициент може да се појави од десната страна (како тука) или од левата страна, т.е. наместо Ax+By=C  се пиши  Ax+By+C=0. Ова е само формална разлика, но при работа треба да се внимава кој облик е користен при одредување на вредноста, односно знакот на константниот коефициент.

Забелешка: Решението на систем n линеарни равенки во n променливи (непознати) е секогаш точка во n-димензионален простор (доколку системот е конзистентен), т.е. систем 1 линеарна равенка во 1 непозната е точка на бројната оска, систем 2 линеарни равенки во 2 непознати е пресек на две прави, т.е. точка во рамнина (најпознатиот случај), а систем 3 линеарни равенки во 3 непознати е пресек на три раминин, т.е. точка во простор. Види:Систем линеарни равенки.


Дефиницијата на линеарна равенка може да се обопштува до полето на комплексни броеви. На пример 3z+2i=6-i е линеарна равенка во една комплексна променлива, при што решението е комплексниот број: z=2-i. [5]


Наводи[уреди]

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 479. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  2. Weisstein, Eric W. „Linear Equation“ (на англиски). MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LinearEquation.html. конс. Септември 2013. 
  3. Stapel, Elizabeth. „"Solving One-Step Linear Equations"“ (на англиски). Purplemath. http://www.purplemath.com/modules/solvelin.htm. конс. Септември 2013. 
  4. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 542. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  5. „Complex Linear Equation“ (на англиски). SeeTheSolutions. http://www.seethesolutions.net/practice-exams-topic/166/. конс. Септември 2013. 


Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]