Нормални прави

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Во геометријата, две прави во рамнина се (меѓусебно) нормални ако се сечат под прав агол, т.е. агол со 90°.[1] Оваа дефиниција има два дела: (а) нормални прави се сечат и (б) четирите агли кои се формират со пресекот се по 90°.

  • Две отсечки во рамнина се нормални ако правите на кои лежат отсечките се нормални. На истиот начин се дефинира нормалност на сите комбинации на права, полуправа и отсечка.
  • При цртање, за да се означи дека две прави се нормални се црта симбол за прав агол кај пресекот на двете прави. Во РМ се користи мал лак со точка, а друго означување е со мало квадраче.[2].
Normalni pravi1.svg Normalni pravi 4.svg Normalni otsecki1.svg Normalni otsecki2.svg Normalni pravi oznaki.svg
Нормални прави. Нормални прави
формираат 4 прави агли.
Нормални отсечки. Означување на прав агол (нормалност).

Означување[уреди]

Симбол за нормалност е  \perp . На пример, AB \perp CD значи дека правите AB и CD се нормални. Симболот се совпаѓа со булов симбол за невистинит, но контекстот е сосема различен така да не се мешат.

  • Нормалност како паралелност е симетрична особина, односно  AB \perp CD  е еквивалентно со  CD \perp AB , па затоа едноставно велиме дека AB и CD се нормални.
  • За разлика од паралелност, нормалност не е транзитивна особина. На против, ако  AB \perp CD  и  CD \perp EF  тогаш   AB \parallel EF .


Во уникод, симболот за нормалност на вашиот тековен прелистувач се прикажува со и е уникод бројот 8869. Соодветните хексадецимален број се 22а5. На веб страна, т.е. во ХТМЛ се внесува ⊥ или &#x22а5;.[3] За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x.[4] Во уникод има и симболи ⊾ () и ∟ ().

Во LaTeX, симболот  \perp   за нормалност се добиваат со командата \perp која е дел од пакетот wasysym.

Во Геогебра, симбол при цртање на прав агол се менува во Опции -> Напредно -> Ознак за прав агол, па се избере точка.

Нормални прави и наклон[уреди]

Во алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик y=ax+b, тогаш коефициентот a на x е наклонот на правата.

Основна регулатива: Две прави се нормални ако и само ако производот на нивните наклони е -1. [5]

Пример: Правите y= -3x+2 и y =x/3+2 се нормални бидејќи наклонот на првата права е a1= -3, а наклонот на втората права е a2=1/3 така да a1·a2= -3·1/3 = -1.

Пример: Правите 2x-y+3=0 и x-2y-1=0 не се нормални бидејќи производот на нивните наклони е 2·1/2=1 (а не -1).


  • Две прави се нормални само ако едната има позитивен наклон, а другата има негативен наклон.
  • Ако правата m е нормална на правата n, a правата n е нормална на правата p, тогаш правите m и p или се паралелни или се совпаѓаат (т.е. наклоните им се исти).
Доказ: Нека наклон на m e a. Од нормалноста на m и n, наклонот на n е -1/a. Од нормалноста на n и p, наклонот на p е
 \frac{-1}{ \left( \tfrac{-1}{a} \right) }=\frac{1}{ \left( \tfrac{1}{a} \right) }=a.


Нормала на права низ точка во рамнина[уреди]

Normala.gif
Конструкција на нормала на права низ точка која не лежи на правата со Геогебра. Види и навода![6]

Конструкција со шестар и линијар[уреди]

Една од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права нормална со дадена права m која минува низ дадена точка C која лежи/не лежи на m.[7]

  1. Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата (види наводи за точка на права).
  2. Означи ја точката со буквата С.
  3. Доколку нема, означи две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
  4. Со шестар нацртај една кружница со радиус АС и центар А.
  5. Со шестар нацртај друга кружница со радиус ВС и центар В.
  6. Означи ја другата пресечна точка D на двете кружници (едната пресечна точка е С).
  7. Нацртај ја правата CD која минува низ двете пресечни точки.

Правата CD врви низ С и е нормална на правата АВ.


Алгебарска равенка[уреди]

Нека е дадена точка C со координати С=(p,q) и права

y = ax+b \,

Равенката на права која минува низ С(p,q) и е нормална на дадената права е

y = \frac{-1}{a}(x-p)+q \,


Доказ: Наклонот на дадената права е a. Според основната регулатива, наклонот на (било која) нормала е -1/a. Значи бараната нормала го има тој наклон, а минува низ точката (p,q). (Види и Формули за равенка на права.)

Пример: Равенката на нормалата на правата y=3x+2 која минува низ точката (-1,-1) е: y=-x/3-4/3.


Нормала и растојание[уреди]

Нормали се користат за пресметување на растојание помеѓу геометриски објекти.

Растојание помеѓу точка и права во рамнина[уреди]

За да се пресмета растојание помеѓу точка C=(p,q) и права m, најпрво треба да се најде равенката на правата n која е нормална на правата m, а минува низ точката C. Потоа треба да се најдат координатите на прeсечната точка D на правите n и m. Тогаш растојанието помеѓу С и m е растојанието помеѓу точките С и D.

Пример: Нека точката C=(-4,2), a правата m нека е дадена експлицитно y=x/2-1. Тогаш наклон на правата m e ½, така да наклонот на нормалата n е

\frac{-1}{\tfrac{1}{2}}=-2

со што равенката на n e

y=-2(x-(-4))+2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\,y=-2x-6

Пресекот на правите m и n е решение на систем линеарни равенки

\left\{ \begin{array}{l} y = \tfrac{x}{2} - 1\\ y =  - 2x - 6 \end{array} \right.

Решението е D(-2,-2). Растојанието помеѓу точките С и D е

 \delta  = \sqrt{( - 4 - ( - 2))^2 + (2 - ( - 2))^2}  = \sqrt{( - 2)^2 + 4^2}  = \sqrt {20}  \approx 4,47

Следува дека растојанието помеѓу точката С и правата m е ≈4,47

Растојание помеѓу две паралелни прави во рамнина[уреди]

Види паралелни прави

Растојание во 3Д простор[уреди]

Види аналитичка геометрија


Нормали на крива[уреди]

Во математичката дициплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод. Да претпоставиме дека y=f(x) е реална функција од една реална променлива и е диференцијабилна во точката xo и дека вредноста на функцијата во таа точка е yo=f(xo), а вредноста на изводот во таа точка е y'o=y'(xo).

Тогаш равенката на тангентата на функцијата во таа точка е

T:\,\,\, y=y_o^'(x-x_o)+y_o

а равенката на нормалата на функцијата во таа точка е[8]

N:\,\,\, y=\frac{-1}{y_o^'}(x-x_o)+y_o


Норманлност и вектори[уреди]

Основна регулатива: Во аналитичка геометрија, два радиус-вектори се нормални ако и само ако нивниот скаларен производ е 0. (Види и аналитичка геометрија.)


Нормалност во 3Д простор[уреди]

  • Во 3-димензионален простор, права и рамнина се нормални ако правата и рамнината се сечат во една точка А и правата е нормална со секоја права од рамнината која минува низ А.

Права зададена во параметарски (векторски, вектор-параметарски) облик е

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x(t) = {x_1}+{a}t }\\ {y(t) = {y_1}+{b}t }\\{z(t) = {z_1}+{c}t } \end{array}} \right.  ,  t \in \Re

Рамнина зададена во општ облик е

Ax+By+Cz=D


Регулатива: Правата и рамнината се нормални ако радиус-векторите <a,b,c> и <A,B,C> се колинеарни (линеарно зависни), односно ако

\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}


Формула: Равенка на рамнина која е нормална со радиус-вектор <a,b,c>, а врви низ точката C(xo,yo,zo) e

a(x-x_o)+b(y-y_o)+c(z-z_o)=0


Нека се дадени две рамнини во општ облик, односно

Ax+By+Cz=D
A_1x+B_1y+C_1z=D_1


Регулатива: Рамнините се нормални ако радиус-векторите <A,B,C> и <A1,B1,C1> се нормални, односно ако нивниот скаларен производ е 0.

A \cdot A_1 + B \cdot B_1 + C \cdot C_1 = 0


Обопштување[уреди]

Нормалност како поим во елементарна геометрија се обопштува во поимот ортогоналност во класична математика.


Наводи[уреди]

  1. Math Open Reference (2009). „Perpendicular lines“ (на англиски). http://www.mathopenref.com/pеrpendicular.html. конс. Септември 2013.  интерактивен }
  2. Pierce, R. (2012). „Symbols in Geometry“ (на англиски). Math is Fun. http://www.mathsisfun.com/geometry/symbols.html. конс. Септември 2013. 
  3. „Unicode Entity Codes for Math“ (на англиски). 2013. http://symbolcodes.tlt.psu.edu/bylanguage/mathchart.html. конс. Септември 2013. 
  4. „Unicode Input“ (на англиски). Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Unicode_input. конс. Септември 2013. 
  5. Math Open Reference. „Perpendicular lines (Coordinate geometry)“ (на англиски). http://www.mathopenref.com/coorpеrpendicular.html. конс. Септември 2013.  интерактивен
  6. Институт за Геогебра на МКД. „Конструкција на нормала низ точка која лежи на права“ (на македонски). http://geogebramkd.wikispaces.com/Конструкција+на+нормала. конс. Септември 2013. 
  7. Math Open Reference (2009). „Constructing a perpendicular line through a given point with compass and straightedge“ (на англиски). http://mathopenref.com/constperplinepoint.html. конс. Септември 2013.  интерактивно
  8. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 555. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 


Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]