Паралелни прави

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Две паралелни прави во рамнина

Во геометријата, две (различни) прави се паралелни ако лежат во иста рамнина и растојанието помеѓу нив останува исто по целата нивна должина. [1]

Еквиваленто, две прави во рамнина се паралелни ако никогаш не се пресекуваат, т.е. немаат ниту една заедничка точка.

При цртање, за означување на паралелност, односно дека две прави се паралелни, наједноставно е да се црта нормална отсечка меѓу правите и да се означува со два прави агли.

Обопштување: Во тридимензионален простор, права и рамнина или две рамнини се паралелни ако немаат ниту една заедничка точка. За ова и други обопштувања види паралелност.

Означување[уреди]

Симбол за паралелност е \parallel . На пример, AB \parallel CD значи дека правата AB е паралелна со правата CD.

  • Паралелност е симетрична особина, односно AB \parallel CD е еквивалентно со CD \parallel AB, па затоа едноставно велиме дека AB и CD се паралелни.
  • Паралелност е транзативна особина. Aко  AB \parallel CD  и  CD \parallel EF  тогаш   AB \parallel EF 

Симбол за паралелност е уникод бројот 8741, а симбол за непаралелност е уникод бројот 8742. Соодветните хексадецимални броеви се 2225 и 2226. На веб страна, т.е. во ХТМЛ се внесува ∥ или ∥ за паралелност и ∥ или ∦ за непаралелност.[2] За внесување на овие симболи во текст уредувачите на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска на Alt+x.[3]

Во LaTeX, ознаките се добиваат со командата \parallel  \parallel  или \not\parallel  \not\parallel  која е дел од пакетот wasysym.


Конструкција со шестар и линијар[уреди]

Paralela-400.gif
Конструкција на паралела на права низ точка која не лежи на правата со Геогебра.[4]

Една од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права паралелна со дадена права m која минува низ дадена точка C која не лежи на m.[5]

  1. Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата.
  2. Означи ја точката со буквата С.
  3. Доколку нема, означај две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
  4. Нацртај права t која минува низ А и C. Таа ќе биде трансверзала помеѓу правите.
  5. Со шестар нацртај една кружница со радиус АС и центар С.
  6. Означи ја другата пресечна точка на t со оваа кружница со буквата D.
  7. Со шестар нацртај друга кружница со радиус АB и центар С.
  8. Со шестар нацртај трета кружница со радиус CB и центар D.
  9. Означи една од пресечни точки на втората и третата кружница со буквата Е.
  10. Нацртај права CЕ која минува низ двете пресечни точки.

Правата CЕ врви низ С и е паралелна на правата АВ.


Паралелни прави и наклон[уреди]

Во алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик како y=ax+b, тогаш коефициентот a на x е наклонот на правата.

Основна регулатива: Две прави се паралелни ако го имаат истиот наклон и обратно. Види наклон.

Пример: Правите y=3x+2 и y=3x-3 се паралелни бидејќи наклонот на двете прави е a=3.

Пример: Правите y=x+3 и y=-2x+3 не се паралелни, бидејќи наклонот на првата права е a=1, а на втората права е a=-2 (двете прави врват низ точка (0,3), т.е. го имаат истиот пресек со y-оската).


Паралелни прави и систем на линеарни равенки[уреди]

Во алгебра, линеарна равенка со две непознати е равенка на права во рамнина. Решение на систем на две линеарни равенки со две непознати се сите точки кои лежат на двете прави. Доколку нема ниту едно решение, правите се паралелни и обратно. (Доколку се совпаѓаат правите тогаш сите точки од правата се решенија (безбројно многу решенија)). Доколку се сечат правите, тогаш пресечната точка е единственото решение на системот. Види Систем линеарни равенки).

Пример: Системот y=3x+2 и y=3x-3 нема ниту едно решение. Значи правите се паралелни.

Пример: Системот y=x+3 и y=-2x+3 го има едно единствено решение (0,3), т.е. правите не се паралелни.


Растојание помеѓу две паралелни прави[уреди]

Растојание помеѓу две паралелни прави (црна и плава). Искршената црвена права е нормала!

По дефиниција на паралелни прави, растојанието помеѓу две паралелни прави останува исто по целата нивна должина, така да ова растојание е еднозначно определен број. Од друга страна, две паралелни прави го имаат истиот наклон.

y = ax+b_1\,
y = ax+b_2\,,

Растојание помеѓу овие две паралелни прави

\delta = \frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{a^2+1}}\,

Доказ: (без тригонометрија) За пресметување на растојание потребни се две точки кои се пресеците на (било која) нормална на двете прави и поедничните прави. За поедноставност ја земеме нормалата која врви низ пресекот на втората права со у-оската, т.е. точката (0,b2) така да оваа точка е и пресекот на нормалата со втората права. За другата точка C, ни треба пресекот на оваа нормала со првата права. Равенката на нормалата n e: y=(-1/m)x+b2 (види права).

\begin{cases}
y = \tfrac{-1}{a}x+b_2 \\
y = ax+b_1
\end{cases}

Решението на овој систем е точката

C=(\frac{a(b_2-b_1)}{a^2+1},\frac{a^2\,b_2+b_1}{a^2+1})

Растојанието помеѓу правите е растојанието помеѓу точките (0,b2) и C e

\delta = \sqrt{\left(-a \cdot \tfrac{b_2-b_1}{a^2+1}\right)^2 + \left(\tfrac{b_2-b_1}{a^2+1}\right)^2} = \frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{a^2+1}}\,.

Доказ: (со тригонометрија): Наклонот a=tan(θ), a растојанието помеѓу правите е δ=|b2-b1| · cos(θ). Формулата следува од основниот тригонометриски идентитет: tan2(θ)+1=1/cos2(θ).


Формули со паралелни прави[уреди]

Нека е дадена точка С со координати С=(p,q) и права во експлицитен облик

y=ax+b

Равенка на права која е паралелна на дадената права, а минува низ дадената точка С е

y=a(x-p)+q


Пример: Дадена е правата y=2x-3 и точка С=(-2,-3). Равенката на права која е паралелна со дадената права и минува низ точката С е: y=2x+1


Трансверзала и паралелни прави[уреди]

Види трансверзала.


Наводи[уреди]

  1. „Parallel lines“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/parallel.html. конс. Септември 2013.  интерактивен
  2. „Unicode Entity Codes for Math“ (на англиски). 2013. http://symbolcodes.tlt.psu.edu/bylanguage/mathchart.html. конс. Септември 2013. 
  3. „Unicode Input“ (на англиски). Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Unicode_input. конс. Септември 2013. 
  4. Институт за Геогебра на МКД. „Конструкција на паралелна права низ точка која не лежи на права“ (на македонски). http://geogebramkd.wikispaces.com/Конструкција+на+паралела. конс. Септември 2013. 
  5. „Construct Parallel Line“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://mathopenref.com/constparallel.html. конс. Септември 2013.  интерактивен


Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]