Теорија на веројатноста

Теорија на веројатност е математичко изучување на веројатноста.

Математиката ја предочува веројатноста на некој настан (чие настапување е случајно) како реален број од затворениот интервал од 0 до 1. Веројатностите $P(A)$ им се препишуваат на настани $A$ според аксиомите на веројатноста.

Веројатноста дека тој настан $A$ ќе се случи под услов на познатото случување на настанот $B$ е условна веројатност на $A$ под услов $B$; неговата нумеричка вредност е $P(A \cap B)/P(B)$ (сè додека $P(B)$ не е нула). Ако условната веројатност на $A$ под услов $B$ и иста што и („безусловната“) веројатност на $A$, тогаш $A$ и $B$ се нарекуваат независни настани. Дека оваа релација помеѓу $A$ и $B$ е симетрична, може веднаш да се види преку фактот дека тоа е исто што и $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ каде A и B се независни настани.

Два клучни концепти во теоријата на веројатноста се случајната променлива и распределбата на веројатноста на случајна променлива.

Поапстрактен поглед на веројатноста

Математичарите обично ја сметаат теоријата на веројатноста за изучување на простори на веројатноста и случајни променливи — пристап воведен од Колмогоров во 1930-тите. Простор на веројатност е секоја тројка $(\Omega, \mathcal F, P)$, каде

• $\Omega$ е празно множество (наречено „примерочен простор“), секој од чии членови се смета за потенцијален исход на еден експеримент. На пример, ако треба да извлечеме случајни 100 гласачи од сите гласачи и ги прашаме за кого ќе гласаат, тогаш множеството на сите низи на 100 гласачи би бил примерочниот простор Ω.

• $\mathcal F$ е σ-алгебра на подмножества на $\Omega$ - неговите членови се наречени „настани“. на пример, множеството од сите низи од 100-те гласачи во кое најмалку 60 ќе гласаат за Х се поистоветува со „настанот“ во кој најмалку 60 од 100-те избрани гласачи ќе гласаат така. Да се каже дека $\mathcal F$ е σ-алгебра подразбира по дефиниција дека содржи $\Omega$, дека комплементот на секој настан е настан, и дека унијата од било која (конечна или бесконечна) низа на настани е настан.

• $P$ е мера на веројатност на $\mathcal F$, т.е., мера кај која $P(\Omega)=1$.

Треба да се спомене дека $P$ е функција дефинирана на $\mathcal F$, а не на $\Omega$, и често не сочинуваат ни булеан $\mathcal F=\mathbb P (\Omega)$. Не секое множество исходи претставува настан.

Ако $\Omega$ е преброиво множество, тогаш речиси секогаш го дефинираме $\mathcal F$ како булеан на $\Omega$, т.е. $\mathcal F=\mathbb P (\Omega)$ кој тривијално е σ-алгебра и можеме да го создадеме најголемото со $\Omega$. Така, во дискретен простор можеме да го испуштиме $\mathcal{F}$ и да напишеме само $(\Omega, P)$ за да го дефинираме. Во друг случај, ако $\Omega$ е непреброиво множество и користиме $\mathcal F=\mathbb P (\Omega)$, тогаш се јавува проблем со дефинирањето на мерата на веројатноста $P$ заради тоа што $\mathcal{F}$ е премногу ,голем', т.е. пречесто ќе се јавуваат множества на кои би било незовможно да им се препише уникатна мера, отворајќи проблеми како Банах-Тарсковиот парадокс. Значи мораме да користиме помала σ-алгебра $\mathcal F$ (на пр. Борелова алггебра на $\Omega$, која е најмалата σ-алгебра со која сите отворени множества се измерливи).

Случајна променлива $X$ е измерлива функција на $\Omega$. На пример, бројот на гласачите кои ќе гласаат за Х од споменатиот примерок од 100 е случајна променлива.

Ако $X$ е било која случајна променлива, нотацијата $P(X \ge 60)$, е стенографија за $P(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \ge 60 \})$, под претпоставка дека „$X \ge 60$“ е „настан“.

За алгебарската алтернатива на Колмогоровиот пристап, видете алгебра на случајни променливи.

Бибилографија

• Pierre Simon de Laplace (1812) Analytical Theory of Probability
• Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) Foundations of the Theory of Probability
• Harold Jeffreys (1939) The Theory of Probability
• Edward Nelson (1987) Radically Elementary Probability Theory
• Patrick Billingsley: Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
• Henk Tijms (2004) Understanding Probability