Теорија на веројатноста

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Дијаграм на можните комбинации при фрлање на две коцки

Теорија на веројатноста — гранка на математиката која се занимава со изучување на веројатноста, односно анализа на случајни појави.

Математиката ја предочува веројатноста на некој настан (чие настапување е случајно) како реален број од затворениот интервал од 0 до 1. Веројатностите P(A) им се препишуваат на настани A според аксиомите на веројатноста.

Веројатноста дека тој настан A ќе се случи под услов на познатото случување на настанот B е условна веројатност на A под услов B; неговата нумеричка вредност е P(A \cap B)/P(B) (сè додека P(B) не е нула). Ако условната веројатност на A под услов B и иста што и („безусловната“) веројатност на A, тогаш A и B се нарекуваат независни настани. Дека оваа релација помеѓу A и B е симетрична, може веднаш да се види преку фактот дека тоа е исто што и P(A \cap B) = P(A)P(B) каде A и B се независни настани.

Два клучни концепти во теоријата на веројатноста се случајната променлива и веројатносен распоред на случајна променлива.

Поапстрактен поглед на веројатноста[уреди]

Математичарите обично ја сметаат теоријата на веројатноста за изучување на простори на веројатноста и случајни променливи — пристап воведен од Колмогоров во 1930-тите. Простор на веројатност е секоја тројка (\Omega, \mathcal F, P), каде

  • \Omega е празно множество (наречено „примерочен простор“), секој од чии членови се смета за потенцијален исход на еден експеримент. На пример, ако треба да извлечеме случајни 100 гласачи од сите гласачи и ги прашаме за кого ќе гласаат, тогаш множеството на сите низи на 100 гласачи би бил примерочниот простор Ω.
  •  \mathcal F е σ-алгебра на подмножества на \Omega - неговите членови се наречени „настани“. на пример, множеството од сите низи од 100-те гласачи во кое најмалку 60 ќе гласаат за Х се поистоветува со „настанот“ во кој најмалку 60 од 100-те избрани гласачи ќе гласаат така. Да се каже дека \mathcal F е σ-алгебра подразбира по дефиниција дека содржи \Omega, дека комплементот на секој настан е настан, и дека унијата од било која (конечна или бесконечна) низа на настани е настан.

Треба да се спомене дека P е функција дефинирана на \mathcal F, а не на \Omega, и често не сочинуваат ни булеан \mathcal F=\mathbb P (\Omega). Не секое множество исходи претставува настан.

Ако \Omega е преброиво множество, тогаш речиси секогаш го дефинираме \mathcal F како булеан на \Omega, т.е. \mathcal F=\mathbb P (\Omega) кој тривијално е σ-алгебра и можеме да го создадеме најголемото со \Omega. Така, во дискретен простор можеме да го испуштиме \mathcal{F} и да напишеме само (\Omega, P) за да го дефинираме. Во друг случај, ако \Omega е непреброиво множество и користиме \mathcal F=\mathbb P (\Omega), тогаш се јавува проблем со дефинирањето на мерата на веројатноста P заради тоа што \mathcal{F} е премногу ,голем', т.е. пречесто ќе се јавуваат множества на кои би било незовможно да им се препише уникатна мера, отворајќи проблеми како Банах-Тарсковиот парадокс. Значи мораме да користиме помала σ-алгебра \mathcal F (на пр. Борелова алггебра на \Omega, која е најмалата σ-алгебра со која сите отворени множества се измерливи).

Случајна променлива X е измерлива функција на \Omega. На пример, бројот на гласачите кои ќе гласаат за Х од споменатиот примерок од 100 е случајна променлива.

Ако X е било која случајна променлива, нотацијата P(X \ge 60), е стенографија за P(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \ge 60 \}), под претпоставка дека „X \ge 60“ е „настан“.

За алгебарската алтернатива на Колмогоровиот пристап, видете алгебра на случајни променливи.

Бибилографија[уреди]

  • Pierre Simon de Laplace (1812) Analytical Theory of Probability
  • Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) Foundations of the Theory of Probability
  • Harold Jeffreys (1939) The Theory of Probability
  • Edward Nelson (1987) Radically Elementary Probability Theory
  • Patrick Billingsley: Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
  • Henk Tijms (2004) Understanding Probability

Поврзано[уреди]