Трапез

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Трапез
Trapez1 w.svg
Трапез има две паралелни страни
Тип Четириаголник
Рабови и темиња 4
Плоштина h · (a+b)/2

Во геометрија, трапез е конвексен четириаголник со точно еден пар паралелни страни. Има три 'типови' на трапези.[1]

  • Општ трапез: непаралелните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
  • Рамнокрак трапез: Непаралелните страни се со еднаква должина.
  • Правоаголен трапез: Има точно два внатрешни агли по 90°.
Trapez1 w.svg Trapez2 w.svg Trapez iso w.svg Trapez prav w.svg
Трапези Рамнокрак трапез Правоаголен трапез
  • Паралелните страни се викаат основи и (обично) се означуваат со a и b. (За полесно означување земеме a>b.)
  • Непаралелните страни се викаат краци и (обично) се означуваат со c и d
  • Растојанието помеѓу паралелните страни се вика висина и (обично) се означува со h.


Формули и особини за општ трапез[уреди]

Нека е даден трапез со основи (паралелни страни) a и b, со краци c и d и со висина h.


Периметар

L = a + b + c + d


Плоштина

P = \frac{(a+b)}{2}\cdot h
  • Бидејќи секој трапез е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
  • Плоштина на еден трапез се одредува со должините на двете основи и висината. Меѓутоа, само со тие информации, трапез не е еднозначно определен, односно постојат безбројно многу различни трапези со истите основи и висина.
  • Бидејќи секој крак на трапез е и трансверзала на паралелните основи, внатрешните агли кај секој крак се суплементни, т.е. се собираат до 180°.
  • Исто така, бидејќи секој крак е трансверзала, основите на трапез не се еднакви: ab. (Доколку a=b, четириаголникот би имал два пара на паралелни страни, па би бил паралалелограм, а не трапез.)
  • Еден трапез е потполно определeн со должините на четирите страни (и знаење кои страни се паралелни). Mеѓутоа од секоја комбинација на четири должини не се добива трапез (види подолу).


Висина [2]

h= \frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|a-b|}


Основна регулатива: Трапез со основи a и b и краци c и d постои ако и само ако h постои, т.е. ако и само ако подкорениов израз во погорната формула за h е позитивен број.[3]


Во подолните примери, a и b се основите (паралелните страни).

Пример: Нека е a=12m, b=10m, и h=6m. Плоштината на ваков трапез е: P=66m2. Meѓутоа, трапезот неможе еднозначно да се определи, а и периметарот L не е одредлив.

Пример: Нека е a=19mm, b=8mm, c=7mm и d=6mm. Користејќи ја формулата за висина h, подкорениов израз е 5760>0 и h=3,45 (приближно). Периметарот e L=40mm, a плоштината e P=46.57mm2 (приближно)

Пример: Нека е a=19mm, b=7mm, c=4mm и d=5mm. Користејќи ја формулата за висина h, подкорениов израз е -9009<0. Нема трапез со овие димензии.


Терминологија[уреди]

Во САД и Канада се користи зборот трапезоид (trapezoid) за трапез, а зборот трапезиум (trapezium) за трапезоид (без паралелни страни).[4] Надвор од САД и Канада, англиските зборови ја имаат обратното значење, а истите се слични/исти со зборовите користени низ Европа вклучувајќи и Р.М., односно се користи зборот трапезиум за трапез, а зборот трапезоид за трапезоид.[1]


Рамнокрак трапез[уреди]

Трапез во кој непаралелните страни се складни, т.е. со истата должина се вика рамнокрак трапез. Во рамнокрак трапез, внатрешните агли кај секоја основа се еднакви (складни). Рамнокрак трапез е потполно определен ако се знае должината на едната основа и големина/должина на две од α, h, d, или a-b каде што α е било кој агол, h е висината , c е (било кој) крак и a-b е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината b-a може да се знае и должината на другата основа.

Пример: Нека е a=9cm, h=3cm и α=45° нека e аголот помеѓу a и c. Тоѓаш (a - b)/2 = h/tan(45°) = 3cm/1 = 3cm и a - b=6cm и b=3cm. c = h/sin(45°) = 3√2 cm =4,24cm. Горните внатрешни агли се по 180°-45°=135°.

Пример: Нека е a=5cm, h=3cm и α=45° нека e аголот помеѓу a и c. Тоѓаш (a - b)/2 = h/tan(45°) = 3cm/1 = 3cm и a - b=6cm и b= -1cm. Таков трапез не постои.


Правоаголен трапез[уреди]

Трапез кој има точно два внатрешни агли по 90° се вика правоаголен трапез. Од суплементноста на внатрешните агли на секој крак на трапез следува да прави агли доаѓаат во парови, т.е. ако еден внатрешен агол е прав агол, тогаш и другиот агол на тој крак е прав. Меѓутоа, четириаголник со 4 прави агли е правоаголник, а истиот има два пара на паралелни страни, а во Р.Македонија таков четириаголник не се смета за трапез (се бара точно еден пар паралелни страни.)

Правоаголен трапез е потполно дефиниран ако се знае должината на едната основа и големина/должина на две од α, h, d, или a-b каде што α е било кој од неправите агли, h е висината (и едниот крак), d е косиот крак и a-b е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината b-a може да се знае и должината на другата основа.


Пример: Нека е a=7cm, d=4cm и α=30° e аголот помеѓу a и d. Тоѓаш a-b = d · sin(30°) = 4cm · 0,5 = 2cm и b=5cm; h=d · cos(30°) = 2√3cm =3,46cm. Четвртиот агол е 180°-30°=150°.


Trapez iso2 w.svg Trapez right2 w.svg   Trapez1 midline w.svg
Рамнокрак трапез Правоаголен трапез   Средна линија m на трапез


Плоштина, средна линија и висина на трапез[уреди]

Отсечката која ги сврзува средините точки на краците (непаралелните страни) на еден трапез се вика средна линија.

  • Средната отсечка е паралелна со паралелните страни на трапезот.
  • Должината на средната линија m е половина од збирот на основите a и b:
m = \frac{a + b}{2} \cdot h


Плоштината Р на трапез со средна линија m:

P = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h


Плоштината Р на трапез со основи a, b и краци c и d:

P = \frac{a+b}{4|a-b|}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}.


Кога една од паралелните страни "се смалува" на точка (на пример b = 0), трапезот "станува" триаголник со страни 'a, c и d и погорната формула се редуцира на Херонова формула за плоштина на триаголник. [5]

Еквивалентна формула за плоштина која повеќе личи на Херонова формула е:[2]

P = \frac{a+b}{|a-b|}\sqrt{(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)},   каде што   s = \tfrac{1}{2}(a + b + c + d)   е полупериметар на трапезот.


Трапез и неговите дијагонали (Геогебра интерактивност)[6]

Дијагонали на трапез[уреди]

Должините на дијагоналите се:[2]

p= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ac^2+bd^2}{a-b}}
q= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ad^2+bc^2}{a-b}}


Карактеризации на трапез[уреди]

За даден конвексен четираголник, следните особини се еквивавалентни и се и доволен услов да четириаголникот има барем еден пар паралелни страни:

  • Има два соседни агли кои се суплементни, т.е. се собираат до 180°.
  • Аголот помеѓу една страна и една дијагонала е еднаков на аголот помеѓу обратната страна и истата дијагонала.
  • Дијагоналите се сечат под истиот однос. (Овој однос е ист со односот помеѓу должините на паралелните страни).
  • Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар се слични.
  • Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар ја имаат истата плоштина.[7]:Prop.5


Понатаму, на еден трапез:

  • Средините точки на основите (паралелните страни) и пресекот на дијагоналите се колинеарни.[7]:Thm.15
  • Отсечката која ги спојува средните точки на основите ја дели плоштината на половина.


Друго[уреди]

Во калкулус и нумеричка математика се користи така наречениот метод на трапези за приближно пресметување на површина под позитивна рамнинска крива, односно за приближно пресметување на определен интетрал на соодветната функција f:R->R во одреден интервал.


Тежиште, односно центар на маса или центроид на трапез со униформна густина е пресекот на отсечката која ги спојува средните точки на основите и правата паралелна со основите која е на растојание x од поголемата основа каде што:[8]

x = \frac{h}{3} \left( \frac{a+2b}{a+b}\right).


Литература[уреди]

  1. 1,0 1,1 C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“. Addison-Wesley. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf.  стр.791 (англиски)
  2. 2,0 2,1 2,2 „Trapezoid“. MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Trapezoid.html. 
  3. „Quadrilateral Formulas“. The Math Forum, Drexel University. 2012. http://mathforum.org/dr.math/faq/formulas/faq.quad.html.  (англиски)
  4. „Trapezoid“. Math Open Reference. http://www.mathopenref.com/trapezoid.html.  интерактивен (англиски)
  5. Aryabhatiya, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.66, ISBN 978-81-7434-480-9 (marathi)
  6. Л.Стојановска. „Трапез - Интерактивност 3“. http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Trapez.  (македонски)
  7. 7,0 7,1 Martin Josefsson, "Characterizations of trapezoids", Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35. (англиски)
  8. „efunda: Трапез и физика“. http://www.efunda.com/math/areas/Trapezoid.cfm.  Пристапен 2013-09-05. (англиски)


Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]