Правоаголник

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Правоаголник
Pravoagolnik std.svg
Правоаголник е четириаголник со 4 еднакви агли (по 90°)
Тип Четириаголник
Рабови и темиња 4
Шлефлиев симбол {4}
Коксетер–Динкинови дијаграми CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Симетриска група D2, C2
Плоштина а·b
Внатрешен агол (степ.) 90°
Својства конвексен

Во геометријата, правоаголник е рамна, т.е. 2-димензионална геометриска фигура со четири прави агли.[1][2]

  • Формално, правоаголник се дефинира како паралелограм со еден внатрешен прав агол. (Бидејќи правоаголник е паралелограм, спротивни агли се складни, а соседни агли се суплементни. Ако еден агол е прав, следува дека сите 4 агли се прави.)


Формули и особини за правоаголник[уреди]

Нека е даден правоаголник со соседни страни a и b. Во долунаведените формули точката · означува множење.

Периметар

L = 2 \cdot a + 2 \cdot b

Плоштина

P = a \cdot b=ab

Дијагонала

Дијагоналите на правоаголник се исти и   d = \sqrt{a^2+b^2}
Доказ: Со Питагорова теорема.
a^2+b^2=d^2 \,\,\Rightarrow\,\,d = \sqrt{a^2+b^2}
Следува и од формулите за дијаголналите на паралелограм бидејќи α=90° така да cos(α)=cos(90°)=0.


Пример: Нека е даден правоаголник со страна a=3km и b=4km. Тогаш, периметарот e L=2·a+2·b=2·3km+2·4km=14km. Плоштината е P=a·b=3km·4km=12km2 (квадратни километри). Дијагоналите се складни и: d=√(32+42)km=√(25)km=5km.

Pravoagolnik def.svg Pravoagolnik diag isti.svg Pravoagolnik diag plos4.svg Pravoagolnik tetiven.svg
Правоаголник има 4 прави агли. Дијагоналите се складни. Дијагоналите го делат правоаголникот на 2 пара складни триаголници. Меѓутоа, сите 4 триаголници ја имаат истата плоштина. (Доказ: 8-те се складни.)
Pravoagolnik diag prep.svg Pravoagolnik osna.svg
Дијагоналите се преполовуваат. Средни линии се оски на осна симетрија. Правоаголник има опишана кружница.
  • Бидејќи секој правоаголник е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
  • Бидејќи секој правоаголник има спротивни паралелни страни, отсечките кои ги спојуваат средните точки на спротивните паралелни страни врват низ пресекот на дијагоналите.
  • Бидејќи секој правоаголник е паралелограм, дијагоналите се преполовуваат.


Карактеризации на правоаголник[уреди]

Четириаголник е правоаголник ако и само ако било кој од следните искази и вистинит.

  • Паралелограм e со еден внатрешен агол по 90°.
  • Четирите внатрешни агли се по 90°.
  • Дијагоналите се еднакво должни.


Впишана и опишана кружница на правоаголник[уреди]

Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден конвексен четириаголник да е тетивен четириаголник е да збирот на спротивни агли бидат 180°. Значи правоаголник е тетивен четириаголник.[3]

Формула: Радиусот R на опишаната кружница е половина од дијагоналата d на правоаголник, односно

R=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}


Симетрија[уреди]

  • Правоаголник има осна симетрија во однос на своите две средни линии, т.е. отсечките кои ги поврзуваат средните точки на спротивни страни се оски на симетрија.
  • Правоаголник има вртежна симетрија од 2-ти ред, т.е. ако го ротираме правоаголникот 360°/2=180° се добива истиот правоаголник. [4]


Обопштување на правоаголник[уреди]

  • Обопштување во 3Д: Квадар е полиедар со 6 страни, секоја од која е правоаголник.

Златен правоаголник[уреди]

Златен правоаголник а правоаголник со должина на страните во златен сооднос, 1: \varphi \, (еден спрема фи), т.е. 1 : \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} или околу 1:1.618. (Види златен правоаголник.)

Совршен правоаголник[уреди]

Правоаголникот може да се конструира од низа квадрати. Правоаголникот што може да се конструира од квадрати со различна големина се нарекува 'совршен правоаголник'. Кога ова не е можно, тој е несовршен правоаголник.[5]


Наводи[уреди]

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 689. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  2. „Rectangle“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/rectangle.html. конс. Септември 2013.  интерактивен
  3. Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), „10. Cyclic quadrilaterals“, „The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition“, Research in mathematics education, IAP, стр. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8 
  4. Stapel, Elizabeth. „"Symmetry about an Axis"“ (на англиски). http://www.purplemath.com/modules/symmetry.htm. конс. Септември 2013.  анимиран
  5. Weisstein, Eric W. (2013). „Perfect Rectangle“ (на англиски). Math World- A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PerfectRectangle.html. конс. Септември 2013. 


Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]