Ромб

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Ромб
Romb std.svg
Ромб е паралелограм со 4 еднаки страни
Тип Четириаголник
Рабови и темиња 4
Шлефлиев симбол D2, C2
Плоштина a·h
Својства конвексен

Во геометријата, ромб е паралелограм со четири исти страни, т.е. четирите страни се со истата должина, односно се складни.[1][2]

  • Формално, ромб се дефинира како паралелограм со две соседни складни страни. (Бидејќи ромб е паралелограм, спротивни страни се складни. Ако и две соседни страни се складни, следува дека сите 4 страни се складни.)
  • Основна регулатива: Ромб е потполно определeн со должина на страна и големина на еден внатрешен агол. Исто така, ромб е потполно определен со должина на страна и висина (растојание помеѓу (било кои) две паралелни страни).


Формули и особини за ромб[уреди]

Нека е даден ромб со страна a и внатрешен оштар агол α.

Периметар

L = 4a

Плоштина е: должина по висина односно страна по висина

P = a \cdot h    или    P=\frac{d_1 \cdot d_2}{2}

Висина

h= a \cdot \sin(\alpha)    или    h=\frac{d_1 \cdot d_2}{2 a}


Kарактеристики на ромб
Romb def.svg Romb diag.svg Romb diag nor.svg Romb diag bis.svg
Сите страни се исти. Дијагонали на ромб. Дијагоналите меѓусебно се нормални. Дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли.
Romb deltoid.svg Romb diag prep.svg Romb vis.svg Romb tangent.svg
Ромб е делтоид. Дијагоналите се преполовуваат. Висина h на ромб. Впишана кружница на ромб.
  • Бидејќи ромб е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
  • Бидејќи ромб е паралелограм, дијагоналите и средните линии се пресекуваат во една точка.
  • Бидејќи ромб е паралелограм, дијагоналите се преполовуваат.


Дијагонали на ромб[уреди]

Дијагоналите на ромб се сечат под прав агол.
Дијагоналите на ромб ги преполовуваат внатрешните агли (на ромбот).

Доказ: Истовремено ги докажиме двата искази. Бидејќи ромб е паралелограм, дијагоналите се преполовуваат поделувајќи го ромбот на 4 складни триаголници според принципот ССС (страна-страна-страна). Со тоа аглите на 4-те триаголници се складни од што следува: (а) дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли и (б) 4-те агли околу пресечната точка на дијагоналите се складни, т.е. се по 90°.


Дијагонали

d_1 = a \sqrt{2(1+ \cos (\alpha))}   и   d_2 =a \sqrt{2(1- \cos (\alpha)) }   (Види паралелограм.)


Карактеризации на ромб[уреди]

  • Обратното важи, т.е. паралелограм е ромб ако било кој од следните искази е вистинит.[3]
    • 4-те страни се складни.
    • дијагоналите се сечат под прав агол.
    • дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли.


Симетрија[уреди]

  • Ромб има осна симетрија во однос на своите дијагонали, т.е. со ротација или свртување на ромб околу дијагонала се добива истиот ромб.
  • Ромб има вртежна симетрија од 2-ри ред како паралелограм, т.е. ако ротираме ромб 360°/2=180° се добива истиот ромб.


Впишана и опишана кружница на ромб[уреди]

Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден конвексен четириаголник да е тангентен четириаголник е да збирот на должините на двата парови спротивни страни е ист. Значи ромб е тангентен четириаголници.[4]

Формула: Радиусот r на впишаната кружница е половина од висината h[5]

r=\frac{h}{2}=\frac{a \sin (\alpha)}{2}
  • Ромб нема опишана кружница освен ако е квадрат.


Ромб и делтоид[уреди]


Обопштување на ромб[уреди]

  • Обопштување во 3Д: Ромбоедар е полиедар со 6 страни, секоја од која е ромб.


Наводи[уреди]

  1. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 686. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  2. „Rhombus“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/rhombus.html. конс. Септември 2013.  интерактивен
  3. Kleyn, I.. „Diagonals of a rhombus are perpendicular“ (на англиски). algebra.com. http://www.algebra.com/algebra/homework/Parallelograms/Diagonals-of-a-rhombus-are-perpendicular.lesson. конс. Септември 2013. 
  4. Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006). „Mathematical Olympiad Treasures“. Birkhäuser. стр. 64–68. ISBN 978-0817682521. .
  5. Kleyn, I.. „A circle inscribed to the rhombus“ (на англиски). algebra.com. http://www.algebra.com/algebra/homework/word/geometry/A-circle-inscribed-to-the-rhombus.lesson. конс. Септември 2013. 


Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]