Делтоид

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Делтоид
Deltoid hor n.svg
Делтоид е како змеј
Тип Четириаголник
Рабови и темиња 4
Симетриска група D1
Плоштина ab·sin(∠ab)

Во геометрија, делтоид е четириаголник каде што два пара на соседни страни се складни, т.е. со иста должина.[1]

  • Основна регулатива: Делтоид е потполно определен ако се знаат должините на нееднаквите страни a и b и аголот ∠ab помеѓу нив.


Формули[уреди]

Периметар L = 2(a + b)\,
Плоштина P = \frac{1}{2}d_1 d_2 = ab \sin(\angle ab)
Дијагонали d_1 = \sqrt{a^2 + b^2- 2 a b \cos (\ang ab)}
d_1 = \sqrt{a^2 - (^{d_2}/_{2})^2} + \sqrt{b^2 - (^{d_2}/_{2})^2} d_1 = a\cos{\frac{\angle aa}{2}} + b\cos{\frac{\angle bb}{2}}
d_2 = \frac{4}{d_1} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-d_1)},\;\;s = \frac{1}{2} (a+b+d_1) d_2 = 2a\sin{\frac{\angle aa}{2}}

Дијагонали на делтоид[уреди]

  • Дијагонали d1 и d1 се меѓусебно нормални, т.е. се сечат по прав агол.
  • Со дијагоналите на делтоид може да се одредува плоштината на делтоидот, но не самиот делтоид. [2]
Deltoid diag1.svg Deltoid diag2.svg Deltoid diag3.svg
Различни делтоиди со исти дијагонални (ја имаат истата плоштина, но различни периметри)


Конструкција на делтоид[уреди]

  • Дијагоналата на делтоид која ги сврзува темињата помеѓу истите страни (на сликата означена со d1) се вика главна дијагонала и е симетрала на самиот делтоид и го дели делтоидот на два складни триаголници. [3] Тие се потполно определени со особината САС: (страна, агол, страна)=(a,∠ab,b), а главната дијаголнала е третата страна. [4]
  • Дијаголналата на делтоид која ги сврзува темињата помеѓу различните страни (на сликата означена со d2) го дели делтоидот на два рамнокрак триаголници.[3]


Специјални случаи[уреди]

Стрелка (неконвексен делтоид)
  • Обично се бара делтоид да е конвексен многуаголник. Постојат и неконвексни четириаголници каде што два пара на соседни страни се складни. Истите се викаат стрелки.
  • Потребен и доволен услов за делтоид да е конвексен е да аголот ∠ab помеѓу страните a и b, a>b e:   arccos(ba) < ∠ab < 180°
  • Ромб е (конвексен) делтоид со четири еднакви страни.
  • Квадрат е (конвексен) делтоид со четири еднакви агли.


Карактеризации[уреди]

Конвексен четириаголник е делтоид ако и само ако било кој од следниве услови е усполнат:

  • Два пара на соседни страни се еднакви (дефиницијата).
  • Едната дијагонала е симетрала на другата дијагонала.[5]
  • Едната дијагонала е симетрала на самиот делтоид (го дели во два складни триаголници).[6]
  • Едната дијагонала е аголна симетрала на пар обратни агли.[6]


Впишана кружница[уреди]

Впишана кружница на делтоид

Секој (конвексен) делтоид има впишана кружница, т.е. постој кружница која е тангентна на сите четири страни така да секој (конвексен) делтоид е тангентен четириаголник [7].

Тогаш: r = (a\cos{\frac{\alpha}{2}} + b\cos{\frac{\beta}{2}})\frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}+\sin{\frac{\beta}{2}}}; \;\alpha = \angle aa, \; \beta = \angle bb.


Наводи[уреди]

  1. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics: "Kite"“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 446. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  2. „Интерактивно објаснување за дијаголналите на делтоид“ (на македонски). http://www.emathforall.com/wiki/Recnik/Deltoidpov1. конс. Септември 2013.  интерактивен
  3. 3,0 3,1 Halsted, George Bruce (1896). „Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals“. „Elementary Synthetic Geometry“. J. Wiley & Sons. стр. 49–53. http://books.google.com/books?id=H3ALAAAAYAAJ&pg=PA49. 
  4. Стојановска, Л.. „Интерактивно објаснување за делтоид“ (на македонски). http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Deltoid. конс. Септември 2013.  интерактивен
  5. Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer (2008). „The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition“. Information Age Publishing. стр. 49-52. 
  6. 6,0 6,1 de Villiers, Michael (2009). „Some Adventures in Euclidean Geometry“. стр. 16, 55. ISBN ISBN 978-0-557-10295-2. 
  7. Златковска, С.. „Интерактивен приказ за тангентен четириаголник“ (на македонски). http://sneze1.wikispaces.com/ДОКАЗ+НА+СВОЈСТВОТО+НА+ТАНГЕНТЕН+ЧЕТИРИАГОЛНИК. конс. Септември 2013. 


Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]