Квадрат

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Квадрат
Square standard.svg
Квадрат е четириаголник со 4 еднакви страни и 4 еднакви агли (по 90°)
Тип Четириаголник
Рабови и темиња 4
Шлефлиев симбол {4}
Коксетер–Динкинови дијаграми CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
Симетриска група D4, C4
Плоштина а·a=a2
Внатрешен агол (степ.) 90°
Својства конвексен
правилен

Во геометријата, квадрат е рамна, т.е. 2-димензионална геометриска фигура со четири еднакви страни и четири прави агли.[1][2]

  • Формално, квадрат се дефинира како паралелограм со две соседни складни страни и еден внатрешен прав агол.
    • квадрат е паралелограм според дефиниција, па следува дека спротивни страни и агли се складни, а соседни агли се суплементни. (Види паралелограм.)
    • квадрат е ромб бидејќи две соседни складни страни значи 4-те страни се складни. (Види ромб.)
    • квадрат е правоаголник бидејќи еден внатрешен прав агол значи 4-те внатрешни агли се по 90°. (Види правоаголник.)
  • Квадрат е правилен многуаголник бидејќи сите 4 страни се складни (рамностран) и сите 4 агли се складни (рамноаголен).

Основна регулатива: Квадрат е потполно определeн со должината на страна. Исто така, квадрат е потполно определен со должината на дијагонала.


Формули и особини за квадрат[уреди]

Нека е даден квадрат со страна a. Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. a · a = a × a .

Периметар

L = 4 \cdot a

Плоштина

P = a \cdot a=a^2

Дијагонала

Дијагоналите на квадрат се исти и   d = a \cdot \sqrt{2}
Доказ: Со Питагорова теорема.
a^2+a^2=d^2 \,\,\Rightarrow \,\,2a^2=d^2 \,\,\Rightarrow \,\, d=\sqrt{2a^2} \,\,\Rightarrow \,\, d = a \cdot \sqrt{2}
Следува и од формулите за дијагоналите на паралелограм бидејќи α=90° така да cos(α)=cos(90°)=0 и b=a.

(Види и степенување, коренување и тригонометрија).

Пример: Нека е даден квадрат со страна a=5km. Тогаш, периметарот e L=4·a=4·5km=20km. Плоштината е P=a·a=5km·5km=25km2 (квадратни километри). Дијагоналите се складни и: d=5km·√2 ≈7,07km.

Пример: Нека е даден квадрат со дијагонала d=14,14mm. Тогаш страната на квадратот е a=14,14mm/√2=10mm. Перимeтарот е L=4·a=4·10mm=40mm, а плоштината е P=a·a=10mm·10mm=100mm2.


Square def.svg Square diag 90.svg Square diag bis ang.svg Square symmetry.svg
Квадрат има 4 еднакви страни
и 4 прави агли.
Дијагоналите се сечат под прав агол. Дијагоналите ги преполо- вувват аглите (на 45°). Дијагоналите и средните линии се оски на осна симетрија.
Square diag.svg Square diag bis.svg Square inscribed.svg Square circumscribed.svg
Дијагоналите се складни. Дијагоналите се преполовуваат. Впишана кружница на квадрат. Опишана кружница на квадрат.
  • Бидејќи секој квадрат е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
  • Бидејќи секој квадрат има спротивни паралелни страни, отсечките кои ги спојуваат средните точки на спротивните паралелни страни врват низ пресекот на дијагоналите.
  • Бидејќи секој квадрат е паралелограм, дијагоналите се преполовуваат.
  • Бидејќи секој квадрат е ромб, дијагоналите се сечат под прав агол и дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли (така да се по 90°/2=45&deg);
  • Бидејќи секој квадрат е правоаголник, дијагоналите се складни (со истата должина).

Карактеризации на квадрат[уреди]

Четириаголник е квадрат ако и само ако било кој од следните изкази и вистинит:

  • Четирите страни се со еднакви должини и четирите внатрешни агли се по 90°.
  • Дијагоналите се со еднакви должини и се сечат под прав агол (90°).
  • Дијагоналите го поделува четириаголникот на 4 складни рамнокрак триаголници.

Потаму квадрат е:

  • Паралелограм со еден прав агол и два напоредни (соседни) складни страни.
  • Правоаголник со два напоредни складни страни.
  • Ромб со еден прав агол.
  • Ромб со 4 складни агли.
Конструкција на квадрат во опишана кружница

Впишана и опишана кружница на квадрат[уреди]

Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден конвексен четириаголник да е тангентен четириаголник е да збирот на должините на двата парови спротивни страни е ист. Значи квадрат е тангентен четириаголници.[3]

Формула: Радиусот r на впишаната кружница е половина од страната а (на квадратот), односно

r=\frac{a}{2}
Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден конвексен четириаголник да е тетивен четириаголник е да збирот на спротивни агли бидат 180°. Значи квадрат е тетивен четириаголник.[4]

Формула: Радиусот R на опишаната кружница е половина од дијагоналата d (на квадратот), односно

R=\frac{d}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}
  • Квадрат е бицентрични четириаголник, бидејќи e и тангентен и тетивен.

Симетрија[уреди]

  • Квадрат има 4 оски на осна симетрија, односно двете дијагонали и двете средни линии (отсечките кои ги поврзуваат средните точки на спротивни страни).
  • Квадрат има вртежна симетрија од 4-ти ред, т.е. ако го ротираме квадратот 360°/4=90° се добива истиот квадрат. [5]

Други факти[уреди]

  • Дијагоналите на квадрат се \scriptstyle \sqrt{2} (приближно 1.414) пати поголеми од страната на квадратот. Оваа вредност, т.е. квадратен корен од 2 се вика Питагорова константа и првиот број да е докажен дека е ирационален, т.е. не е рационален број.[6]
  • Ако геометриска фигура е и правоаголник (прави агли) и ромб (4 складни страни), тогаш е квадрат.
  • Плоштината на опишаната кружница е π/2 (приближно 1.571) пати поголема од плоштината на квадратот.
  • Плоштината на впишаната кружница е π/4 (приближно 0.7854) пати помал од плоштината на квадратот.
  • Квадрат има поголема плоштина од било која четириаголник со истиот периметар.[7]

Обопштување на квадрат[уреди]

  • Обопштување во 3Д: Коцка е полиедар со 6 страни, секоја страна е квадрат.

Неeвклидова геометрија[уреди]

Во неeвклидова геометрија, квадрати се општи многуаголници со 4 складни страни и 4 складни агли.

Во сферна геометрија, квадрат е многуаголник чии страни се рамнодолжни лакови од големи кругови, кои се споени на секое теме со складни агли. За разлика од евклидска геометрија во рамнина, аглите на таков квадрат се поголеми од 90°.

Во хиперболна геометрија, квадрати со прави агли не постојат. На против, квадрати во хиперболична геометрија имаат агли кои се помали од 90°.

Примери:

Square on sphere.svg
Сфера може плочкеско да се нареди со 6 квадрати така да секое теме е теме на 3 квадрати со внатрешни агли од 120°.
Шлефлиев симбол е {4,3}.
Square on plane.svg
Евклидската рамнина може плочкеско да се нареди со квадрати така да секое теме е теме на 4 квадрати со внатрешни агли од 90°.
Шлефлиев симбол е {4,4}.
Square on hyperbolic plane.png
Хиперболична рамнина може плочкеско да се нареди со квадрати така да секое теме е теме на 5 квадрати со внатрешни агли од 72°.
Шлефлиев симбол е {4,5}.

Наводи[уреди]

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 744. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. Септември 2013. 
  2. „Square“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/square.html. конс. Септември 2013.  интерактивен
  3. Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006). „Mathematical Olympiad Treasures“. Birkhäuser. стр. 64–68. ISBN 978-0817682521. .
  4. Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), „10. Cyclic quadrilaterals“, „The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition“, Research in mathematics education, IAP, стр. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8 
  5. Stapel, Elizabeth. „"Symmetry about an Axis"“ (на англиски). http://www.purplemath.com/modules/symmetry.htm. конс. Септември 2013.  анимиран
  6. Weisstein, Eric W.. „Pythagoras's Constant“ (на англиски). MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html. конс. Септември 2013. 
  7. Hansen, V.L. (1996). „I am the greatest“ (на англиски). Mathematics in School Vol.25, No.4. стр. 10-11. http://www2.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/square.html. конс. Септември 2013. 

Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]