Правилен многуаголник

Збир испапчени правилни p-аголници
Правилни многуаголници
Рабови и темиња	n
Шлефлиев симбол	{n}
Коксетер–Динкинов дијаграм
Симетриска група	Диедрална (Dn)
Дуален многуаголник	Самодуален
Плоштина (каде t=должина на работ)	$A = \tfrac14nt^2 \cot \frac{\pi}{n}$
Внатрешен агол	$\left(1-\frac{2}{n}\right)\times 180^\circ$
Збир на внатр. агли	$\left(n-2\right)\times 180^\circ$
Својства	испакнат, кружен, рамностран, изогонален, изотоксален

Правилен многуаголник е прост многуаголник (многуаголник кој никаде не се сече сам со себе) кој е рамноаголен (сите агли му се исти) и рамностран (сиде рабови се со иста должина).

Сите правилни многуаголници со ист број на рабови (или „страни“ во планиметријата) се слични.

• Правилен двоаголник: „двојна отсечка“
• Рамнокрак триаголник (3 раба)
• Квадрат (4 раба)
• Правилен петтоаголник (5 раба)
• Правилен шестоаголник (6 раба)
• Правилен седмоаголник (7 раба)
• Правилен осмоаголник (8 раба)
• Правилен десеттоаголник (10 раба)
• Правилен дванаесеттоаголник (12 раба)

Во извесни случаи сите овие полиголници би се сметале за неправилни. Во такви случаи се испушта префиксот правилен. На пример сите рабови на еден еднообразен полиедар мора да бидат правилни и рабовите едноставно би се опишале како триаголник, квадрат, петтоаголник.

Својства

Секој агол на еден правилен n-аголник има мерка од $(1-\frac{2}{n})\times 180$ (или подеднакво, на $(n-2)\times \frac{180}{n}$) степени.

Алтернативно, внатрешниот агол/агли на правилен n-аголник е $\frac{(n-2)\pi}{n}$ радијани (или $\frac{(n-2)}{2n}$ вртења).

Сите вертикали на правилен многуаголник лежат на заедничка кружница, т.е. тие се конциклични точки, каде секој правилен многуаголник има опишана кружница.

Правилен n-аголник може да се нацрта со шестар и линијар ако и само ако непарните прости фактори на n се засебни Ферминови броеви. Видете конструктибилен многуаголник.

За $n > 2$ бројот на дијагонали е $\frac{n (n-3)}{2}$, т.е., 0, 2, 5, 9, ... Тие го делат многуаголникот на 1, 4, 11, 24, ... делови.

Плоштина

Апотема на шестоаголник

Плоштината на правилен n-аголник е

$A=\frac{nt^2}{4\tan(\pi/n)}$

каде t е должината на работ. Исто така плоштината е половина периметар помножена по должината на апотемата (линијата од средината на многуаголникот нормален на работ)A=1/2Pa.

За t=1 имаме

${\frac{n}{4}} \cot(\pi/n)$

со следниве вредности:

Рабови	Назив	Точна плоштина	Приближна плоштина
3	рамностран триаголник	$\frac{\sqrt{3}}{4}$	0.433
4	квадрат	1	1.000
5	правилен-петтоаголник	$\frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}}$	1.720
6	правилен-шестоаголник	$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$	2.598
7	правилен-седмоаголник		3.634
8	правилен-осмоаголник	$2 + 2 \sqrt{2}$	4.828
9	правилен-деветтоаголник		6.182
10	правилен-десеттоаголник	$\frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}}$	7.694
11	правилен-единаесеттоаголник		9.366
12	правилен-дванаесеттоаголник	$6+3\sqrt{3}$	11.196
13	правилен-тринаесеттоаголник		13.186
14	правилен-четиринаесеттоаголник		15.335
15	правилен-петнаесеттоаголник		17.642
16	правилен-чеснаесеттоаголник		20.109
17	правилен-седумнаесеттоаголник		22.735
18	правилен-осумнаесеттоаголник		25.521
19	правилен-деветнаесеттоаголник		28.465
20	правилен-дваесеттоаголник		31.569
100	правилен-стоаголник		795.513
1000	правилен-илјадааголник		79577.210
10000	правилен-Десетилјадаголник		7957746.893

Плоштините се помали од оние кај кружници со ист периметар, и се (заокружени) еднакви на 0.26, а за n<8 малку повеќе (броевите се намалуваат со зголемувањето на n до границата π/12).

Симетрија

Групата на симетрија на правилен n-аголник е диедрална група D_n (од ред 2n): D₂, D₃, D₄,... Се состои од ротациите во C_n (постои ротациона симетрија на ред n), заедно со рефлективна симетрија во n оските кои минуваат низ центарот. Акоn е макар и тогаш половина од оските поминуваат низ спротивните вертикали, а другата половина низ низ средишната точка на спротивните рабови. Ако n е непарен, тогаш сите оски минуваат низ врвот и средишната точка на спротивниот раб.

Неконвексни правилни многуаголници

Пентаграм

Во проширената категорија на правилни многуаголници спаѓаат звезди, како на пример пентаграмот, кој ги има истите вертикали како и петтоаголникот, но сврзува наизменични вертикали.

Примери

• Пентаграм - {5/2}
• Хептаграм - {7/2}, {7/3}
• Октаграм - {8/3}
• Енеаграм - {9/2}, {9/4}
• Декаграм - {10/3}

Полиедар

Еднообразен полиедар е полиедар со правилни многуаголници како рабови, така што за секои две вертикали има меѓусебно изометрично пресликување.

Поврзано

• Многуаголник
• Рамностран многуаголник

Надворешни врски

• „Правилен многуаголник“ од Ерик В. Вајсштајн - MathWorld (англиски)

• Опис на правилни многуаголници со интерактивна анимација (англиски)
• Впишување на празилен многуаголник со интерактивна анимација (англиски)
• Плоштина на правилен многуаголник Три различни формули, со интерактивна анимација (англиски)