Правилен многуаголник

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Збир испапчени правилни p-аголници

Triangle.Equilateral.svgKvadrato.svgPentagon.svgHexagon.svg
Heptagon.svgOctagon.svgEnneagon.svgDecagon.svg
Правилни многуаголници

Рабови и темиња n
Шлефлиев симбол {n}
Коксетер–Динкинов дијаграм CDel node 1.pngCDel n.pngCDel node.png
Симетриска група Диедрална (Dn)
Дуален многуаголник Самодуален
Плоштина
(каде t=должина на работ)
A = \tfrac14nt^2 \cot \frac{\pi}{n}
Внатрешен агол \left(1-\frac{2}{n}\right)\times 180^\circ
Збир на внатр. агли \left(n-2\right)\times 180^\circ
Својства испакнат, кружен, рамностран, изогонален, изотоксален

Правилен многуаголник е прост многуаголник (многуаголник кој никаде не се сече сам со себе) кој е рамноаголен (сите агли му се исти) и рамностран (сиде рабови се со иста должина).

Сите правилни многуаголници со ист број на рабови (или „страни“ во планиметријата) се слични.

Во извесни случаи сите овие полиголници би се сметале за неправилни. Во такви случаи се испушта префиксот правилен. На пример сите рабови на еден еднообразен полиедар мора да бидат правилни и рабовите едноставно би се опишале како триаголник, квадрат, петтоаголник.

Својства[уреди]

Секој агол на еден правилен n-аголник има мерка од (1-\frac{2}{n})\times 180 (или подеднакво, на (n-2)\times \frac{180}{n}) степени.

Алтернативно, внатрешниот агол/агли на правилен n-аголник е \frac{(n-2)\pi}{n} радијани (или \frac{(n-2)}{2n} вртења).

Сите вертикали на правилен многуаголник лежат на заедничка кружница, т.е. тие се конциклични точки, каде секој правилен многуаголник има опишана кружница.

Правилен n-аголник може да се нацрта со шестар и линијар ако и само ако непарните прости фактори на n се засебни Ферминови броеви. Видете конструктибилен многуаголник.

За n > 2 бројот на дијагонали е \frac{n (n-3)}{2}, т.е., 0, 2, 5, 9, ... Тие го делат многуаголникот на 1, 4, 11, 24, ... делови.

Плоштина[уреди]

Плоштината на правилен n-аголник е

A=\frac{nt^2}{4\tan(\pi/n)}

каде t е должината на работ. Исто така плоштината е половина периметар помножена по должината на апотемата (линијата од средината на многуаголникот нормален на работ)A=1/2Pa.

За t=1 имаме

{\frac{n}{4}} \cot(\pi/n)

со следниве вредности:

Рабови Назив Точна плоштина Приближна плоштина
3 рамностран триаголник \frac{\sqrt{3}}{4} 0.433
4 квадрат 1 1.000
5 правилен-петтоаголник \frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} 1.720
6 правилен-шестоаголник \frac{3 \sqrt{3}}{2} 2.598
7 правилен-седмоаголник   3.634
8 правилен-осмоаголник 2 + 2 \sqrt{2} 4.828
9 правилен-деветтоаголник   6.182
10 правилен-десеттоаголник \frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} 7.694
11 правилен-единаесеттоаголник   9.366
12 правилен-дванаесеттоаголник 6+3\sqrt{3} 11.196
13 правилен-тринаесеттоаголник   13.186
14 правилен-четиринаесеттоаголник   15.335
15 правилен-петнаесеттоаголник   17.642
16 правилен-чеснаесеттоаголник   20.109
17 правилен-седумнаесеттоаголник   22.735
18 правилен-осумнаесеттоаголник   25.521
19 правилен-деветнаесеттоаголник   28.465
20 правилен-дваесеттоаголник   31.569
100 правилен-стоаголник   795.513
1000 правилен-илјадааголник   79577.210
10000 правилен-Десетилјадаголник   7957746.893

Плоштините се помали од оние кај кружници со ист периметар, и се (заокружени) еднакви на 0.26, а за n<8 малку повеќе (броевите се намалуваат со зголемувањето на n до границата π/12).

Симетрија[уреди]

Групата на симетрија на правилен n-аголник е диедрална група Dn (од ред 2n): D2, D3, D4,... Се состои од ротациите во Cn (постои ротациона симетрија на ред n), заедно со рефлективна симетрија во n оските кои минуваат низ центарот. Акоn е макар и тогаш половина од оските поминуваат низ спротивните вертикали, а другата половина низ низ средишната точка на спротивните рабови. Ако n е непарен, тогаш сите оски минуваат низ врвот и средишната точка на спротивниот раб.

Неконвексни правилни многуаголници[уреди]

Пентаграм

Во проширената категорија на правилни многуаголници спаѓаат звезди, како на пример пентаграмот, кој ги има истите вертикали како и петтоаголникот, но сврзува наизменични вертикали.

Примери

Полиедар[уреди]

Еднообразен полиедар е полиедар со правилни многуаголници како рабови, така што за секои две вертикали има меѓусебно изометрично пресликување.

Поврзано[уреди]

Надворешни врски[уреди]