Полиедар

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Додекаедар (правилен полиедар)
Мал ѕвездест додекаедар

Полиедар (од стгр. поли = „многу“ + -едар „основа, страна“)[1]геометриско тело со рамни страни и прави рабови и претставува тридимензионален пример за поопштата претстава за политоп во неопределен број димензии.

Основа за дефинирање[уреди]

Дефиницијата за полиедар како тело ограничено со рамни страни и прави линии не е многу прецизна, и не е задоволителна во современата математика. Во поново време постојат поточни определби во зависност од случаите.

Полиедарот може да биде составен од различни елементи или ентитети, секој според бројот на димензии:

  • 3 димензии: телото е ограничено со страните, и обично, е претставено со волуменот што тие го опфаќаат.
  • 2 димензии: страната е многуаголник што ограничен со коло од рабови, и обично го опфаќа рамното (рамнинско) подрачје во границата. Многуаголните страни заедно ја сочинуваат површината.
  • 1 димензија: работ сврзува темиња и страни, и обично претставува отсечка. Рабовите заедно го образуваат „костурот“ на полиедарот.
  • 0 димензии: теме е точка на ќоше.
  • -1 димензија: нулти политоп е вид на неентитет потребен во апстрактните теории.

Во поопшта смисла во математиката и другите полиња, под „полиедар“ се подразбираат различни сродни конструкции - некои геометриски, а други алгебарски или апстрактни.

Особености[уреди]

Полиедарска површина[уреди]

Својствено за речиси сите видови на полиедри е тоа што секој раб поврзува само две страни. Ова значи дека површината е постојана и телото не се исчашува на друга страна.

Рабови[уреди]

Рабовите имаат две важни карактеристики (освен кога полиедарот е сложен):

  • работ сврзува само две темиња.
  • работ сврзува само две страни.

Овие две карактеристики се дуални една на друга.

Ојлерова карактеристика[уреди]

Ромпски тријаконтаедар (полуправилен полиедар)

Ојлеровата карактеристика χ го дава односот на бројот на темиња V, рабови E и страни F кај еден полиедар:

\chi=V-E+F.\

Кај испакнат (конвексен) полиедар или, поопшто, кај секој просто сврзан полиедар чиишто страни исто така се просто сврзани и чија граница е многуобразие, χ = 2.

Ориентабилност[уреди]

Некои полиедри, како што се сите испакнати полиедри, имаат две посебни страни на секоја површина. За таквата фигура се вели дека е ориентабилна.

Меѓутоа, кај некои полиедри ова не е возможно, па затоа фигурата се нарекува „неориентабилна“. Сите полиедри со непарна Ојлерова карактеристика се неориентабилни. Дадена фигура со χ < 2 may or may not be ориентабилно.

Темена фигура[уреди]

За секое теме можеме да утврдиме темена фигура, која ја опишува месната структура на фигурата околу темето. Ако темената фигура е правилен многуаголник, тогаш самото теме ќе биде „правилно“.

Дуалност[уреди]

За секој полиедар постои дуален полиедар, кој има:

  • страни на местата кајшто првиот има темиња и обратно,
  • ист број на рабови
  • истата Ојлерова карактеристика и ориентабилност

Волумен[уреди]

Волуменот на еден ориентабилен полиедар може да се пресмета со помош на Гаусовата теорема за разидување. Ако го земеме векторското поле \vec F(\vec x) = \frac{1}{3} \vec x = (\frac{x_1}{3}, \frac{x_2}{3}, \frac{x_3}{3}), чие разидување е истоветно 1. Од теоремата следи дека волуменот на секое подрачје Ω ќе биде


\text{V}(\Omega) = \int_\Omega \nabla\cdot\vec F d\Omega = \oint_S \vec F \cdot \hat n dS.

Кога Ω е подрачјето што го зафаќа полиедарот, бидејќи неговите страни се планарни и имаат расчленети константни нормали, ова се упростува на


\text{V} = \frac{1}{3}\sum_{\text{CTPAHA } i} \vec x_i \cdot \hat n_i A_i

каде за i'-тата страна, \vec x_i е нејзиното тежиште, \hat n_i е нормалниот вектор, а A_i е нејзината површина.

Некогаш е тешко да се набројат површините, па затоа пресметката на волуменот може да биде нетривијална. Затоа постојат посебни алгоритми наменети за за утврдување на волуменот (многу од нив се воопштуваат до испакнати политопи).[2]

Поврзано[уреди]

Наводи[уреди]

  1. „полиедар“ - Лексикон на македонскиот јазик, он.нет
  2. doi:10.1007/978-3-0348-8438-9_6
    Овој навод ќе се дополни автоматски во текот на следните неколку минути. Можете да го прескокнете редот или да го проширите рачно
  • Coxeter, H.S.M.; Regular complex Polytopes, CUP (1974).
  • Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).

Надворешни врски[уреди]