Отсечка

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Отсечка \overline{AB} e дел од права AB

Во геометрија, отсечка се опишува како дел од права помеѓу две посебни точки на правата. Отсечка секогаш ги содржува сите точки помеѓу крајните точки, а може, но не мора да ги содржи едната или двете крајни точки.[1]

  • Во Евклидовата геометрија, за посебни (дистинктни) точки А и В, постои една единствена отсечка со крајни точки А и B и истата се означува со \overline{AB} .
  • Отсечка е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина.
  • Отсечка има краеви така да има одредена должина која е растојанието помеѓу крајните точки.


Дефиниција на отсечка[уреди]

Нека А и В се две посебни точки. Отсечката \overline{AB} е множеството на сите точки   C=A(1-t)+Bt   каде што   t \in [0,1] .


Средина (средна точка) на отсечка[уреди]

С e средната точка на отсечката -
Oди на интерактивноста
[2]

Нека А и В се две посебни точки. Тогаш средина, односно средната точка на отсечката   \overline{AB}   е точката   C=\frac{A+B}{2}  .

  • Во 2-димензионален простор: A=(x_1,y_1)   B=(x_2,y_2).
Средната точка е: C=\left( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} \right) . 

Пример: Нека A=(-1,3) и B=(2,1). Средната точка на отсечката \overline{AB}   e:   C=\left( \frac{-1+2}{2},\frac{3+1}{2} \right)=(0,5;2) .


  • Забележете дека ова е точката C од дефиницијата C=A(1-t)+Bt каде што t=0.5, т.е. на средината на интервалот [0,1].

Пропорционалноста важи и потаму. Например, се заменува t=13 за да се добие точката C на отсечката која е 13 од патот од А до В:   C= \frac{2}{3} \cdot A + \frac{1}{3} \cdot B  .


Должина на отсечка[уреди]

Доказ: Должина на отсечка со Питагорова теорема

Должината на \overline{AB} e и растојанието помеѓу А и В. Истата се означува со | \overline{AB} | \,=\, \delta_{A,B}.

Во 2-димензионален простор:

  • Должина на отсечка паралелна со х-оската, односно со крајни точки A=(x1,y) и B=(x2,y) со истата у-координата и x2>x1 е:   \delta_{A,B} = | \overline{AB} | = x_2-x_1.
  • Должина на отсечка паралелна со y-оската, односно со крајни точки A=(x,y1) и B=(x,y2) со истата x-координата и y2>y1 е:   \delta_{A,B} = | \overline{AB} | = y_2-y_1.
  • Точки:   A=(x_1,y_1)   B=(x_2,y_2).   Должината на   \overline{AB} е:  
\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}  

Пример: Нека A=(-1,3) и B=(2,1). Должината на отсечката \overline{AB}   e:   \delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(2-(-1))^2+(1-3)^2}=\sqrt{13} \approx 3,6.


Во 3-димензионален простор:

  • Точки:   A=(x_1,y_1,z_1)   B=(x_2,y_2,z_2).   Должината на   \overline{AB} е:  
\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} 


Доказ: Се користи Питагорова теорема.[3]

  • Во 2Д: Во анимацијата е опишана наједноставната верзија каде што x2>x1 и y2>y1. За произволни точки А и В, едноставно треба да се додава апсолутна вредност околу двете разлики |x2 - x1| и |y2 - y1|. Потоа по примена на Питагорова теорема и поради тоа што (|x|)2=x2, знаковите за апсолутна вредност се бришат како непотребни.
  • Во 3Д: Два пати се користи Питагорова теорема. Најпрво се формира помошна точка B'=(x_2,y_2,z_1) со истата z-координата како А така да А и B' лежат на истата рамнина z=z1. Се користи формулата од 2Д, односно Питагорова теорема со што | \overline{AB'} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. Сега повторно се корисити Питагорова теорема на триаголникот со темињата А, B' и В забележувајќи дека | \overline{BB'} | = \sqrt{(z_2-z_1)^2}   за да се доби дадената формула.


Крајни точки[уреди]

Крајните точки можат, но не морат да бидат вклучени во отсечката. Геометриски тоа се означува со полни или празни кружници, т.е.

  • крајна точка е вклучена во отсечката ако точката е означена со полна кружница и
  • крајна точка е исклучена во отсечката ако точката е означена со празна кружница и

Има 4 можни случаи.

  • затворена отсечка каде што двете крајни точки се вклучени,
  • отворена отсечка каде што двете крајни точки се исклучени,
  • полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е вклучена, а крајната крајна точка е исклучена и
  • полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е исклучена, а крајната крајна точка е вклучена.


Wiki otsecka closed.png
Затворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1]
Wiki otsecka open.png
Отворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1)
Wiki otsecka half-open.png
Полуотворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1)
Wiki otsecka half-open 2.png
Полуотворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1]


Ориентирана отсечка[уреди]

При дефиницијата: C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1] следува дека

  • Кога t=0, C=A e почетната точка на отсечката, а
  • Кога t=1, C=В e крајната точка на отсечката.

Тоа значи дека самиот интервал t ∈ [0,1] ја ориентира, т.е. ја усмерува отсечката од А до В.[4]


Параметарски облик на отсечка[уреди]

Нека се дадени две точки А(x1,y1,z1) и B=(x2,y2,z2).

  \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x(t) = {x_1}+{a}t }\\ {y(t) = {y_1}+{b}t }\\{z(t) = {z_1}+{c}t } \end{array}} \right. каде што { a = (x_2-x_1)}, \, { b = (y_2-y_1)} , \, { c = (z_2-z_1)} ,   t \in [0,1] [5]

(Во 2-димензионален простор се отфрлува се со z-координатите.)


Отсечка и векторски простори[уреди]

Ако V е векторски простор над \mathbb{R} или \mathbb{C}, и L е подмножество на V, тогаш L е (затворена) отсечка ако L може да се пиши во параметарски облик како:   L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}   за некои вектори \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!. Во тој случај векторите u и u + v се викаат крајните точки на L. (Ако t ∈ (0,1), отсечката е отворена.) [6]


Литература[уреди]

  1. „Line Segment“. Math Open Reference. http://www.mathopenref.com/linesegment.html.  интерактивен (англиски)
  2. „Отсечка“. Л.Стојановска. http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Otsechka.  интерактивен (македонски)
  3. http://www.regentsprep.org/Regents/math/geometry/GCG3/Ldistance.htm (англиски)
  4. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“. Addison-Wesley. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf.  Directed Line Segment стр.237 (англиски)
  5. http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/LineIntegralsPtI.aspx (англиски)
  6. http://planetmath.org/LineSegment (англиски)


Поврзани теми[уреди]


Надворешни линкови[уреди]