Тригонометрија

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Тригонометрија: правоаголен триаголник со агол α
Trig main.svg
Опис на страните на аголот α
тип рамнинска фигура
образ правоаголен триаголник
равенка a²+b²=c²
подршка sin(α)=a/c
cos(α)=b/c
tan(α)=a/b

Во математиката, тригонометрија е гранката во која се проучуваат своиствата на слични правоаголни триаголници. [1]

Бидејќи главните две тригонометриски функции синус и косинус кои ги опишуваат односите на страните на правоаголни триаголници имаат талесна форма често пати се смета дека тригонометрија вклучува и проучување на талесни, односно т.н. синусоидни функции.[2]

Зборот тригонометрија е од грчките зборови trigonon=триаголник и metro=мерка.[3]

Тригонометриски вредности[уреди]

Нека е даден правоаголен триаголник ⊿ABC. По дефиниција, правоаголен триаголник има внатрешен прав агол, а останатите два агли се остри и взаемно комплементни. Во стандардно означување, темето на правиот агол се означува со голема буква С, а спротивната страна т.н. хипотенуза се означува со мала буква c. Другите две темења се означуваат со А и В, соодветните нивни агли со α и β и соодветните спротивни страни со a и b (види слики).

Го анализираме аголот α.

  • Аголот α e остар агол, т.е. помал од 90°.
  • Аголот α се наоѓа помеѓу катета означена со b и хипотенузата c, а спротивно на аголот α е страната a. Значи страната a е спротивната страна на α, а страната b е соседната или налегнатата страна на α. (Во овој момент јасно е зошто b се нарекува соседна страна. Taa е соседно на самиот агол, т.е. b е еден од краците на аголот α. Подолу ќе биде јасно зошто b се нарекува налегната страна. Двата термини се користат.)
Trig std mk.svg Trig physics mk.svg Trig general mk.svg
Тригонометриски триаголник во стандардна позиција (налегнатата страна е хоризонтална) Тригонометриски триаголник во позиција за физика (хипотенузата е вертикална) Тригонометриски триаголник во општа позиција

Дефинираме три броеви кои се односите помеѓу три комбинации на две страни на овој триаголник во однос на аголот α.

\sin(\alpha)=\frac{a}{c}   sin(α)= спротивната страна/хипотенузата

Оваа реченица се чита: синус од аголот α e a поделено со c, т.е. должината на катетата спротивна на аголот α поделена со должината на хипотенузата.

\cos(\alpha)=\frac{b}{c}   cos(α)= налегнатата страна/хипотенузата

Оваа реченица се чита: косинус од аголот α e b поделено со c, т.е. должината на катетата соседна на аголот α поделена со должината на хипотенузата.

\tan(\alpha)=\frac{a}{b}   tan(α)= спротивната страна/налегнатата страна

Оваа реченица се чита: тангенс од аголот α e a поделено со b, т.е. должината на страната спротивна на аголот α поделена со должината на катетата соседна на аголот α.

Има и три ресипрочни комбинации на односи (котангенс=1/тангенс, секанс=1/косинус и косеканс=1/синус), но истите во Р.Македонија ретко се користат (и воопшто не се наоѓаат на дигитрони или во програмски јазици).

Забележуваме дека во погорното, димензиите на дадениот правоаголен триаголник не биле специфицирани, само фактот дека ⊿ABC е правоаголен триаголник со остар агол α. Се разбира дека овие дефиниции за синус, косинус и тангенс не би било корисни ако зависиле од триаголникот, а не само од аголот α. Доказот дека вредностите зависат само од α е доказ за т.н. добродефинираност на тригонометриските вредности (види подолу).

Основни формули[уреди]

\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

Доказ: Според дефинициите на тригонометриските вредности:

\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{\tfrac{a}{c}}{\,\,\tfrac{b}{c}\,\,}=\frac{a}{b}=\tan(\alpha)

(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2=1

Доказ: Во било кој правоаголен триаголник, според питагорова теорема следува: а²+b²=c². Според дефинициите:

(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2=(\tfrac{a}{c})^2+(\tfrac{b}{c})^2=\tfrac{a^2}{c^2}+\tfrac{b^2}{c^2}=\tfrac{a^2+b^2}{c^2}=\tfrac{c^2}{c^2}=1

Често пати математичари ја пишат последната равенка во следната кратка форма:

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
Меѓутоа, оваа форма потешко се разбира при негово користење, а во математички софтвер и програмирање најсигурно е со повеќе загради. (Во Геогебра, R програмски јазик, SAGE програмски јазик се користи sin(x)^2.)

Доказ за добродефинираност на тригонометриските вредности[уреди]

Тука се докажува: За секој правоаголен тригаголник со остар агол α, вредноста на sin(α) како однос на спротивната страна/хипотенузата е иста. Доказите за косинус и тангенс се аналогни.

Сличност на триаголници и односи на парови страни[уреди]

Два триаголници се слични ако имаат два пара на складни, т.е. еднакви внатрешни агли. Aвтоматско и третиот пар се еднакви бидејќи збирот на внатрешни агли е секогаш 180° (види [[сличност на триаголници].

Ако два триаголници се слични, тогаш соодветниот однос на сите три парови соодветни страни од двата триаголници е истиот број (таа е дефиницијата на сличност), т.е.

Два триаголници се слични ако:  \tfrac{a}{a'}=\tfrac{b}{b'}=\tfrac{c}{c'}

Забележуваме дека оваа споредеба е помеѓу поединичните страни на два слични триаголници. Во тригонометрија се прави споредба помеѓу пар страни од еден (правоаголен) триаголник.

Земајќи (на пример) парот a и c. Од (тројната) равенка за сличност на триаголници имаме:

\tfrac{a}{a'}=\tfrac{c}{c'}

Инаку средувајќи ја оваа равенка имаме:

\tfrac{a}{c}=\tfrac{a'}{c'}

Следува А: При слични триаголници, односот на било кој пар страни на еден триаголник е истата вредност на односот на соодветниот пар страни на другиот триаголник. Ова е првиот клуч на тригонометријата.

Сличноста и правоаголни триаголници[уреди]

По дефиниција, правоаголен триаголник има внатрешен прав агол, т.е. два правоаголни триаголници секогаш имаат еден пар еднакви внатрешни агли. Дефиницијата за сличност бара два пара еднакви агли.

Значи, два правоаголни триаголници се слични ако еден пар од останатите два агли се еднакви. Автоматско и последниот пар агли се еднакви, но тоа е последица. Доволно за доказ на сличноста на два правоаголни триаголници е да еден пар остри агли се покажуваат еднакви.

Следува В: Два правоаголни триаголници со еднаков остар агол α се слични. Ова е вториот клуч на тригонометријата.

Заклучок[уреди]

Нека ⊿ABC и ⊿A'B'C' се правоаголни триаголници со остар агол α.

Од В следува дека ⊿ABC и ⊿A'B'C' се слични.
Бидејќи се слични, од А следува дека \tfrac{a}{c}=\tfrac{a'}{c'} односно вредноста на sin(α) e иста за двата триаголници. Значи за секој правоаголен триаголник со остар агол α, вредноста на sin(α) иста.

Графички доказ на добродефинираност на тригонометриски вредности[уреди]

Нека е даден правоаголен триаголник ⊿ABC. Го ставиме триаголникот во стандардна позиција, односно го ставиме аголот α во стандардна позиција во декартов правоаголен координатен систем на следниот начин. Темето на α, т.е. точката А е координатниот почеток О(0,0). Налегната страна b лежи на позитивнивниот дел од x-оската и хипотенузата c лежи во првиот квадрант со што третата спротивна страна a е вертикална. (Значи, во стандардна позиција, страната b е хоризонтална односно налегната.)

Нека е даден сега и друг правоаголен триаголник ⊿A'B'C' со истиот агол α во стандардна позиција.

Овие два триаголници се гнездуваат еден во друг. (Тоа следува од сличноста.) Должините на страните на едниот триаголник се множат со истиот фактор за да се добиваат должните на соодветните страни на другиот триаголник.[4] Значи, и од тука се гледа дека тригонометриските вредности зависат само од аголот α, односно се добродефинирани.

Гнездување на два правоаголни триаголници во стандардна позиција со агол α. Тука α≈37°≈0,644.

Тригонометриски вредности за сите агли[уреди]

Во погорното преку правоаголни триаголници дефинирани се тригонометриски вредности за агли 0°<α<90° односно 0<α<π/2. Овие дефиниции се прошируваат за сите агли односно за позитивни и негативни агли и за големи агли, т.е. за α∈[-∞°,∞°]=[-∞,∞] (радијани).

Основна регулатива: За секој агол постој складен агол 0°≤α<360° односно 0≤α<2π.[5][6]

Референтен агол и референтен триаголник[уреди]

Нека α е (било кој) агол во стандардна позиција со теме О(0,0) и крајен крак ОВ. Референтниот агол αr на α е најмалиот остар агол помеѓу кракот ОВ и x-оската. Попрецизно, нека В(b,a) е точка на крајниот крак на α. Дефинираме точка С(b,0) на x-оската. Тогаш αr е неусмерениот остар агол ∠СОВ во референтен правоаголен триаголник на α е ⊿CОВ. [7]

Неколку агли и нивните референтните агли и референтните правоаголни триаголници нацртани во единичната кружница
Три (различни) агли во стандардна позиција
Unit circle standard position.svg
0°≤α≤90° 180°≤α≤270° -90°≤α≤0°
Соодветните референтните агли и правоаголни триаголници на погорните агли
Unit circle standard position ref.svg
α=37°,αr=37° α=217°,αr=37° α=-53°,αr=53°
 Референтни агли по квадрант
Квадрант \alpha   \alpha _r     \alpha   \alpha _r  
I 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} \alpha   0 < \alpha < \tfrac{\pi}{2}  \alpha
II 90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ} 180^{\circ}-\alpha   \tfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi  \pi - \alpha
III 180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}  270^{\circ}-\alpha   \pi < \alpha < \tfrac{3\pi}{2}  \tfrac{3\pi}{2} - \alpha
IV 270^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}  360^{\circ}-\alpha   \tfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi  2\pi - \alpha
 Референтни агли за 0°=0, 90°=π/2, 180°=π, 270°=3π/2, 360°=2π
Квадрант \alpha   \alpha _r     \alpha   \alpha _r   Повеќе
IV-I 0^{\circ} 0^{\circ}   0 0 Празен агол
I-II 90^{\circ} 90^{\circ}   \tfrac{\pi}{2} \tfrac{\pi}{2} Прав агол
II-III 180^{\circ} 0^{\circ}   \pi 0 Рамен агол
III-IV 270^{\circ} 90^{\circ}   \tfrac{3\pi}{2} \tfrac{\pi}{2} Негативен прав агол
-90^{\circ} 90^{\circ}   \tfrac{-\pi}{\,\,2} \tfrac{\pi}{2}
IV-I 360^{\circ} 0^{\circ}   2\pi 0 Полн агол

Тригонометриски вредности за агли според квадрант[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главни статии: „синус“, „косинус“, и „тангенс.
Знакови на тригонометриски вредности по квадрант
Квадрант \alpha   \sin(\alpha) \cos(\alpha) \tan(\alpha) \alpha  
I 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} \mathbf{+} \mathbf{+} \mathbf{+} 0 < \alpha < \tfrac{\pi}{2}
II 90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ} \mathbf{+} \mathbf{-} \mathbf{-} \tfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi
III 180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ} \mathbf{-} \mathbf{-} \mathbf{+} \pi < \alpha < \tfrac{3\pi}{2}
IV 270^{\circ} < \alpha < 360^{\circ} \mathbf{-} \mathbf{+} \mathbf{-} \tfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi
Тригонометриски вредности за 0°=0, 90°=π/2, 180°=π, 270°=3π/2, 360°=2π
\alpha   \sin(\alpha) \cos(\alpha) \tan(\alpha) \alpha  
0^{\circ} 0 \mathbf{+}1 0 0
90^{\circ} \mathbf{+}1 0 \infty \tfrac{\pi}{2}
180^{\circ} 0 \mathbf{-}1 0 \pi
270^{\circ} \mathbf{-}1 0 \infty \tfrac{3\pi}{2}
-90^{\circ} \tfrac{-\pi}{\,\,2}
360^{\circ} 0 \mathbf{+}1 0 2\pi
Unit circle II.svg
Секоја точка Т(a,b) на единичната кружница определува агол α во стандардна позиција таква што sin(α)=a и cos(α)=b. Тука a>0 и b<0.

Единична кружница[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „еднична кружница.

геометријата, единична кружница е кружница во рамнина со радиус 1 и со центар во координатниот почеток О(0,0).[8][9] Значи равенката со која се дефинираат сите точки на единична кружница е x²+y²=1.

Од друга страна, нека Т(b,a) е точка на единичната кружница. Како точка, Т еднозначно определува агол α=∠XOT каде што координатниот почеток 0(0,0) е темето, а Х=(1,0). Доколку Т не е во I квадрант, го формираме соодветниот референтен агол и референтниот правоаголен триаголник (види слики погоре каде што буквата Т ја заменува буквата В). Бидејќи Т е точка на единичната кружница, хипотенувата, т.е. отсечката ОТ=c е и радиус на кружницата. Значи, c=1 и следува:

  • За точка T(b,a) на единичната кружница со соодветен агол α=∠XOT: sin(α)=a и cos(α)=b.
  • Знаковите на страните a и b ги задржуваме! Должината на c=1 (позитивна). Ова е МНОГУ важно.

Наводи[уреди]

  1. „Trigonometry Introduction“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/trigintro.html. конс. декември 2013.  интерактивен
  2. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Trigonometry“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 805. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. декември 2013. 
  3. „Trigonometry“ (на англиски). The Free Dictionary. 2000. http://www.thefreedictionary.com/trigonometry. конс. декември 2013. 
  4. Stapel, E.. „Unit Circle“ (на англиски). Purple Math. http://www.purplemath.com/modules/unitcirc.htm. конс. декември 2013. 
  5. „Coterminal angles“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/coterminal.html. конс. декември 2013.  интерактивен
  6. „Trignometry of any angle“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/trigany.html. конс. декември 2013.  интерактивен
  7. „Reference angles“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/reference-angle.html. конс. декември 2013.  интерактивен
  8. Pierce, Rod (2013). „Unit circle“ (на англиски). Math is Fun. http://www.mathsisfun.com/geometry/unit-circle.html. конс. декември 2013. 
  9. Stapel, E. (2012). „Unit circle“ (на англиски). Purple Math. http://www.purplemath.com/modules/unitcirc.htm. конс. декември 2013. 

Поврзани теми[уреди]

Надворешни линкови[уреди]