Единична кружница

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Единична кружница
Unit circle std.svg
Единична кружница (со агол)
тип рамнинска фигура
образ кружница
равенка x²+y²=1
подршка центар=(0,0)
радиус=R=1
друго аголот α=∠XOT е во стандардна позиција

Во геометријата, единична кружница е кружница со радиус 1.[1][2][3] Равенката на единична кружница со центар во координатниот почеток гласи x^2+y^2=1. Единичната кружница помага при дефинирање на радијани (единица за мерење на агли) и при проширување на дефиницијата за тригонометриски вредности на било кој агол.

Радијани и единичната кружница[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „радијан.

Главните две единици за мерење на големина на агол се степени и радијани. Врската помеѓу овие единици е единичната кружница.[5]

  • Имено, должината на периметарот на единична кружница е 2π≈6,2832.
  • Од друга страна, бројот на степени во цела кружница е 360°. Се дефинира 1 (радијан) да е 360°/, т.е.
Roll out unit circle400.gif
Единична кружница има периметар L=2π≈6,28
360^{\circ} = 2\pi   односно   180^{\circ} = \pi \approx 3,1416
  • Значи:
1=\frac{180^{\circ}}{\pi}\approx 57,30^{\circ}
  • Кај радијани не треба да се „пиши“ единица, туку само број. Често пати при првото објаснување на поимот радијани се пиши (радијани), но не треба. Ако големината на агол е даден како број (би требало) да значи дека е зададена во радијани.[6]

Регулатива: Доколку во математички израз или функција има некоја тригонометриски (или циколметриски) израз или функција, вредноста која се заменува (или се добива) мора да биде во радијани.

Пример: f(x)=x·sin(x). Пресметај f(2,17). Најпрво се проверува дека дигитронот е подесен во модот за радијани. Потоа f(2,17)= 2,17·sin(2,17)≈1,79

Пример: g(x)=–3·x·arctan(x). Пресметај g(2,17). Најпрво се проверува дека дигитронот е подесен во модот за радијани. Потоа g(2,17)= –3·2.17·arctan(2,17)≈= –7,41

Тригонометрија со единичната кружница[уреди]

Стандардна позиција на агол[уреди]

Во декартов правоаголен координатен систем, агол α е во стандардна позиција ако темето е во О(0,0), почетниот крак е позитивниот дел од х-оска, а крајниот крак се добива по ротација за α и тоа:

  • Ако α≥0, т.е. ако α е позитивна, ротацијата е во смерот спротивен на стрелките на часовникот и
  • Ако α≤0, т.е. ако α е негативна, ротацијата е во смерот на стрелките на часовникот.

Понатаму, нека е даден било кој агол α (позитивна, негативна, голема, ...). Го цртаме аголот α во стандардна позиција во рамнината заедно со единичната кружница.

  • Точката T(b,a) нека е пресекот на крајната полуправа на аголот α со единична кружница.
  • Забелешка: Тука b е x-координатата, а a е y-координатата. Координатите, т.е. броевите b и a можат да бидат позитивни, негативни или нула во зависност од квадрантот во која лежи точката T. Меѓутоа:
a^2+b^2=1
  • За точката Т(b,a) на единичната кружница, тригонометриските вредности на аголот α=∠XOT каде што X=(0,1) се:[7]
\sin(\alpha)=a  и  \cos(\alpha)=b  и  \tan(\alpha)=\frac{a}{b}

Меѓуквадрантни агли[уреди]

При агли кои завршуваат внатре во квадрантите, тригонометриски вредности се дефинираат преку референтни агли и референтните правоаголни триаголници (види тригонометрија). Тригонометриските вредности на агли кои заврфшуваат на еден од оските се пресметуваат преку единичната кружница. Референтните триаголници на овие агли се дегенирирани триаголници (се сплеснуваат). Меѓутоа, координатите на нивната пресечна точка Т со единичната кружница едноставно се одредуваат само со гледање. На пример, точката Т за аголот 180° e пресекот на кружницата со негативниот дел од x-оската, т.е. T=(–1,0).

Right triangle empty.svg Right triangle 90.svg Right triangle 180.svg Right triangle 270.svg
sin(0°)=0
cos(0°)=1
tan(0°)=0
sin(90°)=1
cos(90°)=0
tan(90°)= ∞
sin(180°)=0
cos(180°)= –1
tan(180°)=0
sin(270°)= –1
cos(270°)=0
tan(270°)= ∞

Се разбира дека овие формули важат и за сите агли котерминални со наведените агли.

Примери: Аголот 360° e котерминален со аголот 0°. Следува: sin(360°)=sin(0°)=0, cos(360°)=cos(0°)=1, tan(360°)=tan(0°)=0. Аголот –450° e котерминален со аголот 270°. Следува: sin(–450°)=sin(270°)=–1, cos(–450°)=cos(270°)=0, tan(–450°)=tan(270°)=∞.

Пресечната точка T на единичната кружница за агол α[уреди]

Од друга страна, за одредување на пресечната точка Т на агол α коj завршува внатре во квадрантите се користат тригонометриските вредности на α (види тригонометрија).

T(b,a)=T(\cos(\alpha),\sin(\alpha))
Unit circle standard position.svg
\sin(37^\circ) \approx 0,6
\cos(37^\circ) \approx 0,8
\tan(37^\circ) \approx 0,75
\sin(217^\circ) \approx -0,6
\cos(217^\circ) \approx -0,8
\tan(217^\circ) \approx 0,75
\sin(-53^\circ) \approx -0,8
\cos(-53^\circ) \approx 0,6
\tan(-53^\circ) \approx -1,333

Равенки на единичната кружница[уреди]

Равенката на единичната кружница како реална функција y=f(x) од една реална променлива x е двозначна функција
f(x) =  \pm \sqrt {1 - {x^2}}

Равенката на единичната кружница како имплицитна зададена функција F(x,y)=C од две реални променливи x и y e

x^2+y^2=1
Равенката на единичната кружница како поларна функција ρ=ρ(φ) е константната функција, односно множеството на сите точки (ρ,φ) такви што ρ=1 (види поларни функции).
\rho(\phi)=1
Равенката на единичната кружница како комплексна функција z=z(x+iy) e множеството на сите комплексни броеви z=x+iy, такви што модулот на z e 1 (види комплексна функција).
\{ z=x+iy \,\, \boldsymbol{|} \,\, |z|=\sqrt{x^2+y^2}=1 \}

Наводи[уреди]

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Unit Circle“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 815. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. декември 2013. 
  2. Pierce, Rod (2013). „Unit circle“ (на англиски). Math is Fun. http://www.mathsisfun.com/geometry/unit-circle.html. конс. декември 2013. 
  3. Staple, E. (2012). „Unit circle“ (на англиски). Purple Math. http://www.purplemath.com/modules/unitcirc.htm. конс. декември 2013. 
  4. Weisstein, Eric W.. „Unit Circle“ (на англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/UnitCircle.html. конс. декември 2013. 
  5. „Radians“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/radians.html. конс. декември 2013.  интерактивен
  6. „Are Angles Dimensionless?“ (на англиски). Math Forum Drexel, Dr. Math. 2003. http://mathforum.org/library/drmath/view/64034.html. конс. јануари 2014. 
  7. (на англиски) „Advanced Mathematical Concepts - Precalculus with Applications“. Glencoe McGraw Hill. 2005. стр. 291. ISBN 978-0078682278. 

Поврзано[уреди]

Надворешни врски[уреди]